育人無痕，養力有道

徐斌　劉曉萍

【編者按】 2021年1月8日，著名特級教師徐斌在江蘇省蘇州市吳中區獨墅湖實驗小學執教了一節《除數是兩位數的除法》復習課。這是一節“無痕教育”理念下的“三無課”，無生活情境，無電腦課件，無固定教案。本期分享這節課中的幾個精彩片段（含視頻，掃描二維碼免費觀看）以及劉曉萍老師的點評。接下來，我們還會用“文字+視頻”的方式呈現更多有研究價值的課例，帶您“走入”課堂現場，讓您獲得多維度的“觀摩”體驗。

摘要：徐斌老師執教的《除數是兩位數的除法》復習課，是其“無痕教育”理念下挖掘小學數學復習課育人價值、創造學生喜歡的數學課的垂范：“三無”實踐課，為學生的數學學習服務;串聯規律性內容，創造學生喜歡的數學課堂;對話與共享，使學生更有序地發展思維與能力;靈活生長，讓學生的學習經歷更靈動。

關鍵詞：無痕教育;復習課;《除數是兩位數的除法》

一、教學過程

（一）再現舊知，激活經驗

師今天這節課，我們要復習有關除法的知識。（板書：除法）同學們還記得我們小學里是從幾年級開始學習除法的？

生（齊）二年級。

師那你知道除法是什么？

生平均分。

師是的，除法跟平均分有關。我們在計算除法的時候，要注意什么？

生得出來的商不能寫錯位置。

師有道理！還有誰有補充？

生余數不能大于除數。

師這個很重要，要寫下來。（板書：余數小于除數）那是簡單的除法，這學期我們學習的除法中除數是幾位數的？

生 （齊）兩位數。

師（在“除法”前板書：除數是兩位數的）除數是兩位數的除法，我們在除的時候是從哪一位除起的？

生 （齊）最高位。

師我們在做除數是兩位數的除法筆算的時候，（板書：從高位除起）要從高位除起。接下來，我們先復習一些基本知識。請三位同學完成三道筆算除法，其余同學一起來口答幾道題。

[指名三名學生上黑板筆算： 2096、3296、39192。教師依次出示口算卡片：60÷20=、150÷30=、20×（）<96 、30×（）<96、40×（）<192、30×（）<279、20×（）<111。并提問：括號里最大能填幾？學生回答。]

師好的，不錯！我們看看黑板上三位同學做的筆算除法。（指第一題）你覺得做對了嗎？

生 （齊）不對。

師哪兒出了問題？

（學生舉手。）

師這道題是誰做的？

（答題學生舉手。）

師你自己有沒有發現做錯了？自己上來改更好。

（學生上臺改正。）

師現在對了嗎？由此，我們就要注意：在計算的時候要細心。（指學生改正后的算式）像這里，4寫在哪一位上？

生 （齊）個位。

師（指學生在第二題“32”上面輕輕寫的“30”）他這里寫了個“30”，也就是說，我們在做除法的時候，遇到除數不是整十數時，我們會把它看成——

生 （齊）整十數。

師也就是說，我們在做除法的時候，遇到除數不是整十數，（在課題中畫出“兩位數”，并在下面板書“整十數”）我們就把這個兩位數看成整十數。在看成整十數的時候，把32看成了30，我們說，進行的叫作——（板書：試商）試商。這種方法叫作——

生 （齊）四舍法。

師對，你看個位上的2比4小，就把它舍去，變成30。（板書：四舍法）這種方法叫作四舍法。看成了30，但乘的時候要跟多少相乘？

生 （齊）32。

師相乘下來沒有余數。好，來看第三題。同樣，她也試商了，她也把39看成了整十數，她用的叫作什么方法？

生 （齊）五入法。

（教師板書：五入法。）

師（指第一、第三題）這兩題有余數，同學們剛才已經說了，余數要小于——

生 （齊）除數。

師對！余數要小于除數。

[說明：教學伊始，主要是在師生談話中再現相關舊知。首先，讓學生回憶除法的基本含義以及計算除法的基本要點;然后，讓學生復習除數是整十數的除法口算以及括號里最大能填幾，為筆算除法的試商思路做準備;而黑板上的三道題目則幫助學生從除數是整十數的除法筆算過渡到“四舍法”和“五入法”的基本試商方法。]

（二）對比梳理，突破難點

師我們在算除數是兩位數的除法的時候，用了四舍法或者五入法試商，每一次都能一次試下來就正好嗎？

生 （齊）不是。

師有的時候會遇到什么情況？

生 余數比除數大。

生 除出來不夠。

師也就是乘下來之后，比被除數要大，不夠減。是的，試商，試商，它就是要試的。有的時候試下來正好，有的時候試下來不正好，那還要做什么？

生 （齊）調商。

師（板書：調商）那試下來什么時候有可能要調商？調一次就一定行了嗎？

（學生搖頭，表示不一定。）

師接下來，我們就研究這一類問題。請大家打開我們的練習紙。看第1道算式：279÷34。（板書：34279）來，我們一起動手、動筆。用什么方法試商？

生 （齊）四舍法。

師請大家試商時記得在除數上面寫上看成哪個整十數，然后來試商看看。

（學生筆算，教師巡視。）

生 發現試下來不夠減了。

師 有同學發現問題了，我們一起來看一看。用四舍法試商，把34看作多少？

生看作30。

師279里面最多有幾個30？

生9個。

師商了9之后，我們一起來乘一乘，9乘34得多少？

生（齊）306。

師是呀！279減去306，就是剛才有同學所說的，夠不夠減了？

生 （齊）不夠。

師不夠減了，什么原因造成的？

生商偏大。

師什么原因造成初商偏大的？

生因為用了四舍法。

師為什么用四舍法試商時，初商偏大呢？

生把除數看成整十數的時候，本來是34，看成了30，看小了。

師（畫箭頭并板書“看小”）本來是34，看成了30，看小了，但實際上用9去乘的時候，是去乘30，還是去乘34？

生（齊）34。

師對，乘的除數不小，乘下來的得數就偏大。

師 （板書：易大）同學們遇到試商時，初商易大，那就要怎么樣啊？

生 （齊）調小。

師（板書：調小）我們一起來調調看。商9太大了，我們就把它調成幾？

生 （齊）8。

師調成8，這一次乘下來是多少？夠減了嗎？

生 乘下來是272，夠減了。

師余數是幾？

生 余數是7，比除數小。

師（指3296與34279）這兩題我們都采用了四舍法試商，但是，試商時有什么不一樣？

生第二題遇到了調商。

師是的。正如剛才同學們發現的，用四舍法把除數看小了，而實際上乘的是原來的除數，所以初商就易大，大了就需要調小。剛才這題調了一次就正好了，那么請大家思考一下：會不會出現調商一次后需要再調商的情況？

生 （齊）會。

師（板書：3427□）徐老師把這道題稍微改一改，請大家注意觀察，被除數的百位和十位不變，除數還是34，那么，我們還是用四舍法試商。請同學們思考：如果被除數個位是幾，就需要調商兩次？

生1。

師大家一起來算算看，是不是需要調商兩次？

生好。

師你們說試商過程，老師寫下來。用四舍法把34當作30，初商應該是商幾？

生9。

師初商了9，還記得剛才乘得的情況嗎？

生太大。

師太大，那就把這個9改成8。調大之后，8乘34等于272。夠減嗎？

生271比272小，不夠減。

師那接下去怎么辦？

生把8再調成7。

師調成7后，再乘34，得多少？

生238。

師271減238，夠減嗎？余數符合要求嗎？

生夠減了，余數是33，比除數小。

師果然，在試商時可能會出現需要調商兩次的情況。這道題，被除數個位上除了填1，還可以填幾，也需要調商兩次？

生填0也要調商兩次。

師我們四（8）班同學真聰明！通過剛才的這一組練習，我們已經知道，用四舍法試商的時候，有的時候一次試商正好，有的時候需要調商一次，有的時候還需要調商兩次。這是什么原因造成的呢？

生是因為我們用四舍法試商時把除數看小了，計算時結果可能會偏大，偏大了就需要調小。

[說明：除數是兩位數的筆算，難點是試商與調商，尤其是可能出現兩次調商。這里，通過除數個位上比5小的幾道題目，讓學生嘗試四舍法試商與調商，從不需要調商到需要調商，從調商一次到調商兩次，逐步走向深入。尤其是兩次調商的探索部分，教師沒有直接出示完整的題目，而是讓學生結合剛才的一次調商題目，思考被除數個位上改成幾就需要調商兩次，進而對調商的原因以及試商的方法有了深刻體會與理解，使學生關注計算時的審題與比較。]

（三）探索規律，理解本質

師剛才我們復習了四舍法試商。接下來，請同學們根據這樣的規律猜想一下，如果用五入法試商，可能會出現什么情況？

生把除數看大，初商可能偏小。

生初商偏小了，就要調大。

師（根據學生回答畫箭頭并板書“看大、易小、調大”）這是同學們的猜想，到底是不是這樣呢？請大家來試一試，完成練習紙上第2道算式。

（教師板書：16111。學生獨立探索，教師巡視指導。）

師試商時把16看成多少？

生（齊）20。

師111里面最多有幾個20？

生（齊）5個。

師商5后，5乘16等于多少？

生（齊）80。

師111減80——

生（齊）31。

師31里面還有幾個16？

生（齊）1個。

師因此，果然出現了用五入法試商的時候，把16看成20看大了，而實際上乘的時候有那么大嗎？

生（齊）沒有。

師所以乘下來有可能就小了，再減下來，這個余數就可能偏大了，需要把初商調大。剛才這題是一次調商。接下來考驗我們四（8）班同學水平的時候又到了，現在徐老師想把這道題目再改一改。（板書：1□111）這一次，被除數不變，還是111，我把除數16改成十幾，就有可能需要兩次調商呢？

生調成19。

生調成13。

師調成13還是五入法試商嗎？

生（齊）不是。

生17。

生18。

生15。

師我們剛才說了，用五入法試商，易把它看大了;乘的時候要乘下來比較小，我們要兩次調商的話，除數比16怎么樣？

生（齊）小。

師比16小，那就是15。我們一起來驗證一下。111里面最多有幾個20？

生5個20。

師5乘15等于多少？

生75。

師111減去75等于多少？

生36。

師36里面最多有幾個15？

生2個。

師是啊！所以，我們可以靈活一點：36里面還有2個15，我們可以——

生直接調成7。

師很不錯！接下去，考驗同學們的時候又到了。我把這道題再改一改，（板書1611□）除數還是16，被除數十位和百位不變，個位如果是幾，就需要兩次調商？同桌互相商量一下。

（學生同桌討論、交流。）

師討論后大家動筆試一試，把結果填在老師發給大家的學習單上。

（學生動筆計算，教師巡視指導。）

師誰先來匯報一下填幾就需要兩次調商？

（學生回答“填0”，驗證發現只需要一次調商。）

生填9。

師請你介紹一下思考過程。

生119除以16，把16看作20試商，119里面最多有5個20，初商5后和16相乘得80，119減去80得39，39里面還有2個16，需要把初商5調整為7。

師說得非常清晰完整！被除數個位上還可以填幾？

生還可以填3。

生填2。

……

師（分別板書2、3、4、5、6、7、8、9）同學們真厲害！不僅填出了符合要求的數，而且發現了調商的規律。

[說明：為了幫助學生有效突破調商的難點，又不陷入機械的題海練習，教師精心設計了五入法試商與調商的探索性學習過程。首先，讓學生根據四舍法試商小結出的規律對比猜想，并動筆驗證;然后，引導學生針對需要兩次調商的問題嘗試改編題目，既有被除數不變而只改變除數個位上數字的題目，也有除數不變而只改變被除數個位上數字的題目。這樣的設計，引領學生在變式題組中發現調商規律，探索除法本質。]

（四）總結回顧，深化思維

師課上到這里，我們來回顧一下。剛才我們研究了除法筆算，誰能把黑板上的算式分分類？

（指名學生上黑板分類：除數是整十數，除數不是整十數用四舍法或五入法，用四舍法或五入法不需要調商、需要一次調商、需要兩次調商。教師小結。）

師同學們分類和總結得很有道理！經過剛才的復習，我們知道計算除數是兩位數的除法時要從高位除起，而且余數小于除數。那么，除數是兩位數的除法，商可能是幾位數？你能各舉一個例子嗎？

生兩位數除以兩位數，商肯定是一位數。

師（板書豎式：□□□□）是的，目前我們學到的整數除法被除數一般比除數大，所以商是一位數。（板書豎式：□□□□□）如果被除數是三位數呢？

生商可能是一位數，也可能是兩位數。

生被除數前兩位夠除，商就是兩位數;被除數前兩位不夠除，商就是一位數。

師同桌交流一下所舉的例子。

（學生交流。）

師那么今后遇到四位數除以兩位數，商可能是幾位數呢？

生商可能是三位數或兩位數。

師同學們的推想和舉例很有道理！再回到剛才的試商和調商問題，不管是用四舍法試商，還是用五入法試商，你覺得除數的個位是哪些數字，可能需要調商？這個問題先想著，不用著急說。徐老師再出幾道題，大家先觀察、猜想，再討論、交流，最后驗證自己的想法。（板書：21189、24189、25189、28189）請大家觀察這四道題，重點觀察被除數個位上的數字，然后根據自己的經驗先猜猜看：哪些題一次試商會成功？哪些題可能需要調商？哪些題可能需要兩次調商？

（學生四人小組交流，教師巡視指導。）

師請每個小組派代表匯報一下。徐老師想知道哪些題不需要調商。

生 第一題和第四題。

師其他組同意嗎？

生 （齊）同意。

師大家仔細觀察這兩題，用四舍法或五入法試商后不需要調商，你覺得它的個位有什么特點？

生 用四舍法試商不要調商時，一般除數個位都是1、2這種比較小的數。

師就是靠近幾？

生 靠近0，就是比較靠近整十數。

師那用五入法試商的時候呢？

生 就是8、9這種靠近整十數的。

師對，說得真有道理！根據你們剛才試的情況，哪一題只要調一次？

生189除以24。

師189除以25，試商后要調幾次？

生調兩次。

師不管調一次、調兩次，我們能從需要調商的計算中發現什么規律？

生如果是四舍法，一般都是除數個位靠近4的。

師那么五入法呢？

生靠近5的。

師是啊，如果四舍法試商時除數個位靠近4或者正好就是4，五入法試商時除數個位靠近5或者正好是5，有可能需要調商。當然了，這只是一般的方法，我們真正在試商和調商的時候，可能還有更巧妙的方法，需要同學們不斷去猜想、試驗與發現，這樣我們就會變得更加聰明與靈活。

（教師板書：靈活。）

……

[說明：除數是兩位數的計算，既有口算也有筆算，但學生首先需要學會估算，學會準確判斷商是幾位數，因此教師設計了讓學生猜想商是幾位數的練習，并讓學生分別舉例、說明道理。在課堂最后的拓展練習階段，讓學生結合本節課的復習重點進一步觀察與分類，對比與概括，形成對試商與調商的清晰認知。由此，思考調商的本質以及如何更靈活地試商，促進學生對除法計算的深度理解。]

二、教學評析

（一）“三無”：為學生的數學學習服務

為學生的數學學習服務，是“無痕教育”一直秉持的教育哲學。

徐老師戲稱這是一節“三無”的實踐課，即：無生活情境的計算課、無電腦課件的常態課、無固定教案的生成課。“三無”實則是“無痕教育”的一次實踐創新，于淡墨無痕中實現師生的共同生長！再精彩的預設也無法預知課堂的全部細節，尤其是學生會遇到怎樣的困難、會有哪些新的感悟。因此，本節課少了PPT的按部就班，多了師生真誠而自然的對話;板書是師生共同成就的，留下了師生圍繞學習重點與難點所展開的對話與交流痕跡。這體現了徐老師對學生數學學習的充分尊重，以及對學生學習情況的深度洞察和對教學內容的整體把握，是一種“教”與“學”、 “進”與“退”的智慧與藝術。

（二）“串聯”：創造學生喜歡的數學課堂

創造學生喜歡的數學課堂，是“無痕教育”一直追尋的教育理想。

復習課不是舊知識的重復再現，也不是題目的簡單堆砌，重要的是把帶有規律性的內容，以再現、整理、歸納等手段串聯起來，以達到融會貫通、觸類旁通之效果。

除數是兩位數的除法，試商和調商是學習的重點和難點。徐老師首先呈現2096、3296、39192這三道題，與學生圍繞把除數看成與它最接近的整十數這一基本試商方法展開討論。四舍法、五入法試商，會遇到什么情況？引出了初商有時會過大或過小需要調商的話題。

初商過大與過小的表現不同，調商的方向與方法也不同。接著，在對34279、34271與16111、1□111、1611□的討論中，幫助學生厘清在用四舍法、五入法試商時需要試商幾次的問題。而“是什么原因造成有的時候需要試商一次、有的時候需要試商兩次”的追問，讓學生的思維直抵運算的本質，邁向深刻。

最后，徐老師還鼓勵學生通過分類，進一步澄清認知：除數是兩位數的除法有時除數不是整十數，需要把除數看成整十數試商;試商有四舍法和五入法兩種;不管哪種方法試商，有的時候正好成功，有的時候還需要調商……分類活動、師生對話、結構化板書幫助學生很好地建構了除數是兩位數的除法的知識網絡結構圖，既指向內容，更指向方法及本質。

（三）“對話”：使學生更有序地發展思維與能力

對話與共享，是“無痕教育”追求的理想課堂樣態。

“同學們真有禮貌！今天這節課，我們要復習有關除法的知識。”課堂從交心式的談話開始。

當課堂上出現錯誤時，徐老師帶著微笑示意：“你自己有沒有發現做錯了？自己上來改更好。” 學生在徐老師營造的寬松氛圍中改正了錯誤。之后，徐老師順勢提醒全班注意商的位置。容錯與糾錯中，學生獲得了更多學習的自信與力量。

“我們在算除數是兩位數的除法的時候，用了四舍法或者五入法試商，每一次都能一次試下來就正好嗎？”指向本質與核心的“大”問題把學生引向思維深處，展開整體性思考：筆算除數是兩位數的除法時，有時會遇到調商的情況，有的時候需要調商一次，有的時候需要調商兩次。

“接下來，請同學們根據這樣的規律猜想一下，如果用五入法試商，可能會出現什么情況？”鼓勵學生猜想，以理解促進遷移。

“（1611□）除數還是16，被除數十位和百位不變，個位如果是幾，就需要兩次調商？”引發學生對除數是16這一類問題的整體思考。

“再回到剛才的試商和調商問題，不管是用四舍法試商，還是用五入法試商，你覺得除數的個位是怎樣的數字有可能需要調商？”引發學生從部分到全局、從下位到上位整體思考并回答除數是兩位數的除法運算法則及其算理的問題。

教學活動的推進發生在學生的嘗試練習之后，教師總會與學生一起進行對話與分享、展開反思與交流。層層推進，引發學生不斷地在這些觸及本質及結構的問題中展開思考、獲得新的發現、得到新的提升。

（四）“生長”：讓學生的學習經歷更靈動

讓每一個孩子享受教育成長的快樂，是“無痕教育”追求的至高育人目標。

蘇霍姆林斯基說過：一個人到學校上學，不僅是為了取得一份知識的行囊，而主要是為了獲得聰明。數學復習課是學生認知策略習得、數學思想方法獲得及解決綜合問題能力提高的極好時機，靈活生長應該成為復習課承載的更為重要的育人功能。

本節課，徐老師獨具匠心地把34279改成3427□、把16111改成1□111、1611□。新的問題情境呈現，一改以往教師出一道題、學生算一道題的教學方式，教師“退”后把出題的主動權讓給學生，學生在對數據的觀察與思考中“進”而成為命題者。在由“一道題”變化為“多道題”的過程中，學生主動發現題目之間的“異”與“同”，有效提升運算能力和對除法試商與調商的理解。

最后一個環節，讓學生舉例子，關聯多個知識點，牽一發而動全身。學生在觀察與思考中、交流與分享中，發展了數感和運算能力，提升了學力。

育人無痕，養力有道。本節課中，徐老師的努力不僅僅用在學生會“做”題上，更用在促進學生對算理理解后的算法結構形成上，用在引發學生思考上，用在學生已學知識的穿線結網上，用在學生自主復習能力的提升上。可以說，這節課學生在徐老師“無痕”的教中，留下了諸多的“有痕”：既完善了認知結構，溫故而知新，又發展了數學思考，滋養了學力，提升了數學素養。