剃齒安裝誤差對傳動特性的影響研究

蔡安江，李文博，劉 磊，劉立博

（西安建筑科技大學機電工程學院，陜西 西安 710055）

1 引言

由于誤差存在導致剃齒刀和工件齒輪偏離理論安裝位置，實際剃齒加工坐標系也發生偏差，影響剃齒加工平穩性。而齒輪加工中的系統振動是引起齒面誤差的重要原因，系統振動越小，剃齒加工越平穩，且剃齒加工傳動特性能準確的反映剃齒加工過程的系統平穩性。因此，研究剃齒加工傳動特性對提高齒輪加工質量和減少傳動系統的沖擊與振動有著重要的指導意義[1]。

國內外大量學者對安裝誤差的影響進行了廣泛而深入的研究：文獻[2]通過齒輪接觸分析，提出了能有效改善傳動誤差的方法；文獻[3]基于拓撲修形齒面方程，建立了考慮安裝誤差的接觸分析模型，得到傳動誤差和齒面接觸應力與剪切力在不同安裝誤差情況下的分布特征；文獻[4]研究了不同安裝誤差下斜齒面齒輪的嚙合軌跡和傳動誤差，通過調整軸向誤差來控制接觸軌跡，改善了齒輪的傳動質量；文獻[5-6]建立了考慮機床運動幾何誤差和安裝誤差模型，提出ETCA 方法，研究了機床運動誤差和安裝誤差對齒面加工質量的影響規律。目前國內外學者主要研究齒輪間傳動，而針對剃齒加工的傳動研究較少?；谔挲X加工原理，考慮剃齒刀齒面的容屑槽和切削刃存在建立了含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型，在剃齒加工幾何坐標系上引入安裝誤差，構造新的坐標轉換，推導了因安裝誤差引起的補償位移量。定量研究了剃齒安裝誤差對傳動特性的影響規律，分析了剃齒加工傳動誤差和傳動比曲線，應用有限元法驗證了模型和理論的正確性，為提高剃齒加工質量和效率提供理論依據。

2 含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型

一般齒輪加工的安裝誤差主要有軸交角誤差ΔΣ、中心距誤差Δa和剃齒刀沿工件齒輪軸向的偏移誤差。剃齒加工存在軸向進給運動，使得剃齒刀沿工件齒輪軸向的偏移誤差影響不大，故重點研究軸交角誤差和中心距誤差對剃齒加工傳動特性的影響規律。

2.1 含剃齒安裝誤差的坐標系

為便于推導，假設剃齒刀安裝位置為理論位置，則誤差均來自工件齒輪安裝位置。建立含安裝誤差的剃齒加工坐標系，其中S（o-xyz）及Sp（op-xpypzp）是兩個空間固定的坐標系，S1（o1-x1y1z1）和S2（o2-x2y2z2）分別是剃齒刀和工件齒輪固連的動坐標系，如圖1 所示。

圖1 含安裝誤差的剃齒加工坐標系Fig.1 Shaving Coordinate System with Alignment Error

空間幾何關系可得各坐標系間的轉換關系，此處僅列舉下述推導步驟需要的坐標轉換。其中，坐標系S′2與S1的變換關系為：

2.2 剃齒安裝誤差的影響分析

安裝誤差本質上是實際安裝位置與理想位置出現偏離，導致工件齒輪和剃齒刀不再按照既定的傳動比運動，故安裝誤差引起的位置誤差可歸結為位移誤差。通過運動學法，可推導補償位移量Δs來消除軸交角誤差ΔΣ 和中心距誤差Δa帶來的影響。設剃齒刀與工件齒輪兩齒面的瞬時空間接觸點為Mi點，n為齒面在Mi點的法線，安裝原始誤差矢量ΔWi可分解為法線n方向的分量和垂直于法線n方向的分量，如圖2 所示。

圖2 安裝誤差矢量圖Fig.2 Alignment Error Vector Diagram

由于安裝誤差ΔWi使得剃齒刀與工件齒輪在Mi點形成了法向間隙，為了消除這個間隙，需要一個補償位移Δs。Δs也可分解為平行于法線n方向和垂直于法線n方向。Δs在法線n方向的投影與矢量ΔWi在法線n方向的投影等大反向，矢量MiD和CMi在過Mi點的兩齒面的公切面上。則有：

式中：αi—矢量與法線n之間的夾角；βi—矢量ΔS與法線n之間的夾角。如果在安裝過程中存在k個安裝誤差，則有：

3 剃齒加工傳動特性

剃齒加工傳動特性能準確反映剃齒刀和工件齒輪的傳動性能，主要包括傳動誤差、傳動效率、傳動能力和傳動比等[7]。

3.1 傳動誤差與傳動比

傳動誤差是描述齒輪傳動性能的重要參數之一，剃齒加工傳動誤差會直接影響到齒面成形誤差，而齒面誤差又會加劇齒輪傳動誤差[8]。剃齒加工符合經典嚙合原理，故齒輪間傳動誤差的定義同樣適用于剃齒加工傳動誤差，即剃齒刀轉過一定的角度時，工件齒輪對于理想轉動角度的偏移。其計算公式為[9]：

3.2 安裝誤差對傳動特性的影響

根據單一變量原則，選取不同的安裝誤差來定量研究其對剃齒加工傳動特性的影響。剃齒刀與工件齒輪參數，如表1 所示。

表1 剃齒刀和工件齒輪基本參數Tab.1 Basic Parameters of Shaving Cutter and Workpiece Gear

3.2.1 軸交角誤差對傳動特性的影響

剃齒加工的軸交角Σ 是影響剃削性能的一項重要因素，軸交角的大小決定了剃齒嚙合時的接觸區域形狀[9]。當軸交角為0°時，理論上為線接觸，但實際上，由于接觸變形的存在而呈現以接觸橢圓短軸為寬，齒寬為長的矩形；當軸交角為90°時，接觸面變為正方形；軸交角在0°與90°間時，接觸區域為平行四邊形。根據單一變量原則，研究不同軸交角誤差對傳動誤差的影響，如圖3 所示。對傳動比的影響，如圖4 所示。節圓是齒輪嚙合的一個重要概念，剃齒節圓處易產生齒形誤差，故重點考察節圓處的傳動誤差和傳動比，如圖5 所示。圖3 和圖4 表明：傳動誤差隨軸交角誤差絕對值增大而增大；傳動比隨著軸交角誤差的增大而減小，并在軸交角誤差為0 處達到理想傳動比；圖5 中，節圓處（壓力角為0.3653）的傳動誤差在軸交角誤差零值處對稱，表明傳動誤差只和軸交角誤差大小有關，而與軸交角誤差方向無關；節圓處的傳動比與軸交角誤差的大小和方向均有關。可見，軸交角誤差會直接引起傳動誤差，導致剃齒產生較大振動，從而影響了剃齒加工質量。

圖3 軸交角誤差下的傳動誤差Fig.3 Transmission Error under Axis Angle Error

圖4 軸交角誤差下的傳動比Fig.4 Transmission Ratio under Axis Intersection Error

圖5 軸交角誤差下節圓處的傳動誤差和傳動比Fig.5 Transmission Error and Transmission Ratio at Lower Pitch Circle of Axle Intersection Error

3.2.2 中心距誤差對傳動特性的影響

安裝中心距是齒輪系統的重要參數之一[10]，安裝誤差的存在使得中心距發生變化，齒輪的實際嚙合線、齒輪系統剛度、阻尼等參數均發生變化[11]，這必然會引起剃齒加工的振動沖擊。研究中心距誤差對剃齒過程中傳動特性的影響，其傳動誤差如圖6 所示，傳動比，如圖7 所示。節圓處的傳動特性，如圖8 所示。圖6 和圖7 表明：隨著中心距誤差絕對值增大，傳動誤差隨之增大；傳動比隨著中心距誤差增大而減??；在中心距誤差最大的剃齒刀齒頂位置處傳動誤差達到最大值；傳動比分別在中心距誤差達到最小和最大值時的齒頂和齒根處達到最大和最小值；同一中心距誤差下，齒頂位置的傳動誤差最大；圖8（a）中，傳動誤差隨中心距誤差絕對值增大而增大；圖8（b）中，傳動比隨中心誤差增大而減小?？梢姡行木嗾`差會直接影響剃齒加工傳動特性，從而影響加工質量。結合圖3 至圖8 可得，軸交角誤差對剃齒加工傳動特性的影響要比中心距誤差大。實際加工中首先按照軸交角誤差來調整機床能更合理地控制安裝誤差，有效提高齒面精度和減小剃齒加工的振動沖擊。

圖6 中心距誤差下的傳動誤差Fig.6 Transmission Error under Center Distance Error

圖7 中心距誤差下的傳動比Fig.7 Transmission Ratio under Center Distance Error

圖8 中心距誤差下節圓處的傳動誤差和傳動比Fig.8 Transmission Error and Transmission Ratio at Pitch Circle Under Center Distance Error

4 剃齒動態仿真對比

圖9 不同軸夾角剃齒加工傳動特性曲線Fig.9 Transmission Characteristic Curve of Shaving with Different Shafts Angle

根據上述分析，應用有限元法研究軸交角誤差對剃齒加工傳動特性的影響。考慮到仿真分析收斂性及復雜性，采用局部模型代替全齒模型進行分析[12]。為研究不同軸交角誤差對剃齒加工傳動特性的影響，保持其他參數一致。分別建立軸交角誤差為0°、+0.2°、+0.5°、-0.2°和-0.5°五組分析模型，得到剃齒加工傳動特性，如圖9 所示。圖9 表明：剃齒初始階段傳動誤差和傳動比曲線存在局部振蕩，表明此時加工過程存在較大的振動。隨著軸交角誤差絕對值的增大，傳動誤差曲線波動峰值和收斂后的幅值均隨之增大；軸交角增大時，傳動誤差曲線收斂速度更快，初期波動幅值與后期平穩后的幅值更?。粋鲃诱`差向負值方向偏移是因為接觸變形會導致工件齒輪的轉動存在滯后，且隨著軸交角誤差絕對值增大，傳動誤差向負方向偏移越明顯。傳動比曲線隨軸交角誤差絕對值增大，收斂速度增加，但曲線的平穩性下降，波動周期增加。當軸交角增大時，傳動比曲線收斂速度慢，但曲線波動的周期減小，波動更加平緩。軸交角誤差絕對值增大，導致傳動誤差與傳動比曲線初期局部震蕩越明顯。說明軸交角誤差絕對值增大會加強剃齒加工中的系統振動，而系統振動的增加會降低剃齒加工過程的平穩性，引起較大的齒面成形誤差。因此，減小剃齒軸交角誤差能提高剃齒加工傳動的平穩性，有利于改善剃齒加工質量?？梢?，仿真結果與理論分析結果一致，表明了理論模型的正確性。

4 結論

針對剃齒安裝誤差導致剃齒加工平穩性和齒面精度降低的問題，建立含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型，定量研究了安裝誤差對傳動特性的影響規律，應用有限元法分析了軸夾角誤差對剃齒加工傳動特性的影響，得到如下結論：（1）剃齒加工傳動特性分析表明：傳動誤差隨著軸交角誤差絕對值增大而增大，傳動比隨著軸交角誤差的增大單調下降；傳動誤差在中心距誤差最大的剃齒刀齒頂處達到最大值；傳動比在中心距誤差最小的齒頂處達到最大值，在中心距誤差最大的齒頂處達到最小值。（2）軸交角誤差對剃齒加工傳動特性的影響要比中心距誤差大。可通過軸交角誤差來調整機床更有效地來控制安裝誤差所帶來的影響。（3）軸交角誤差絕對值越大傳動誤差曲線向負方向偏移越明顯。表明軸交角誤差引起的接觸變形越大，從而導致系統振動增加，加工平穩性下降，加工質量降低。