分數槽永磁同步直線電機空載氣隙磁密解析

劉文奇, 崔皆凡, 李柏昕, 郝景申

沈陽工業大學 電氣工程學院, 遼寧 沈陽 110000)

0 引 言

永磁同步直線電機(PMSLM)發展迅速，因其質量輕、體積小、結構簡單、無中間驅動裝置、推力密度大、響應速度快等優勢在機床進給系統、機器人，航空航天等領域得到廣泛應用。其中，特別是分數槽永磁同步直線電機(FPMSLM)，具有端部繞組短、銅耗小、轉矩波動小等優點[1-3]。準確計算出PMSLM的氣隙磁密是對其進行優化設計和性能分析的前提條件，國內外的許多學者利用多種方法對其進行了較為深入的研究。

目前廣泛采用的方法有傳統磁路法、有限元法、解析計算法[4-6]。文獻[7]基于許克變換，借助許克變換工具箱分析了電機定子繞組產生的氣隙磁場和永磁體產生的氣隙磁場，該方法需要設計者精通許克變換工具箱的使用。文獻[8]運用解析法獲得電機磁場，但氣隙磁導函數采用了相應的替代函數。文獻[9]用傅氏級數法推導出FPMSLM的氣隙磁場，雖然解析法和有限元法具有良好的擬合度，但利用分布卡氏系數計算鐵心開槽對分數槽電機磁場的影響，增加了計算的復雜度。文獻[10]將電機細分成多個求解區域，進而獲得整個電機的磁場分布情況，此類方法可獲得較高計算精度，但其求解過程較為復雜，不利于電機性能的快速分析。

對于FPMSLM，每個磁極下氣隙磁場并不相同，因此不能只計算一對極下的氣隙磁場。本文以單元電機整體為研究對象，對定子不開槽下的氣隙磁場進行計算，再考慮定子開槽影響下的氣隙磁密，推導了FPMSLM定轉子整體耦合長度下任意位置的空載氣隙磁場解析式，最后以2臺單元電機，即10極 9槽、10極12槽FPMSLM為例，對其空載氣隙磁場進行有限元仿真。將有限元法結果與解析法結果進行對比分析，驗證了解析法計算空載氣隙磁密的可行性，節約了時間成本，為FPMSLM空載氣隙磁場的優化提供了理論支持。

1 PMSLM的氣隙磁場分析

1.1 單元電機的基本概念

分數槽繞組產生的磁動勢波形不是以每對極為一個重復周期，而是以一個單元電機為一個重復周期，因此在一個周期內每極所占槽數不同。對FPMSLM來說，其每極每相槽數q如下:

(1)

式中：Z為槽數;p為極對數;m為相數;F、d為經計算化簡之后，所得最簡分式的分子與分母。

當d為偶數時，單元電機的磁極數為d；當d為奇數時，單元電機的磁極數為2d。

1.2 氣隙磁場基本關系式

本文對FPMSLM空載氣隙磁場的解析表達式進行推導計算定子不開槽情況下永磁體磁密方波的解析式。

在定子不開槽的時候，氣隙是均勻分布的，因此氣隙中單位面積的磁導為

(2)

式中：δ為定子不開槽時永磁體磁化方向長度與氣隙長度之和。

又有：

δ=hm+δ0

(3)

式中：hm為永磁體磁化方向長度；δ0為氣隙長度。

在定子開槽的情況下，氣隙是周期性均勻變化的，此時氣隙中單位面積的磁導為

Λ(x)=μ0/δ(x)

(4)

式中：δ(x)為定子開槽時隨位置周期變化的氣隙長度。

定子開槽情況下，永磁體產生的氣隙磁密表達式為

(5)

式中：B(x)為定子開槽下的空載氣隙磁密；Bδ(x)為定子不開槽下的空載氣隙磁密。

1.3 定子不開槽時的氣隙磁場分布

在進行氣隙磁密解析式推導前，需要作以下3點假設：

(1) 鐵心沖片材料各向同性, 且磁化曲線是單值的；

(2) 忽略鐵心的渦流效應以及磁滯效應；

(3) 永磁體的磁導率與空氣磁導率相同。

以單元電機為例，因為每極下氣隙磁場不同，不能單獨推導一對磁極下的氣隙磁場，所以把整個磁極看作一個整體，分成極對數為奇數或偶數2種情況。圖1為極對數為奇數時FPMSLM氣隙磁密分布圖。坐標原點選在單元電機的極中心點。

圖1 極對數為奇數時定子不開槽氣隙磁密分布

在x∈[-pτ,pτ]區間內，氣隙磁密的表達式如下：

Bδ(x)=

(6)

式中：τ為極距；αi是計算極弧系數,k=0,±1，…，±[p/2]。

Bδ永磁體產生的方波氣隙磁密的幅值:

Bδ=Brhm/δ

(7)

式中:Br為永磁體剩磁。

由于Bδ(x)為奇函數，表示成傅里葉級數形式如下：

(8)

(9)

可得：

x∈[-pτ,pτ]

(10)

圖2為極對數為偶數時FPMSLM氣隙磁密分布圖。坐標原點選在單元電機的極中心點。

圖2 極對數為偶數時定子不開槽氣隙磁密分布

在x∈[0,Zt/2]區間內，氣隙磁密表達式為

Bδ(x)=

(11)

其中，k=0,±1,…,±[p/2]。

對其進行傅里葉變換，得定子不開槽，則極對數為偶數時永磁體產生的氣隙磁密如下：

x∈[-pτ,pτ]

(12)

對比式(10)和式(12)可以看出，極對數為奇數與極對數為偶數的單元電機，在定子不開槽情況下，其表達形式相同。由此可得，單元電機定子不開槽情況下，氣隙磁密表達式為

x∈[-pτ,pτ]

(13)

2 定子開槽空載氣隙磁場分布

定子開槽后，由永磁體產生的氣隙磁場會發生變化。把整個槽數看作一個整體，分成槽數為奇數或偶數2種情況。圖3為定子開槽后，單元電機槽數為奇數時等效氣隙長度隨x的變化情況。坐標原點選在整個單元電機的槽中心點。

(14)

式中：hs為槽深；t為齒距；b為槽寬。

圖3 槽數為奇數時氣隙長度分布圖

式(14)氣隙長度隨x的變化規律如下：

(15)

式中：w為齒寬，k=0,±1,…,[Z/2]。

其傅里葉分解表達式為

(16)

其中，

(17)

(18)

(19)

由Bo(x)=δBδ(x)do(x)可得，奇數槽FPMLSM的氣隙磁密表達式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(20)

單元電機的槽數為奇數時任意位置下的定轉子耦合部分氣隙磁密解析式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(21)

式中：l1為極中心線相對于齒中心線向左偏移的距離。

圖4為定子開槽后，單元電機槽數為偶數時等效氣隙長度隨x的變化情況。坐標原點選在整個單元電機的槽中心點。

圖4 槽數為偶數時氣隙長度分布圖

槽數為偶數時d(x)的求解同理于槽數為奇數時d(x)的求解，得：

(22)

當槽數為偶數時，FPMSLM的空載氣隙磁密表達式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(23)

單元電機的槽數為偶數時任意位置下定轉子耦合部分的氣隙磁密解析式為

x∈[-Zt/2,Zt/2]

(24)

式中：l2為極中心線相對于齒中心線向右偏移的距離。

由此可以看出，定子開槽后，改變了原本定子不開槽下的氣隙磁密次數和幅值。

3 解析法與有限元法對比

為了驗證氣隙磁場解析式推導的有效性， 選取2臺FPMSLM，即10極12槽FPMSLM、10極9槽FPMSLM，進行氣隙磁場解析計算。

10極12槽FPMSLM的永磁體磁化方向長度hm=7 mm，極弧系數αi=0.858，齒距t=17 mm，槽寬b=9 mm，極距τ=20.4 mm，氣隙長度δ0=1 mm。同時利用解析法與有限元法對其氣隙磁場進行計算。

圖5為開口槽結構10極12槽FPMSLM結構圖。 該FPMSLM的極中心線相對于齒中心線右移18.4 mm。

圖5 開口槽結構10極12槽FPMSLM結構圖(單位：mm)

圖6為電機處于圖5位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結果對比。

圖6 電機處于圖5位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結果對比

由圖6可得，解析法可以較為準確地反映FPMSLM的空載氣隙磁場。2種方法也反映了開口槽結構FPMSLM氣隙磁場諧波含量大的問題。因此，在實際工程應用中一般采用閉口槽結構。

利用解析法和有限元法同時對半閉口槽結構的10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密進行計算。

圖7為半閉口槽結構10極12槽FPMSLM結構圖，極中心線與齒中心線對齊。

圖7 半閉口槽結構10極12槽FPMSLM結構圖

圖8為半閉口槽10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結果對比。

圖8 半閉口槽10極12槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結果對比

由圖8可得，解析法計算同樣可以反映半閉口槽10極12槽FPMSLM的空載氣隙磁密。

10極9槽FPMSLM的永磁體磁化方向長度hm=7 mm，極弧系數αi=0.858，齒距t=22 mm，槽寬b=14.03 mm，極距τ=20.4 mm，氣隙長度δ0=1 mm。同時利用解析法與有限元法對其氣隙磁場進行計算。

圖9為開口槽結構10極9槽FPMSLM結構圖。該FPMSLM的極中心線相對于齒中心線右移10 mm。

圖9 開口槽結構10極9槽FPMSLM結構圖(單位：mm)

圖10為電機處于圖9位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結果對比圖。

圖10 電機處于圖9位置時，電機空載氣隙磁密解析法與有限元法結果對比

圖11為半閉口槽結構10極9槽FPMSLM結構圖，極中心線與齒中心線對齊。

圖11 半閉口槽結構10極9槽FPMSLM結構圖

圖12為半閉口槽10極9槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結果對比。

圖12 半閉口槽10極9槽FPMSLM空載氣隙磁密解析法與有限元法計算結果對比

表1為解析法與有限元法的基波幅值及其誤差對比。表2為解析法與有限元法的3次諧波幅值及其誤差對比。

表1 解析法與有限元法基波幅值對比

表2 解析法與有限元法3次諧波幅值對比

由表2的數據可知，解析法與有限元法存在誤差。在實際情況中，由于鐵心磁導率遠大于氣隙，受媒質突變和邊緣效應的影響在槽口邊沿處磁密會出現短距離的激增現象，而解析法不存在磁密突增的情況；解析法在計算過程中，磁力線垂直槽底，而有限元法中，磁力線在槽中轉向槽壁，這2點均是解析法比有限元法存在誤差的原因。

4 結 語

本文采用解析計算的方法，對FPMSLM的空載氣隙磁密進行了分析和計算，得出FPMSLM的空載氣隙磁密解析式。并以2單元電機， 即10極12槽、10極9槽FPMSLM為例，分別用解析法和有限元法對電機的空載氣隙磁密進行計算，計算了解析法與有限元法所得結果的誤差。誤差的主要原因為，當解析法計算時，槽深為實際槽深，而實際情況下，磁力線并不會垂直指向槽底，可通過經驗系數來計算等效槽深，以此減小誤差。解析法給出了FPMSLM空載氣隙磁場與電機結構尺寸的直接關系式，與有限元方法相比，解析法提高了計算速度，降低了計算的規模，節約了時間成本，為進一步分析FPMSLM的工作特性提供了參考。