1/n 冷儲備系統可靠性評估通用模型*

李志強，曾 翔，顧鈞元，徐廷學

（1.解放軍91388 部隊，廣東 湛江 524024；2.海軍航空大學，山東 煙臺 264001）

0 引言

復雜系統中每個元件都具有很高的可靠度，如果想進一步提高單個元件的可靠度，難度大、成本高、成效不明顯。因此，提高復雜系統可靠性水平的普遍方式就是采用冗余設計［1-2］。對于難以停機維修的復雜系統，如處于極端環境條件下的裝置、必須長期處于運行狀態的設備、停機將帶來巨大經濟損失的系統，采用冗余設計是保證系統高可靠性最有效、最直接的方法。在并聯系統中，冗余結構設計包括3 種方式：熱儲備方式，當工作元件工作時，儲備元件也工作；溫儲備方式，當工作元件工作時，儲備元件處于休眠狀態；冷儲備方式，當工作元件工作時，儲備元件不工作。其中，已有諸多學者針對熱儲備系統進行了深入研究［3-6］。因此，冗余設計的研究重點逐漸從熱儲備系統延伸到溫儲備系統和冷儲備系統領域［7-11］。

相比于熱儲備系統，冷儲備系統中備份元件具有接近于0 的失效率，系統具有最高的可靠度。溫儲備系統作為熱儲備系統和冷儲備系統的折中選擇，比熱儲備系統消耗較少的電源、元件具有較低的失效率，比冷儲備系統備份元件模式轉換更迅速。李振等［12］提出了將溫儲備系統和冷儲備系統近似于熱儲備系統的可靠性歸一計算方法。在溫儲備系統中，儲備件在儲備期間失效率相對工作狀態時低，但是，其失效率是確實存在的。在冷儲備系統中，儲備件失效率為0，應用該近似算法進行可靠性評估時因參數設置的不同而出現不同程度的誤差。此外，近似算法中假設元件的故障失效時間服從指數分布，對于不同分布類型的失效函數無法應用文獻［12］中的方法進行確定。鑒于復雜系統中，元件壽命主要服從指數分布模型、正態分布模型和威布爾分布模型，本文建立的冷儲備系統可靠性評估通用模型以這3 種分布類型為對象展開研究。

1 模型構建

如圖1 所示，n 元件冷儲備系統的動態故障樹模型，其中，元件A1為初始元件，元件A2～An為冷儲備元件。假設所有元件統計獨立，所有儲備元件從左到右依次使用，當所有元件失效時，冷儲備系統失效。當元件A1在T1時刻失效時，元件A2代替A1繼續工作運行，當元件A2在T1+T2時刻失效時，元件A3代替A2繼續運行，依此類推。假設元件更換瞬間完成，時間段T1，T2，…服從獨立同分布。因此，在冷儲備系統中作出如下假設：

1）冷儲備系統中所有元件統計獨立；

2）任務期間冷儲備系統不可維修；

3）冷儲備系統元件之間沒有共因失效，即儲備元件在使用之前不會發生失效；

4）系統故障檢測完全可靠；

5）冷儲備系統中儲備元件啟動失效的概率為0，基于此，冷儲備元件相對于熱儲備元件和溫儲備元件更為可靠；

6）冷儲備系統及其元件均為二狀態，即工作運行狀態與故障失效狀態。

圖1 具有n 個元件的冷儲備系統

用Sn表示冷儲備系統中第n 個元件失效時的時間，則有：

根據大數定理［13］，有：

式中，μ 表示冷儲備系統中每個元件的平均失效時間。

根據中心極限定理，Sn的近似正態分布為：

式中，σ 表示Ti的標準差。

則冷儲備系統的不可靠度近似為：

式中，Φ（·）表示標準正態分布N（0，1）的分布函數。

2 不同分布模型的可靠性評估方法

2.1 指數分布模型

基于近似評估模型式（4），故障失效時間服從指數分布的冷儲備系統不可靠度表示為：

式中，μ 為冷儲備系統中元件的平均失效時間，σ 為Ti的標準差，當系統中元件的故障失效時間服從指數分布時，μ=σ，erf（·）為誤差函數，有：

作為對比，建立圖1 所示冷儲備系統的Markov狀態轉移過程，如下頁圖2 所示。

圖2 冷儲備系統的Markov 模型

由于冷儲備系統處于各個狀態的概率值之和等于1，即：

應用拉氏變換與反拉氏變換即可求解Markov模型，確定冷儲備系統的不可靠度函數［14-15］：

2.2 正態分布模型

應用近似評估模型式（4），確定元件故障失效時間服從正態分布時冷儲備系統的不可靠度函數：

依此類推，即可確定由n 個元件組成的冷儲備系統不可靠度函數：

由于每個元件的故障失效時間服從相同正態分布，冷儲備系統的不可靠度表示為：

2.3 威布爾分布模型

威布爾分布的概率密度函數表示為：

式中，η 為尺度參數，β 為形狀參數。

當β＜1 時，元件的失效率隨時間增加而逐漸降低，這一趨勢在元件的早期失效期比較明顯；當β=1時，元件的失效率為常數，此時的威布爾分布函數轉化為指數分布函數；當β＞1 時，元件的失效率隨時間逐漸增加，這一階段的元件出現不同程度的退化或者老化。

威布爾分布函數的標準差為：

代入式（19），威布爾分布函數的標準差進一步表示為：

因此，當元件服從威布爾分布時，冷儲備系統的近似不可靠度函數表示為：

當β=2 時，冷儲備系統的不可靠度函數為：

鑒于Markov 模型難以對威布爾分布函數建模，應用積分法確定冷儲備系統的不可靠度：

3 可靠性評估通用模型仿真分析

3.1 指數分布模型

假設冷儲備系統中元件的平均失效時間為μ=1 000、配 置 的 元 件 數 分 別 為n=2、n=5、n=10 和n=40，應用式（5）、式（11）確定冷儲備系統的近似不可靠度函數與精確不可靠度函數，曲線如圖3 所示。作為定量分析，選取冷儲備系統不同時間點的不可靠度值，并計算精確值與近似值之間的誤差，如表1 所示。從圖3 和表1 可以看出，近似值與精確值之間誤差不大，式（5）可以作為冷儲備不可靠度的近似評估方法。隨著系統儲備元件的增加，冷儲備系統精確值與近似值之間的誤差逐漸降低，即近似評估方法越精確。

3.2 正態分布模型

假設冷儲備系統中元件的平均失效時間為μ=1 000、標準差σ=200、配置的元件數分別為n=2 和n=3，應用式（13）、式（16）確定冷儲備系統的近似不可靠度函數與精確不可靠度函數，對比結果如下頁圖4 所示。冷儲備系統中不同時間點的不可靠度值以及精確值與近似值之間的誤差，如表2 所示。從圖4 和表2 可以看出，近似值與精確值幾乎重合，式（13）可以作為冷儲備系統不可靠度的近似評估方法。計算機系統運行環境為Intel i7-7700H Q 處理器、8.00 G 內存、256 G 固態硬盤，當元件為n=2 時，式（16）的整個仿真過程運行時間約為4 s，當元件為n=3 時，式（16）的整個仿真過程運行時間約為82 s。隨著元件數量的增加，多重積分的計算越復雜、計算量越大，因此，當元件數量較多時可以考慮用近似評估方法式（13）進行代替。

圖3 指數分布模型不可靠度曲線

表1 指數分布函數仿真結果對比

圖4 正態分布模型不可靠度曲線

表2 正態分布函數仿真結果對比

3.3 威布爾分布模型

假設冷儲備系統中元件的平均失效時間為μ=1 000、威布爾模型的形狀參數β=2、配置的元件數分別為n=2 和n=3，應用式（21）、式（23）確定冷儲備系統的近似不可靠度函數與精確不可靠度函數，對比結果如圖5 所示。冷儲備系統不同時間點的不可靠度值以及精確值與近似值之間的誤差，如表3 所示。從圖5 和表3 可以看出，近似值與精確值之間誤差不大，式（21）可以作為冷儲備系統不可靠度的近似評估方法。當元件為n=2 時，式（23）的整個仿真過程運行時間約為63 s，當元件為n=3 時，式（23）的整個仿真過程運行時間約為902 s。隨著元件數量的增加，多重積分的計算越復雜、計算量越大，因此，當元件數量較多時可以考慮用近似評估方法式（21）進行代替。

圖5 威布爾分布模型不可靠度曲線

表3 正態分布函數仿真結果對比

4 結論

針對冷儲備系統近似于熱儲備系統時，可靠性評估結果受參數設置影響大、且元件壽命必須服從指數分布的問題，從冷儲備系統工作原理出發進行模型構建，提出了通用評估方法：

1）對于元件壽命服從指數分布的冷儲備系統，當儲備元件增加時，其可靠性評估的精確值與近似值之間的誤差逐漸降低；

2）對于元件壽命服從正態分布和指數分布的冷儲備系統，可靠性近似評估方法相對于原始方法計算簡單，便于在工程上推廣應用；

3）由于當前只針對1/n 冷儲備系統進行分析研究，因此，下一步將在此基礎上深入分析k/n 冷儲備系統的可靠性評估通用方法。