行星輪轉軸等寬曲線泵設計與仿真實驗分析

邱林賓，金 純

（北京科技大學機械工程學院，北京100083）

1 引言

液壓泵是液壓系統(tǒng)的動力來源，為整個液壓系統(tǒng)供給能源，液壓泵在工程機械、海洋船舶、航空航天等行業(yè)應用廣泛[1-4]。作為液壓系統(tǒng)元件中的主要部件，目前國內(nèi)常規(guī)應用領域的液壓泵技術比較成熟。但是，在非常規(guī)領域，例如醫(yī)療器械中的低噪聲微型泵、生物化工中檢測分析微小泵的應用較少，大部分都依靠國外進口[5-7]。主要原因是國內(nèi)微型泵的設計體積比較大，而且精度和使用壽命低，運行不穩(wěn)定，難以滿足液壓系統(tǒng)的動力要求。

依據(jù)萊洛三角形的結構模型[8-10]，設計出了一種行星輪等寬曲線泵。以萊洛三角形截面為原型的轉子在正方形界面旋轉一周，反推出轉子中心的運動軌跡，從而設計行星輪轉軸驅動轉子符合此運動軌跡，初步設計等寬曲線泵的整體結構，并進行了仿真和實驗分析，結果證明了泵整體結構設計和功能的正確性。

2 等寬曲線泵的數(shù)學模型

2.1 萊洛三角形中心旋轉軌跡計算[11-12]

圖1 萊洛三角形的初始位置Fig.1 Initial Position of the Leroy Triangle

以萊洛三角形中心的初始位置為原點O做坐標系xOy，如圖1 所示。設萊洛三角形以ω1的角速度繞對稱中心（原點O）進行順時針旋轉，起始θ0＝60°。

轉動t時間后：θ＝θ0+ωt。萊洛三角形t時位置，如圖2 所示。

圖2 萊洛三角形t 時位置Fig.2 The Position of the Leroy Triangle at t

正方形運動特點：

水平方向：

豎直方向：

做逆向思維：將正方形看做是靜止、萊洛三角形以ω 角速度勻速轉動。則萊洛三角形中心軌跡為：

萊洛三角形旋轉30°角度位置，如圖3 所示。

圖3 萊洛三角形旋轉30°角度位置Fig.3 The Position of the Leroy Triangle Rotates 30°

對于a（x-d）2+b（x-d）（y-e）+c（f-e）2=f2的二次曲線的方程：

（1）當f≠0，b2-4ac＞0 時，雙曲線。

（2）當f≠0，b2-4ac=0 時，兩條平行直線。

（3）當f≠0，b2-4ac＜0，a＞0 時，橢圓。

（4）當f≠0，b2-4ac＜0，a＞0 時，虛橢圓（實平面上無圖像）。

選取方程（1）其b2-4ac＜0，所以，當r≠0 時，它是一個橢圓；當r=0 時，則為一點。

圖4 方程曲線圖Fig.4 The Chart of Equation

r=2 時，軌跡所在的四個橢圓方程的曲線，如圖5 所示。

圖5 四個橢圓方程曲線Fig.5 The Chart of Elliptic Equation

2.2 中心軌跡部分擬合設計

將轉子中心軌跡包絡部分取出，如圖6 所示。

圖6 轉子中心軌跡Fig.6 Rotor Center Locus

對第一象限曲線進行研究。在其上等間距取出10 個點對其與原點的距離進行分析，如表1 所示。

表1 間距與原點距離對照表Tab.1 Reference Table for Spacing and Origin Distance

容易看出：在曲線上所選取的10 個點到原點的距離全部在區(qū)間［5.00，5.27］之內(nèi)，且在平均值（5.14±0.15）之內(nèi)。當用所取各點到原點的平均距離dH=5.14 代替各點到原點的實際距離時，會得到以原點為中心，半徑r=dH=5.14 的圓。用此圓代替原曲線會有一定的誤差，但差值?∈［-0.15，+0.15］在機械要求之內(nèi)。可用半徑r=dH的理想圓代替實際軌跡。這樣為利用行星齒輪轉軸的設計提供了方便。當轉子中心軌跡用理想的圓代替時，可設計一對內(nèi)嚙合的行星齒輪副，使大小齒輪的分度圓直徑比d1：d2=4：3。可以保證小齒輪在大齒輪內(nèi)嚙合轉動過程中，其圓心軌跡為半徑dH=1/8d2的圓且其公轉角速度ω2等于三倍自轉角速度ω1。

3 等寬曲線泵的幾何模型設計

依據(jù)上述推導可得替代中心軌跡運動理想圓的實際軌跡。由于萊洛三角形轉動時既有自轉又在繞對應等寬正方形中心公轉，故設計行星輪機構來實現(xiàn)這一過程。由于需要確保小齒輪在大齒輪內(nèi)嚙合轉動過程中，其圓心運動軌跡為半徑dH=1/8d2的圓且其公轉角速度ω2等于三倍自轉角速度ω1。這一運動關系可以采用分度圓直徑比為4：3 的內(nèi)嚙合圓柱齒輪實現(xiàn)，傳動簡圖，如圖7 所示。

圖7 傳動簡圖Fig.7 Transmission Diagram

根據(jù)等寬曲線泵轉子的轉動特點及相應的近似替代設計泵實體，采用solidworks 軟件建立等寬曲線泵的三維零件模型，并且裝配成完整的三維實體模型。同時附加其材料屬性并對模型產(chǎn)品運動的碰撞干涉分析，使建立模型與實際設計的參數(shù)一致，避免了生產(chǎn)過程中的不合理現(xiàn)象。

其內(nèi)部結構和外部結構，如圖8～圖11 所示。

圖8 轉子內(nèi)部結構圖Fig.8 Internal Structure Drawing of Rotor

圖9 內(nèi)部傳動結構圖Fig.9 Internal Drive Structure Diagram

圖10 內(nèi)部結構圖Fig.10 Internal Structure Diagram

圖11 外形結構圖Fig.11 External Structure Diagram

4 等寬曲線泵的運動學仿真與實驗測試

4.1 動力學仿真驗證

仿真驗證方法以軟件ADAMS 為仿真工具，設立等寬曲線泵模型，進行泵的運動分析。ADAMS 軟件既具有很強的分析求解功能同時用戶界面友好，使用起來直觀方便[13-14]。行星輪轉軸及轉子在泵的工作過程中起關鍵作用，他們的正確與否關系設計能否實現(xiàn)。根據(jù)實際的運動學關系建立幾何模型，分析等寬曲線泵運動學特點，如圖12 所示。仿真關系圖，如圖13 所示。

圖12 轉子運動圖Fig.12 Rotor Motion Diagram

圖13 仿真關系圖Fig.13 Simulation Diagram

令行星輪轉軸勻速轉動，縱坐標為旋轉角度，橫坐標為時間，如圖11 所示。曲線設定為一條直線。在此設定條件下，觀測圖12 得到行星齒輪的角速度ω=10°/s，與行星架的角速度ω=-30°/s成1：3 的關系。即轉子中心自轉、公轉角速度的1：3 關系。

萊洛三角形旋轉運動過程中與等寬正方形泵腔的交點A、B、C、D分離出a、b、c、d四個分泵腔。當萊洛三角形順時針轉動時，四個分泵腔各自完成3 個變化周期，如圖14 所示。

圖14 變化周期圖Fig.14 Variation Period Diagram

應用ADAMS 將A、B、C三點在（1～4）狀態(tài)之間運動過程中，轉軸每轉動一度所對應坐標采出，據(jù)此求出泵腔截面總面積，如圖15 所示。

圖15 泵腔截面積-轉軸轉角圖Fig.15 Pump Cavity Sectional Area- Rotation Angle

從圖中觀察到：

單腔面積最大值amax為656.60mm2

單腔面積最小值amin為30.74mm2

泵腔總面積A為1232.04mm2

正方形面積-萊洛三角形面積：

說明仿真過程正確，泵工作動力學特性成立。同時可以進行排量計算。

4.2 等寬曲線泵排量功率計算

4.2.1 泵排量計算泵腔截面總面積不變，這樣減小了在輸送流體過程中的脈沖。轉子旋轉一周泵腔完成三個吸進、排出周期，故每轉總排量QT為：QT=3·4·（amax-amin）·h

式中：QT—每轉總排量；

amax—單腔面積最大值，理論值為0.1594a2；

amin—單腔面積最小值，理論值為0.007a2；

h—等寬曲線泵腔長度；

則等寬曲線泵的幾何總排量QT為：

式中：a—泵腔變長，mm；

n—轉子轉速，轉/s。

實際過程中存在泄露，實際排量減小，故引入容積效率ηv，實際排量為：

4.3 等寬曲線泵的實驗測試

將設計加工好的等寬曲線泵安裝在液壓實驗臺上測試，實驗測得在不同轉速下流出流體體積為腔體容積的1.83 倍，驗證了設計方法與仿真的正確性。不同轉速下的流出體積與腔體容積比值，如圖16 所示。

圖16 不同轉速下的流出體積與腔體容積比值Fig.16 Ratio of Outflow Volume to Pump Cavity Volume

5 結論

通過萊洛三角形在等寬正方形中旋轉運動原理設計了行星輪等寬曲線泵，建立了嚴謹?shù)臄?shù)學模型和三維機械模型后進行動態(tài)模型分析，得到流出流體體積的理論值是泵腔容積的1.83 倍，遠超過常規(guī)容積泵的26%，同時經(jīng)過實驗驗證。因此能從理論上小型或者超小型化。為微型泵的設計提供了理論依據(jù)。