黎曼流形上導航術問題的推廣

程新躍，瞿秋紅

重慶師范大學 數(shù)學科學學院， 重慶 401331

眾所周知， 求解Zermelo導航術問題一直是探索和研究芬斯勒空間結構的重要方法之一， 對推進芬斯勒幾何的研究發(fā)揮了重要作用． Zermelo導航術問題是考慮度量空間中的一個運動物體在內(nèi)力和外力的作用下從一個點運動到另一個點所走的最短時間路徑問題[1-2]． 文獻[1]在芬斯勒空間上推廣了Zermelo導航術問題， 證明了在芬斯勒流形(M，F(xiàn))上， 在滿足F(x， -Wx)<1 的外力場W的影響下， 最短時間路徑是由方程

(1)

(2)

得到的解為

(3)

此時，F(xiàn)是Kropina度量． 由(3)式確定的度量F在切叢TM上并不是正則的， 但在錐形區(qū)域A=∪x∈MAx上是正則的， 這里

(4)

我們稱這樣的度量為錐Kropina度量． 如果令

(5)

則由(3)式確定的Kropina度量F也可等價地表示為

此時，F(xiàn)仍然在錐形區(qū)域A=∪x∈MAx上是正則的， 且Ax可表示為

(6)

從本質(zhì)上講， 芬斯勒流形上的Zermelo導航術問題與流形的單位切球的幾何有著密切的關系． 事實上， 芬斯勒流形上的導航術問題總對應于單位切球沿一個給定向量場的平移． 具體地， 在芬斯勒流形(M，Φ)上， 任意點x∈M處的單位切球SΦ是切空間TxM在原點x附近的一個封閉超曲面，SΦ={y∈TxM：Φ(x，y)=1}． 假定V=V(x)是流形M上的一個向量場， 并且Φ(x， -Vx)≤1， 考慮SΦ沿向量場V的平行移動SΦ+{V}． 易知y∈SΦ+{V}當且僅當Φ(x，y-Vx)=1， 即在切空間TxM上，SΦ+{V}的方程為Φ(x，y-Vx)=1． 進一步， 我們有以下兩個重要的觀察結果：

圖1 Φ(x， Vx)<1時的圖SΦ+{V}

在這種情況下， 易見對于任意的y∈TxM-{0}， 一定存在唯一正數(shù)F=F(x，y)>0， 使得

(7)

這等價于F(x，y)滿足

(8)

可以證明， 這樣的F=F(x，y)是正則的芬斯勒度量[3]． 顯然， 由(8)式可知F是由導航數(shù)據(jù)(Φ，V)確定的導航術問題的解．

圖2 Φ(x， -Vx)=1時的圖SΦ+{V}

在這種情況下， 易見對于任意的y∈Ax={y∈TxM：gV(y，Vx)>0}， 存在唯一正數(shù)F=F(x，y)>0， 使得F=F(x，y)滿足(7)式， 亦即等價地滿足(8)式． 此時，F(xiàn)=F(x，y)是錐芬斯勒度量．

上述觀察對深刻認識導航術技巧的幾何本質(zhì)， 深入推進利用導航術技巧來揭示芬斯勒空間的幾何性質(zhì)與結構的工作是極為重要的．

1 預備知識

在這一節(jié)中， 我們簡要介紹關于Randers度量及Kropina度量的知識．

的度量， 這里φ=φ(s)是定義在(-b0，b0)上的正的光滑函數(shù)， 且滿足

φ(s)-sφ′(s)+(b2-s2)φ″(s)>0 |s|≤b

本文著重討論和研究正則的Kropina度量， 把Kropina度量定義在切叢的錐形區(qū)域A=∪x∈MAx上， 其中

2 Kropina流形上的導航術問題

(9)

即

(10)

把(10)式化簡后得

進一步， 有

(11)

(12)

其中ρ=V(b)=biVi． 整理后， 有

(13)

(14)

(15)

(16)

利用文獻[2]中的引理1.1.1， 可得

(17)

由此可得

(18)

3 Randers流形上的導航術問題

定理2設F=α+β是n維流形M上的Randers度量，V是流形(M，F(xiàn))上的向量場且滿足F(x， -Vx)=1． 則由導航數(shù)據(jù)(F，V) 確定的導航術問題的解為

(19)

把(19)式化簡后得

(20)

(21)

由(21)式易得

(22)