連續梯變拉脹蜂窩面內沖擊動力學性能研究

鄧小林

（梧州學院科研處，廣西 梧州 543002）

1 引言

泊松比指的是橫向應變對軸向應變的比值。自然界材料通常情況下都變現為正泊松比，而負泊松比材料（也稱拉脹材料），則表現出了與正泊松比材料完全相反的特征，其在拉伸時垂直于拉伸方向變寬，而壓縮時垂直于壓縮方向變窄。盡管自然界早就存在著天然的拉脹材料，如黃銅礦、微縫巖石、貓皮、人類小腿的松質骨等等，但并沒有引起專家和學者的太多關注，直到文獻[1]提出并制造出一種各向同性的負泊松比泡沫材料。自此以后，拉脹材料得到了國內外專家和學者的高度關注，其由于負泊松比效應所表現出來的一系列引人矚目的屬性[2]，使得其在生物組織及醫療工程[3]、紡織制品[4]、納米機電系統[5]以及航空航天[6]等諸多領域都具有重要的潛在應用價值。

形成負泊松比的結構模型主要有內凹結構、旋轉結構、手性結構，如：文獻[7]在1982 年設計了一種內凹六邊形蜂窩結構，該結構在承受軸向拉伸時，斜桿會發生橫向變形，從而導致整個結構產生負泊松比拉脹效應。專家根據上述原理，設計出了包括雙箭頭狀、內凹六角形、菱形、正弦結構等在內的各種各樣不同的內凹負泊松比結構。文獻[8]則在1989 年提出了一種具有負泊松比效應的手性結構，文獻[9]基于該結構研究了一種六桿圓節點手性結構，文獻[10]則對該結構進行了制作，并對其平面變形下的負泊比性能進行了理論分析研究。隨后，三桿和四桿節點手性結構及其反手性結構[11]、四桿矩形節點手性結構[12]等等，也被研究出來。而文獻[13]則首次在分子微觀層面對負泊松比材料進行了研究。除了上述結構外，包括文獻[14-17]也對負泊松比結構進行了研究。但需要指出的是，盡管負泊松比的相關研究很多，但大部分研究主要集中在新型負泊松比的結構、變形機制、負泊松比效應及性能測試方面，而將負泊松比與吸能結構相結合的研究卻相對較少。從材料的特性來看，由于其負泊松比效應所導致的結構在壓縮時的收縮將提高其回彈和抗侵徹能力，增強其能量吸收能力。包括文獻[18-22]在內，已經將負泊松比與吸能相結合，開展了部分研究工作。而針對連續梯變拉脹蜂窩的面內沖擊和能量吸收的相關研究卻較少涉及，其在不同沖擊速度和厚度范圍內的變形模式分類研究也有待進一步的深入開展。針對以上問題，這里提出了一種新型的連續梯變拉脹蜂窩結構，并針對該結構的面內沖擊動力學和能量吸收情況開展系統研究。

2 計算模型

2.1 幾何結構

所要研究的連續梯變拉脹蜂窩結構及尺寸參數，如圖1 所示。其中，模型的沖擊示意圖，如圖1（a）所示。結構主要由沖擊端剛體、蜂窩結構和固定端剛體三部分組成。蜂窩結構元胞及其參數，如圖1（b）所示。這里，主要研究負梯度變化（Negative gradient vary，NGV）和正梯度變化（Positive gradient vary，PGV）兩種不同的連續梯變蜂窩結構，其相應的幾何結構，如圖1（c）、圖1（d）所示。NGV 蜂窩結構，其內凹角θ 按間隔3.75°從上到下依次遞增，整個結構自沖擊端到固定端由5°變化到53.75°。相反，正梯度變化的蜂窩結構，自沖擊端到固定端則由53.75°變化到5°。整個蜂窩結構的元胞數目為28×22，面外厚度為2mm。

圖1 連續梯變拉脹蜂窩結構模型Fig.1 Computation Model of Continuous Gradient Variable Auxetic Honeycomb Structure

蜂窩材料的相對密度對其結構的整體性能起著重要的影響，根據文獻[23]，相對密度可表示為蜂窩的表觀密度ρ*與制造蜂窩材料密度ρs的比值，即：

式中：ρ*—表觀密度；ρs—固體材質密度。

根據圖1 蜂窩結構模型，容易推導出連續梯變拉脹蜂窩結構的相對密度公式為：

式中：N—胞元邊的數量；胞元參數li，lj，lk，t和θ，如圖1（b）所示。需要指出的是，每層的θ 值并不相同；L1，L2—整個蜂窩結構的長度和寬度。根據式（2），容易求得不同結構和厚度的蜂窩結構相對密度，如表1 所示。

表1 不同結構和厚度的蜂窩的相對密度Tab.1 The Relative Density of Honeycomb with Different Structure and Wall Thickness

2.2 有限元模型

有限元模型采用Abaqus/Explicit 建模，材料采用鋁，參考文獻[24]，材料的屬性為：楊氏模量E=70GPa、密度ρ=2700kg/m3、泊松比μ=0.3、屈服強度σy＝130MPa，并假定其為理想彈塑性模型。邊界條件與文獻[25]一致，蜂窩結構采用四節點減縮積分殼單元進行模擬，沿厚度方向采用5 個積分點。沖擊端剛體和固定端剛體均采用解析剛體以節省時間和減少計算量。沖擊端剛體與蜂窩結構采用通用無摩擦面-面接觸，參考文獻[26]，沖擊端剛體附加質量110kg。為了防止在沖擊過程中蜂窩結構本身相互滲透，整個模型施加通用接觸算法。沖擊端剛體以固定的初始速度沖擊蜂窩，固定端剛體與蜂窩結構采用綁定約束，整個結構左右兩側自由并限制它們的面外自由度，以防止結構發生面外屈曲。考慮到計算資源成本，對單元長度分別為（0.5×0.5）mm、（1×1）mm、（1.5×1.5）mm、（2×2）mm、（2.5×2.5）mm 共五種不同大小的網格開展了收斂性測試，通過研究發現，其網格尺寸（1×1）mm 和（0.5×0.5）mm 之間仿真結果差異很小，其內能相對誤差不到5%，考慮到計算成本，模型采用（1×1）mm 進行網格劃分。

3 結果及討論

3.1 變形模式分析

壁厚t=0.4mm 的NGV 蜂窩結構在速度分別為V=7m/s、V=35 m/s 和V=100 m/s 沖擊下的變形模式圖，如圖2 所示。通過圖2可知，相同結構和厚度的蜂窩在不同速度沖擊下，共出現了三種完全不同的變形模式。通過圖2（a）可知，當沖擊速度V=7m/s 時，NGV 蜂窩結構在沖擊初始階段的變形主要從固定端開始，即內凹角θ 較大的一側開始。靠近固定端的一側在剛性板的沖擊下，由于負泊松比效應產生了明顯的橫向收縮現象，相應元胞被壓縮成了菱形形狀。蜂窩的中間部分由于兩側的橫向收縮在中間產生了一個“I”字形形帶。而靠近沖擊端的元胞由于內凹角相對較小，相應的li比lj的長度更長，元胞并沒有被壓縮成菱形，而是出現了整體傾斜式的壓潰狀態。隨著壓縮的進一步進行，形成菱形部分的蜂窩結構也隨后被逐級壓潰，最后達到密實化狀態。這里，參考文獻[24、27]，將該種模式定義為準靜態模式（Quasistaticmode）。當速度增加到V=35m/s 時，變形并沒有從固定端開始，而是從沖擊端開始。當壓縮到ε=0.3 時，可以明顯發現，靠近固定端的蜂窩出現了收縮現象。當ε=0.5 時，可將整個蜂窩被壓縮的狀態分成三部分，即靠近沖擊端的被壓實部分、被壓成菱形的中間部分和固定端的橫向收縮部分。隨著壓縮的進一步進行，靠近固定端部分的蜂窩結構被壓縮成菱形，并在沖擊端剛體的繼續壓縮下，最終密實化，該模式將其定義為轉換模式（Transition mode）。當速度提高到V=100m/s 時，整個結構的變形模式與V=7m/s 和V=35m/s 具有明顯的區別，盡管靠近固定端的元胞內凹角較大，但由于剛體的沖擊速度快，靠近固定端的蜂窩還未發生橫向收縮即被沖擊端自上而下逐層壓潰，這種模式將其定義為動態模式（Dynamicmode）。

圖2 NGV 蜂窩結構在不同沖擊速度下的變形模式Fig.2 Deformation Mode of NGV Honeycomb Structure at Different Impact Velocities

則為壁厚t=0.4mm 的PGV 蜂窩結構在速度分別為V=7m/s、V=35m/s 和V=100m/s 沖擊下的變形模式圖，如圖3 所示。通過圖3（a）可知，當沖擊速度為V=7m/s 時，與NGV 蜂窩結構不同，PGV蜂窩結構壓縮變形首先從沖擊端開始。由于沖擊端剛體與蜂窩采用的是面面接觸，并未將其綁定約束，因此其由于負泊松比效應所導致的橫向收縮現象更為明顯。而隨著壓縮的進行，從上往下，靠近沖擊端的元胞被壓縮成了菱形狀態，而靠近固定端部分的蜂窩則出現了整體傾斜式壓潰。與NGV 相類似，蜂窩的中間位置處也出現了較為明顯的“I”字形形帶。整個蜂窩結構在隨后的壓縮過程中，形成菱形的蜂窩也最終被壓潰。當壓縮速度增加到V=35m/s 時，蜂窩結構的變形模式與V=7m/s 非常類似。而當速度提高到V=100m/s，其變形模式則變成了動態模式。總體上，除了準靜態模式與NGV 蜂窩結構在初始變形發生的位置不同外，轉換模式和動態模式與NGV 蜂窩結構具有非常類似的變形特征。為了獲得蜂窩結構的變形模式分類圖，參考文獻[24、27]，進一步擴大沖擊速度和厚度范圍，對所提出的連續梯變拉脹蜂窩在不同厚度和速度下的變形模式進行系統分析，得到了蜂窩結構的變形模式分類圖，分類圖如圖4 所示。通過圖4 可知，NGV 蜂窩結構和PGV蜂窩結構的準靜態模式區間基本一致，而轉換模式的區域則出現了明顯不同，PGV 蜂窩結構的轉換模式所覆蓋的范圍更大。當t=0.8mm，沖擊速度達到V=100m/s 時，PGV 蜂窩結構的變形模式才轉換為動態模式，這主要是因為PGV 蜂窩結構的沖擊端為內凹角更大的元胞組成，其在沖擊載荷作用下由于負泊松比效應產生了較為明顯的橫向收縮，橫向收縮提高了其抵抗沖擊的能力，使得整個結構轉換模式區域覆蓋范圍更大。

圖3 PGV 蜂窩結構在不同沖擊速度下的變形模式Fig.3 Deformation Mode of PGV Honeycomb Structures at Different Impact Velocities

圖4 蜂窩結構的變形模式分類圖Fig.4 Deformation Pattern Classification Chart of Honeycomb Structure

3.2 不同沖擊速度的動力學響應分析

厚度t=0.4mm 的NGV 和PGV 蜂窩結構在不同沖擊速度下的名義應力和名義應變曲線，如圖5、圖6 所示。

圖5 NGV 蜂窩結構的應力-應變曲線Fig.5 Nominal Stress-strain Curves of NGV Honeycomb Structure

其中，名義應力的可表示如下[19]：

式中：σ—名義應力；F—剛體與蜂窩之間的接觸力；b—面外厚度；L—蜂窩寬度。根據圖1，L的取值即為L2的取值。

通過式（3）可知，名義應力即為蜂窩結構所受到的沖擊載荷與蜂窩接觸面積的比值。明顯的，連續梯變蜂窩結構也像常規正六邊形蜂窩結構[25]一樣，其應力-應變曲線主要經歷了初始壓縮時的應力快速上升的線彈性階段、應力相對穩定的平臺階段以及后續的密實化階段。通過圖5 可知，沖擊端的應力明顯高于固定端沖擊應力，并且隨著沖擊速度的增加，應力值也相應提高，而這種趨勢在沖擊端表現的更為明顯。與NGV 蜂窩結構一樣，PGV蜂窩結構沖擊端的應力也高于其固定端沖擊應力。但需要指出的是，PGV 蜂窩結構在沖擊的初始階段，其應力相對NGV 初始階段的峰值應力更大，而隨著壓縮的進行，平臺階段的應力整體上則呈現不斷減少的波動趨勢。這主要是由于兩種不同蜂窩結構的元胞內凹角的不同所致。可以發現，將內凹角大的一端布置在沖擊端的PGV 蜂窩結構相對將內凹角小的一端布置在沖擊端的NGV 蜂窩結構，初始階段的應力值更大。從保護乘客或貨物的角度出發，初始階段的應力值過大將直接增加乘客或貨物受傷害的概率，因此，將胞元內凹角較小的一端布置在沖擊端更為有利。相對沖擊端，蜂窩結構在固定端的應力則沒有發生明顯的變化。

圖6 PGV 蜂窩結構的應力-應變曲線Fig.6 Nominal Stress-Strain Curves of PGV Honeycomb Structure

3.3 不同厚度的動力學響應曲線

不同厚度的蜂窩結構在V=35m/s 速度沖擊下的固定端的名義應力-應變曲線，如圖7 所示。總體上，較厚的蜂窩相比較薄的蜂窩，具有更高的應力，這主要是因為結構材料的增加，直接提高了蜂窩結構整體抗沖擊抵抗的能力。從圖7 也可以看出，隨著厚度的增加，蜂窩的波動也更為明顯，尤其是t=0.8mm 的PGV 蜂窩結構，其波動范圍和幅度更為劇烈，這主要是因為當t=0.8mm 時，PGV 蜂窩結構變形模式為轉換模式，由于壁厚較厚，在壓縮的過程中，內凹角較大的元胞在變為菱形前和菱形后，其壓縮后的名義應力具有更為明顯的差異，導致整個結構的沖擊應力應變的波動范圍更大。

圖7 不同厚度的蜂窩結構在固定端的名義應力-應變曲線Fig.7 Nominal Stress-Strain Curves at Supporting Rigid Plate of Honeycomb Structures with Different Wall Thicknesses

3.4 能量吸收特征

通常采用比能量吸收（Specific energy absorption，SEA）來評價結構吸能的效率和水平，比能量吸收指的是結構單位質量所吸收的能量，其表達式可以表述如下：

根據上述定義，連續梯變拉脹蜂窩結構在不同厚度不同沖擊速度下的能量吸收特征，如圖8 所示。通過圖8 可以看出，結構的SEA 隨著壁厚的增加而相應的提高，其能量吸收對速度也較為敏感，高速沖擊下的蜂窩結構相比低速沖擊能吸收更多的能量。這主要是因為不同的沖擊速度，蜂窩結構的變形模式也發生了重要改變，隨著沖擊速度的不斷增加，變形模式逐漸由準靜態變形模式演成為了由沖擊端向固定端的轉換模式和動態模式。

圖8 蜂窩結構在不同厚度不同沖擊速度的能量吸收特征Fig.8 Energy Absorption Characteristics of Honeycomb Structures with Different Impact Velocities at Different Wall Thicknesses

不同厚度的NGV 和PGV 蜂窩結構的SEA 對比圖，如圖9 所示。通過圖9（a）可以看出，當壁厚t=0.2mm 時，中低速沖擊的NGV蜂窩結構的SEA 相比PGV 蜂窩結構更高，而隨著速度的增加，PGV 蜂窩結構則表現出了更好的能量吸收。但當壁厚t=0.4mm，t=0.6mm 和t=0.8mm 時，NGV 蜂窩結構的SEA 優勢開始顯現，NGV蜂窩結構在不同速度沖擊下的SEA 相比PGV 蜂窩結構更高，并且隨著沖擊速度的增加，優勢更為明顯。通過上述分析可以看出，NGV蜂窩結構相比PGV 蜂窩結構不但在限制初始峰值載荷有優勢，其能量吸收效果也相對更好，在實際的應用中，應將內凹角相對較小的一端布置在沖擊端，對結構的保護更為有利。

圖9 NGV 蜂窩結構和PGV 蜂窩結構的比能量吸收對比圖Fig.9 Comparison of SEA of NGV Honeycomb Structure and PGV Honeycomb Structure

4 結論

對連續梯變拉脹蜂窩結構的面內沖擊動力學性能進行了分析和研究，推導出了連續梯變拉脹蜂窩結構的相對密度公式，對NGV 和PGV 兩種不同蜂窩結構在V=7m/s、V=35m/s 和V=100m/s三種不同速度沖擊下的變形模式進行了分析，在此基礎上，進一步擴大沖擊速度和蜂窩的厚度范圍，得到了結構的變形模式分類圖。研究了不同速度、不同厚度的蜂窩面內動力學響應，針對蜂窩的能量吸收特征進行了分析。研究表明，NGV 蜂窩結構相比PGV 蜂窩結構具有更低的峰值應力和更好的能量吸收，研究結果能為連續梯變拉脹蜂窩結構的吸能提供參考。