雙圓盤商模Nψ上Toeplitz算子的向量叢模型

許安見，鄒 楊

1. 重慶理工大學 理學院， 重慶 400054； 2. 重慶第二師范學院 數學與信息工程學院， 重慶 400067

1 Nψ-商模

對于單變量內函數ψ(z2)∈H∞(D)， 用[z1-ψ(z2)]表示H2(T2)中由z1-ψ(z2)生成的子模， Nψ(z2)表示相應的商模H2(T2)/[z1-ψ(z2)]． 文獻[10]首先引入了這類商模， 并給出了該商模的一些性質與刻畫．

命題1

證首先， 對任意f∈Nψ， 有

其中gl(z2)∈H2(T)． 則對l，k≥0， 有

則對任何l≥0， 有

從而

由此可見

且

令

即h∈Nψ．

當ψ(z2)是M階Blaschke乘積時，H2(Tz2)?ψ(z2)H2(Tz2)是M維空間， 我們用λ1(z2)，…，λM(z2)表示H2(Tz2)?ψ(z2)H2(Tz2)的一組正交正規基． 定義

對k=1，…，M；j=0，1，…， 定義

Ej，k=λk(z2)ej(z1，ψ(z2))

定理1{Ej，k：k=1，…，M；j=0，1，…}是Nψ(z2)的一組正交正規基．

證注意到

也就是說{λk(z2)ψ(z2)j：k=1，…，M；j=0，1，…}是H2(Tz2)的一組正交正規基． 若(i，k)≠(r，s)且i≤r， 則

因為iu≠ru或kv≠jv至少有一個成立， 且容易驗證‖Ei，k‖=1， 因此{Ej，k}是一組正交正規基．

下面證明Nψ中任何函數f可由{Ei2，i3，k}表示． 因為

從而

因此

此外， 有

定理1得證．

命題2U0是酉算子， 且有U0TB(z1)=(I?MB(z1))U0， 其中I為H2(Tw)?ψ(w)H2(Tw)上的單位算子．

證由文獻[10]或直接計算知

U0Tz1=(I?Mz1)U0

從而有

由于B(z1)在單位圓盤上可由多項式逼近， 因此結論成立．

2 叢位移

令Ω表示復平面C中的開子集， H表示一個Hilbert空間．

定義1[13]Ω上的連續向量叢E是一個由一簇Hilbert空間組成的拓撲空間， 且滿足：

(b)E在每個纖維Ez=q-1(z)上有Hilbert空間結構， 且在每個Ez上的Hilbert拓撲與由E誘導的拓撲一致；

(c1) 對每個(w，h)∈U×H， 點ΦU-1(w，k)∈Ew，

定義2(a) 設叢E為Ω上的連續向量叢，GL(H)是Hilbert空間H上的可逆有界線性算子全體， 若對任何一對相交非空的開集U，V?Ω， 映射

引理1[14]Ω上的任何全純向量叢在全純意義下都是平凡的．

對于平坦向量叢E的Bergman空間， 可用另一個觀點來刻畫：

Ω上的平坦向量叢E可誘導Ω的基本群在H上的酉表示

命題3[13]Ω上的平坦酉向量叢與Hom(π1(Ω)，U(H))/U(H)是一一對應的．

3 Toeplitz算子的叢位移模型

對z0∈DS以及DB中包含z0的開子集U， 設γi是DS中過z0且包含wi的閉曲線． 當將{σi}沿著γj移動時， 由解析延拓性， 我們可得到{1， 2， …，k}的一個排列τj． 由此可定義CN上的一個酉算子

Uj(c1， …，ck)=(cτj(1)， …，cτj(k))

且有

V0°MB(z1)=TEB°V0

從而算子

推論1Nψ(z2)上的Toeplitz算子TB(z1)的雙交換子與TEα?Id的雙交換子等同．

由于有限階矩陣是有限維的， 由推論1可見MB的雙交換子是有限維的， 也就說明MB的極小約化子空間是有限的． 在后續研究中， 我們將通過該向量叢模型進一步研究Nψ(z2)上的Toeplitz算子TB(z1)的性質．