不同幾何尺寸金剛石壓頭對洛氏硬度值影響的三維有限元數(shù)值研究

吳 禹，薛 瑞

1. 重慶市計量質(zhì)量檢測研究院， 重慶 401123； 2. 重慶機場集團有限公司， 重慶 401120

壓痕試驗是一種簡單、 高效的評價材料力學性能的手段， 其試驗結(jié)果可以反映出關(guān)于彈性模量、 屈服應(yīng)力、 加工硬化等材料的整體力學性能， 因而其應(yīng)用的歷史已近百年[1-2]．

所有關(guān)于材料性能研究及生產(chǎn)質(zhì)量控制中所得到的硬度試驗結(jié)果的校準量值都是經(jīng)硬度標準裝置溯源至國家硬度基準． 對硬度標準、 基準裝置而言， 壓頭幾何尺寸引入的不確定度分量在測量結(jié)果的不確定度評定[3]中都顯得不可忽略． 而在硬度試驗的不確定度評定中， 常采用綜合評定法或直接評定法[4]， 對洛氏硬度國家基準、 副基準而言， 其標準不確定度的評定則需要采用直接評定法． 而當我們未知被測量與影響量間的函數(shù)關(guān)系時， 洛氏硬度試驗中壓頭幾何尺寸引入的不確定傳播系數(shù)則不易從數(shù)學模型導出， 這對不確定度的直接評定造成了難度． 另外， 在相關(guān)文獻中， 也僅是根據(jù)已有的經(jīng)驗公式計算得出了壓頭對硬度示值影響很大的結(jié)論， 并未能深入研究材料應(yīng)力分布情況及壓頭幾何尺寸對硬度值測量結(jié)果的不確定度分析， 在進行壓頭圓錐角及頂端球面半徑系統(tǒng)誤差的合成時， 一般也忽略了二者誤差因素間可能存在的耦合影響． 在有限元方面[5]， 過去限于計算機的儲存空間及運算速度， 多在二維進行加、 卸載模擬， 三維模型的建立與計算則比較困難[6-7]． 對壓痕彈塑性問題則是一非線性問題[8]， 再加上壓頭復雜的幾何特征(球面和錐面)， 理論精確解是顯然無法獲得的． 因此， 本文利用ANSYS建立了對壓痕試驗加、 卸載過程的三維有限元模型， 通過回歸分析獲得了金剛石壓頭圓錐角度偏差及頂端球面半徑偏差對硬度值的一元線性回歸方程， 進而得到了有關(guān)壓頭圓錐角度和頂端球面半徑對硬度影響的一些結(jié)論， 并且計算出不確定度評定中壓頭相關(guān)的不確定傳播系數(shù)以及壓頭引入的相對標準不確定度分量等， 為其他對硬度測量結(jié)果的不確定度評定提供一些參考．

1 試驗設(shè)計

本試驗設(shè)計硬度樣塊材料為合金鋼， 其淬火溫度為870 ℃， 淬火介質(zhì)為油， 回火溫度為480 ℃． 根據(jù)熱處理相關(guān)資料顯示設(shè)計硬度為中硬度， 按照規(guī)范要求[9]， 對工作硬度計， 金剛石圓錐體壓頭的兩相對面夾角應(yīng)為(120±0.35)°， 頂端球面半徑平均值應(yīng)在(0.2±0.01) mm以內(nèi)． 對標準硬度機， 壓頭圓錐角平均值應(yīng)為(120±0.10)°， 頂端球面半徑平均值應(yīng)在(0.2±0.005) mm以內(nèi)， 并且與基準壓頭取得的硬度值之差相比， 最大允許誤差分別為±0.8，±0.4 HR． 針對本文研究的目的及方便對數(shù)據(jù)結(jié)果進行回歸分析， 設(shè)計中硬度下， 等距選取壓頭圓錐角分別為120.35°，120.17°，120.00°，119.83°，119.65°； 壓頭頂端球面半徑分別為0.210，0.205，0.200，0.195，0.190 mm； 以及二者耦合作用下進行洛氏C標尺硬度試驗．

2 有限元非線性計算及結(jié)果

2.1 有限元模型的基本假設(shè)及建立

為了提高模型計算精度、 減小計算成本， 采用ANSYS有限元軟件， 利用模型受力的對稱性， 建立了1/4硬度壓痕三維模型． 同時， 為計算簡便， 模型壓頭選擇為剛體， 假定硬度塊與試驗臺臺面接觸良好， 無任何相對滑動． 由于塑性變形規(guī)律遠比彈性變形復雜得多， 為了使復雜問題得以合理范圍內(nèi)解決， 并能依靠有限元數(shù)值方法模擬三維情況下的洛氏硬度試驗， 本文根據(jù)塑性力學理論， 對金屬硬度塊采用簡化的線性強化彈塑性體模型的應(yīng)力應(yīng)變曲線， 利用ANSYS有限元軟件模擬對材料的壓痕硬度試驗， 首先需解決硬度參數(shù)化問題． ANSYS本身的輸入?yún)?shù)中不存在硬度指標， 不能直接對材料硬度進行FEM數(shù)值模擬．

計算模型共有單元數(shù)62 729個． 硬度塊底面的全部節(jié)點上施加全約束， 在兩個1/4模型的中面上施加垂直于中面的位移約束， 對壓頭的剛性接觸面的主控關(guān)鍵點設(shè)置豎直向下的分級荷載(包含加、 卸載過程)， 其網(wǎng)格及約束見圖1和圖2．

考慮到壓頭壓入過程中還存在接觸非線性及大變形問題， 故在已建立的硬度塊實體單元表面及壓頭表面分別覆蓋、 劃分一層目標面TARGE170單元及接觸面CONTA174單元， 以形成接觸對． 計算過程中采用大變形理論．

圖1 三維有限元模型及網(wǎng)格劃分(1/2模型局部)

圖2 三維模型邊界條件示意圖(1/4模型)

2.2 有限元非線性計算結(jié)果分析

2.2.1 洛氏硬度試驗下壓痕周圍mises應(yīng)力變化規(guī)律及卸載后殘余mises應(yīng)力分布

圖3給出了標準金剛石圓錐體壓頭下洛氏硬度試驗后殘余mises應(yīng)力分布云圖， 圖4為基于有限元計算結(jié)果通過MATLAB繪制的壓痕形貌圖， 圖5繪出壓痕過程中荷載—壓深位移曲線．

圖3 卸載后殘余mises應(yīng)力云圖(局部)

圖4 卸載后壓痕形貌圖(1/2模型)

圖5 荷載—壓深位移曲線

在初試驗力作用下， 壓頭尖端處附近的材料mises應(yīng)力最大， 此時壓頭壓入量較小， 而在主試驗力的疊加作用下， 依舊是壓頭尖端處附近的應(yīng)力最大， 只是受壓頭壓入的影響， 壓痕附近材料逐步由彈性階段過渡為彈塑性階段， 此時塑性區(qū)范圍很大， 壓頭壓痕附近的應(yīng)力集中更為明顯， 應(yīng)力變化梯度更大并且在材料表面存在局部堆積的現(xiàn)象． 由塑性變形基本規(guī)律分析知， 壓頭尖端附近塑性區(qū)存在較高的三軸壓應(yīng)力， 隨著變形量的增大， 將在壓頭尖端附近的金屬材料中發(fā)生大量的位錯， 導致位錯密度增大， 位錯間的彈性作用對位錯發(fā)生起著阻礙作用， 形成位錯強化， 使得壓頭頂端球形壓痕面的正壓力不斷升高， 若頂端球面半徑變大， 則此正壓力越大． 在主試驗力及總試驗力卸載后， 材料內(nèi)部仍然存在分布較為復雜的殘余應(yīng)力． 另外， 從圖中可觀察到本文所建模型不存在基底效應(yīng)， 所選取試件的尺寸完全滿足本文有限元分析的要求． 并且由圖5可知， 在本硬度試驗過程中， 壓深主要由材料的塑性變形產(chǎn)生， 其中由材料彈性變形引起的壓深位移占總位移比例較小．

2.2.2 不同金剛石圓錐體壓頭尺寸下用壓痕表征的硬度值規(guī)律

本文通過有限元數(shù)值分析分別得到了試驗設(shè)計條件下的壓頭底部位移， 由此計算出各個情況下的洛氏C標尺下的硬度值(表1)． 各工況下的壓頭底部位移及硬度值散點圖如圖6-圖9． 圖10給出了金剛石圓錐體壓頭在本試驗設(shè)計圓錐角角度及頂端球面半徑變化下的幾何示意圖．

由圖6-圖9可知， 初試驗力加載下壓頭底部位移受圓錐角角度影響不大， 而隨頂端球面半徑的增大呈減小的趨勢， 當圓錐角度偏差及頂端球面半徑偏差耦合作用時， 其曲線與單受頂端球面半徑影響的曲線接近． 在主試驗力加載及主試驗力卸載兩種條件下， 壓頭底部位移隨圓錐角角度、 頂端球面半徑的增大呈減小的趨勢， 二者耦合作用時， 其趨勢更為明顯． 結(jié)合圖8分析， 在初試驗力加載下， 壓痕深度大部分位于壓頭頂端球面部位附近， 此時， 主要為球面接觸階段， 所以該條件下， 壓頭底部位移受圓錐角角度的影響并不明顯， 反而對頂端球面半徑的改變比較敏感． 隨著壓痕深度的增加， 壓痕過程從開始的球面接觸逐步過渡為錐面接觸． 對高硬度材料而言， 壓痕深度較低硬度材料的壓痕深度淺， 故硬度值受壓頭頂端球面半徑的影響更大， 而對低硬度材料， 錐面接觸占優(yōu)勢的情況下， 硬度值受壓頭圓錐角角度的影響更大． 另外， 從圖9可知， 當圓錐角或頂端球面半徑為正偏差時， 硬度值也呈正偏差．

表1 計算結(jié)果

圖6 初試驗力加載下各工況壓頭底部位移

圖7 總試驗力加載下各工況壓頭底部位移

圖8 主試驗力卸載下各工況壓頭底部位移

圖9 各工況下有限元硬度值

2.2.3 有限元計算結(jié)果的線性回歸分析

為了尋求壓頭底部位移與圓錐角角度、 頂端球面半徑及兩者偏差耦合作用時的內(nèi)在關(guān)系， 利用回歸分析求得各壓頭位移關(guān)于各變量的線性回歸函數(shù)． 為了知道直線是否基本符合兩者之間的客觀規(guī)律， 另外還進行了回歸方程的顯著性檢驗(F檢驗及r檢驗)．

一元線性回歸方程為

y=bx+b0

(1)

從回歸分析結(jié)果可知， 除初試驗力加載下圓錐角角度擬合外， 在F分布顯著性水平0.01條件下， 各回歸分析的結(jié)論都是高度顯著， 說明各變量在計算范圍內(nèi)與壓頭底部位移可以認為是存在線性關(guān)系的， 從局部范圍來看， 各變量的一次項對壓頭底部位移的影響是主要的． 求得回歸系數(shù)后， 可在計算范圍內(nèi)由回歸方程計算出任意角度、 半徑偏差量下壓頭底部位移的回歸值， 最小二乘法求得的最佳解使計算結(jié)果合理可靠， 提高了有限元分析的準確度．

圖10 壓頭幾何尺寸示意圖

表2 回歸分析部分結(jié)果

2.2.4 壓頭圓錐角偏差及頂端球面半徑偏差之間對硬度值的耦合效應(yīng)

本文有限元計算中， 分別單獨分析了壓頭在圓錐角偏差下及頂端球面半徑偏差下對測量結(jié)果的影響． 假設(shè)以上兩項誤差都是相互獨立的并且可看作固定已知的系統(tǒng)誤差， 按照誤差的傳遞規(guī)律， 總的系統(tǒng)誤差值可由式(2)計算：

(2)

然而， 壓頭圓錐角偏差及頂端球面半徑偏差之間若看作是相互獨立的， 則意味著忽略了二者誤差因素間可能存在的耦合影響． 將式(2)計算的總的系統(tǒng)誤差值與本文有限元數(shù)值分析結(jié)果的回歸值進行比較， 結(jié)果如表3．

表3 耦合效應(yīng)下有限元數(shù)值分析結(jié)果與合成的總系統(tǒng)誤差對比

從表3可知， 考慮圓錐角偏差及頂端球面半徑偏差耦合作用下的有限元數(shù)值分析得出的是考慮了二者誤差因素間耦合影響的硬度值計算結(jié)果， 硬度偏差回歸值為1.369 HR． 而若依據(jù)系統(tǒng)誤差的傳遞規(guī)律， 計算出總的系統(tǒng)誤差合成后為1.338 HR， 說明圓錐角偏差與頂端球面半徑偏差兩者之間存在正耦合效應(yīng)． 在進行圓錐角及頂端球面半徑系統(tǒng)誤差的合成時， 考慮耦合效應(yīng)計算出硬度值的系統(tǒng)誤差比不考慮耦合效應(yīng)的計算結(jié)果偏高2.3%．

2.2.5 壓頭圓錐角及頂端球面半徑對硬度值的靈敏系數(shù)分析

合成標準不確定度是由各標準不確定分量合成而來， 合成標準不確定度計算公式可寫為

(3)

表4 靈敏系數(shù)

2.2.6 由壓頭幾何尺寸引入的不確定度分量

基于前文對有限元數(shù)值分析結(jié)果的回歸值計算， 假設(shè)檢定規(guī)程所允許偏差范圍內(nèi)壓頭的幾何尺寸偏差呈正態(tài)分布， 可計算出由合格壓頭的圓錐角、 頂端球面半徑分別引入對硬度值的標準不確定度分量．

對工作洛氏硬度計而言， 壓頭圓錐角允許誤差為Δα=±0.35°， 同時壓頭頂端球面半徑允許誤差為Δr=±0.01 mm， 因而由圓錐角、 頂端球面半徑引起的對洛氏C標尺中硬度值影響的極限誤差分別為δ1=±0.90%和δ2=±0.75%， 其概率分布為正態(tài)分布， 置信水平P=99%， 包含因子KJ=2.58， 則相對標準不確定度分量u1=0.35%，u2=0.29%． 對中硬度(45 HR)， 若按系統(tǒng)誤差的傳遞規(guī)律計算， 其被檢合格的壓頭與標準壓頭比較的示值最大誤差為±0.74 HR．

對標準洛氏硬度機而言， 壓頭圓錐角允許誤差為Δα標=±0.10°， 同時壓頭頂端球面半徑允許誤差為Δr標=±0.005 mm， 因而由圓錐角、 頂端球面半徑引起的對洛氏C標尺中硬度值影響的極限誤差分別為δ1標=±0.26%和δ2標=±0.37%． 同理可得， 其相對標準不確定度分量為u1標=0.10%，u2標=0.15%． 對中硬度(45 HR)， 若按系統(tǒng)誤差的傳遞規(guī)律計算， 其被檢合格的壓頭與標準壓頭比較的示值最大誤差為±0.28 HR．

對洛氏硬度國家基準、 副基準， 其壓頭一般經(jīng)過精選， 嚴格保證其幾何形狀參數(shù)， 標準值偏差較小． 對此， 可參考相關(guān)文獻[10]提供的較為先進的壓頭幾何尺寸測量方法及數(shù)據(jù)處理技術(shù)， 得到壓頭組的實際幾何尺寸偏離標稱值的區(qū)間半寬， 再參照本文所給的回歸方程計算其對硬度值影響的極限誤差， 由此計算基準壓頭組由壓頭幾何尺寸引入的相對標準不確定度分量等結(jié)果．

3 結(jié)論與展望

1) 大部分求解問題的有限元模型[11-12]都為涉及接觸問題的二維1/2模型， 施加荷載為簡化的線荷載力． 在一般的計算模擬中， 多將壓頭與金屬材料的接觸過程簡化成了赫茲接觸或類似的形式， 一定程度上簡化了計算的復雜性， 但卻不能準確地反映壓頭壓入過程中的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)． 本文利用有限元對壓痕硬度試驗的加、 卸載進行了三維情況下的深入模擬， 利用數(shù)值模擬展現(xiàn)壓頭下不同位置材料的狀態(tài)變化過程， 探索了利用有限元數(shù)值分析方法進行硬度壓痕過程的三維模擬的可行性． 這種數(shù)值分析不僅可避免利用解析的方式分析問題所帶來的極大困難， 更可作為真實硬度壓痕試驗不便或不可能完成的研究工具或手段． 它能不受其他試驗條件的影響， 極方便地構(gòu)造單變量影響因素的硬度模擬試驗， 完成了一些真實壓痕試驗中不便完成的研究． 在實際壓痕硬度試驗中， 標準洛氏硬度機中使用的標準金剛石圓錐體壓頭一般需要進口， 并且也非完全理論上的對稱． 在硬度實測試驗中， 標準洛氏硬度機及被測硬度塊的均勻性也將在測量結(jié)果中引入不可忽視的標準不確定分量， 這都將不利于得到不同壓頭尺寸下不同壓痕表征的硬度值規(guī)律．

2) 按照本文獲得的有限元計算結(jié)果可得到如下主要結(jié)論： 壓頭圓錐角偏差及頂端球面半徑偏差之間存在正耦合效應(yīng)， 考慮耦合效應(yīng)計算出硬度值的系統(tǒng)誤差比不考慮耦合效應(yīng)的計算結(jié)果偏高2.3%； 壓頭圓錐角角度與硬度值之間的靈敏系數(shù)為59.86 HR/rad， 壓頭頂端球面半徑與硬度值之間的靈敏系數(shù)為0.030 4 HR/μm， 可參考對已知幾何尺寸偏差壓頭的試驗結(jié)果進行修正， 另外可參考在直接評定法的不確定度評定中參與計算； 獲得了中硬度下工作洛氏硬度計由圓錐角、 頂端球面半徑引入的相對標準不確定度分量， 分別為0.35%和0.29%， 中硬度下標準洛氏硬度機由圓錐角、 頂端球面半徑引入的相對標準不確定度分量為0.10%和0.15%， 其可對其他洛氏C標尺硬度值測量結(jié)果不確定度評定計算由壓頭引入的標準不確定度分量時提供參考．

3) 目前， 還沒有一個模型可以準確模擬金屬材料全應(yīng)變范圍的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系， 5個基本參數(shù)的全應(yīng)力應(yīng)變模型運用在數(shù)值模擬時讓計算變得較為復雜， 當材料由彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樾》秶踔链蠓秶髴?yīng)變的塑性變形時， 需要依靠精確描述的大塑性變形下材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線， 這樣才可以進一步提高應(yīng)力分布的數(shù)值模擬精度． 本文根據(jù)塑性力學對材料的理想化處理， 采用Mises屈服條件， 采用簡化的線性強化彈塑性體模型是為了節(jié)省這類復雜非線性問題的計算時間并在增量迭代求解過程中得到收斂．

許多學者在對材料的應(yīng)力應(yīng)變模型的研究中， Ramberg和Osgood最早提出了R-O方程， 用于計算金屬的應(yīng)力應(yīng)變曲線， 該模型在塑性應(yīng)變小于0.2%時可以準確計算應(yīng)力， 對超出部分應(yīng)力計算值偏高[13]． Macdonald和Mirambelle等都提出過修正的應(yīng)力應(yīng)變曲線[14-15]， 但方程過于復雜， 不利于數(shù)值模擬計算． Quach提出的適用于大應(yīng)變范圍的三段式應(yīng)力應(yīng)變曲線， 將超出2%的塑性應(yīng)變簡化為直線， 在以后的三維數(shù)值模擬研究中， 可以在此應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上， 收集盡可能多的金屬拉伸試驗數(shù)據(jù)， 并不斷完善應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系模型， 以得到更高的數(shù)值模擬精度． 本文進行的數(shù)值模擬計算， 是借助有限元軟件得到三維情況下復雜非線性問題的理論近似解， 下一步工作可以進行一些有必要的實測試驗研究， 以增加研究的完整度．