從整數視角到分數視角

王凌

摘要：在“分數的初步認識”第二個階段的學習中，學生要把一些物體看作一個整體平均分成若干份，知道其中的一份或幾份可以用怎樣的分數表示。這時，由于整數視角與分數視角的混用，學生會把平均分的份數與每份的個數、整體的個數糾纏在一起，從而引發錯誤。對此，教師在教學中，不能只關注整體（單位“1”）和平均分的份數，同時也要關注整體的個數和每份的個數;進而，引導學生通過比較發現同一對象的兩種表示方式，在比較的過程中達成認知平衡，即認識率與量的對應關系。

關鍵詞：分數的初步認識;整數視角;分數視角

三年級學生學習“分數的初步認識”時，通常要經歷兩個階段：第一個階段，把一個物體或一個圖形平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數表示;第二個階段，把一些物體看作一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數表示。

在多年的聽課過程中，筆者發現，學生在第二個階段的學習中，經常出現這樣的錯誤：用24或28表示圖1中的涂色部分。即便教師反復強調平均分的份數與涂色部分所表示的份數，這樣的錯誤也還是反復出現。

為什么學生會出現這樣的錯誤呢？筆者嘗試基于學生的已有經驗做出分析。

在學習分數之前，學生都是用整數表示生活中物體的個數，即表示具體的量的多少的。他們看到2個蘋果時會自動想到“2”，看到5個皮球時會自動想到“5”。此外，學生也會用整數表示兩種量的倍數關系。這時，他們眼中看到的是兩種量，腦中有著明確的比較意識，因而，知道所用的整數與用于表示物體個數的整數在意義上是不同的。通常來說，學生更擅長用整數表示物體的個數。我們不妨稱之為兒童認識世界的整數視角。

在“分數的初步認識”第一階段的學習中，學生通常是根據部分與整體之間的關系認識分數的，即通過比率的倍數關系理解分數。比如，蘇教版小學數學教材引導學生把一個蛋糕平均分成2份，知道每一份是它的12，這里的12反映的是1份與整體之間的關系。當然，分數也可以表示量，如一個蛋糕的12就是12個蛋糕。但是，這像繞口令一樣的描述，并不能讓三年級學生區分出其中的不同，反而會讓他們愈發迷茫。因此，教材在這里并不突出分數意義中量的屬性，而是通過平均分的份數與要表示的份數之間的關系，讓學生初步理解分數。這樣的安排在“分數的初步認識”第一階段的學習中，不會對學生產生干擾，因為這一階段學習的都是將一個物體（圖形）平均分成若干份，其中的1份或幾份既是這個物體（圖形）的幾分之一或幾分之幾，又是幾分之一或幾分之幾個這個物體（圖形）。這時，學生不需要具體地區分所寫的分數究竟是表示倍數關系的分率還是表示具體的量的數值，因為寫出的分數是同一個分數。

但在“分數的初步認識”第二階段的學習中，情況發生了變化：表示1份的分數與這1份中物體的個數不相等了。比如，蘇教版小學數學教材引導學生把一盤（6個）桃平均分成2份，知道每一份是這盤桃的12，但學生同時也知道每一份有3個桃。這樣，觀察同樣的對象就有了不同的視角，會得到不同的結果：（1）整數視角，即6÷2=3（個）桃;（2）分數視角，即部分與整體之間關系的視角，也就是把一盤桃平均分成2份，每一份是這盤桃的12。正是同一對象的兩種觀察視角和觀察結果，導致學生的認知沖突，進而導致上述用分數表示時的錯誤。具體來說，用24表示的原因在于：等分的份數是4份，1份中有2個。也就是說，觀察1份時，整數視角在發生作用，看到了其中的2個。用28表示的原因在于：整體中有8個，1份中有2個。也就是說，觀察整體與觀察1份時，整數視角都在發生作用。可以看出，整數視角的干擾，讓學生在用分數表示時，把平均分的份數與每份的個數、整體的個數糾纏在了一起，引發了錯誤。

那么，教師在教學中如何應對這樣的錯誤呢？

從根本上說，就是不能只關注整體（單位“1”）和平均分的份數，同時也要關注整體的個數和每份的個數;進而，引導學生通過比較發現同一對象的兩種表示方式，在比較的過程中達成認知平衡，即認識率與量的對應關系。

具體來說，可以設計表1，引導學生逐步填寫、不斷比較，并重點觀察每份的個數與每份表示的分數，從而體會到雖然平均分后每份的個數是客觀存在的，但是用分數表示時“論份不論個”，即不管有多少個桃，只要是1份，就是這盤桃的幾分之一。

參考文獻：

[1] 楊凱.數學教學要克服前攝抑制——《分數的意義》教學嘗試與改進[J].教育研究與評論（課堂觀察），2018（4）.