一種頻偏條件下新的Chirp-BOK分?jǐn)?shù)域解調(diào)方法

寧曉燕， 聶毅帆， 孫志國， 王秋瀅

(信息與通信工程學(xué)院 哈爾濱工程大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150001)

擴(kuò)頻通信是一種發(fā)射信號(hào)占用帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于發(fā)送信息所需帶寬最大值的傳輸方式，由于其具有抗干擾能力強(qiáng)、隱蔽性好、易于實(shí)現(xiàn)碼分多址等諸多優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于定位、通信、測(cè)距等領(lǐng)域。線性調(diào)頻信號(hào)擴(kuò)頻(chirp spread spectrum, CSS)作為多種擴(kuò)頻技術(shù)的一種，在一定的符號(hào)間隔內(nèi)，Chirp信號(hào)頻率掃過一定的范圍，因此占用的頻帶寬度比信息帶寬大得多，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信息的頻譜擴(kuò)展，因此可將其視為一種擴(kuò)頻信號(hào)[1]。

Tsai等[2]在匹配濾波相干解調(diào)基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了在Rayleigh和Rician衰落信道下采用Chirp信號(hào)抗多徑干擾的優(yōu)勢(shì)。基于Chirp信號(hào)的多用戶通信、混合擴(kuò)頻通信等的提出，進(jìn)一步提升通信系統(tǒng)容量和性能[3-5]。基于Chirp信號(hào)的Rake接收的提出，進(jìn)一步提升系統(tǒng)的抗多徑性能[6]。近年來，多種技術(shù)與擴(kuò)頻通信技術(shù)相結(jié)合也逐漸成為研究熱點(diǎn)。分?jǐn)?shù)域傅里葉變換(fractional Fourier transform, FrFT)作為傅里葉變換的推廣，其以Chirp信號(hào)為基函數(shù)，因此Chirp信號(hào)在適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)域出現(xiàn)聚斂現(xiàn)象[7-8]。在文獻(xiàn)[9-10]中，利用了Chirp信號(hào)分?jǐn)?shù)域特性進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；在文獻(xiàn)[11]中提出將Chirp信號(hào)用作OFDM系統(tǒng)的同步信號(hào)；在文獻(xiàn)[12]中提出了一種基于FrFT的Chirp信號(hào)擴(kuò)頻調(diào)制算法，以二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制解調(diào)為例，探討了基于分?jǐn)?shù)域傅里葉變換的Chirp非相干解調(diào)的相關(guān)理論問題。通過與匹配濾波解調(diào)法的比較可知，F(xiàn)rFT非相干解調(diào)的優(yōu)勢(shì)是不受到相位誤差的影響[11]，且在對(duì)抗多普勒頻移和碼同步誤差的影響時(shí)與時(shí)域相干解調(diào)是相同的[12]；分?jǐn)?shù)域非相干解調(diào)的性能劣勢(shì)是沒有利用到相位信息導(dǎo)致的。

為了保留FrFT非相干解調(diào)對(duì)抗相位偏差的優(yōu)勢(shì)，并且提升對(duì)抗多普勒頻移和碼同步誤差的能力，本文在FrFT非相干解調(diào)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了峰值搜索-FrFT非相干解調(diào)，與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對(duì)比分析，證明了該方法在頻偏條件下具有更好的誤碼率性能。

1 Chirp-BOK調(diào)制解調(diào)

1.1 Chirp-BOK調(diào)制方案

基于二進(jìn)制正交鍵控(binary orthogonal keying，BOK)，提出了Chirp-BOK調(diào)制方式。它利用了Chirp信號(hào)的掃頻特性，對(duì)Chirp信號(hào)的正、反調(diào)頻率進(jìn)行信息攜帶處理，達(dá)到信號(hào)調(diào)制解調(diào)的目的，這種方式具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、低復(fù)雜度、低功耗等特點(diǎn)，是Chirp信號(hào)的常用調(diào)制方式[13-14]。設(shè)k為正整數(shù)，本文使用調(diào)頻率為k的升頻信號(hào)(Up-Chirp)表示“1”，使用調(diào)頻率為-k的降頻信號(hào)(Down-Chirp)表示“0”。Chirp信號(hào)表達(dá)式為：

(1)

Chirp-BOK調(diào)制框圖如圖1所示。

圖1 Chirp-BOK調(diào)制Fig.1 The bock diagram of Chirp-BOK modulation

1.2 解調(diào)方案

1.2.1 匹配濾波相干解調(diào)

Up-Chirp與調(diào)頻率相反的Down-Chirp信號(hào)互為匹配濾波函數(shù)[11]，因此接收端解調(diào)框圖如圖2所示。

圖2 匹配濾波解調(diào)Fig.2 The bock diagram of MF demodulation

以升頻信號(hào)為例，匹配濾波輸出如圖3(a)所示，非匹配濾波輸出如圖3(b)所示。

圖3 濾波器輸出波形Fig.3 Output waveform of filter

1.2.2 分?jǐn)?shù)域非相干解調(diào)

分?jǐn)?shù)域傅里葉變換可以看作是傳統(tǒng)傅里葉變換的一種推廣。正余弦函數(shù)是傅里葉變換的基函數(shù)，而Chirp函數(shù)正是其調(diào)頻率對(duì)應(yīng)階次的分?jǐn)?shù)域傅里葉變換的基函數(shù)[15]。分?jǐn)?shù)域傅里葉變換是公認(rèn)的適合處理Chirp信號(hào)的工具，分?jǐn)?shù)域傅里葉變換的定義式[16]為：

(2)

式中：下標(biāo)p為分?jǐn)?shù)域傅里葉變換的階次；α=pπ/2；u為分?jǐn)?shù)域坐標(biāo)；t為時(shí)域坐標(biāo)；算子核K(α;u,t)定義為:

2utcscα+t2cotα)]

(3)

調(diào)頻率為k的Chirp信號(hào)經(jīng)過p=-2arccot(k/π)階FrFT后出現(xiàn)聚斂峰值，該階次p被稱為Chirp信號(hào)的最優(yōu)階次[7]；由高斯分布線性變換不變性，高斯白噪聲經(jīng)過p階分?jǐn)?shù)域傅里葉變換后仍然是高斯白噪聲。

根據(jù)歐拉公式可以將調(diào)頻率為k的實(shí)Chirp信號(hào)拆分為2個(gè)調(diào)頻互為相反數(shù)的復(fù)Chirp信號(hào)：

(4)

同理，調(diào)頻率為-k的實(shí)Chirp信號(hào)拆分為2個(gè)調(diào)頻互為相反數(shù)的復(fù)Chirp信號(hào)：

(5)

圖4 p階分?jǐn)?shù)域譜Fig.4 Impact of p order fractional domains

1) 定點(diǎn)采樣解調(diào)。

根據(jù)Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)域性質(zhì)，對(duì)接收到的Chirp信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)域傅里葉變換，然后采樣判決[17-18]。FrFT非相干解調(diào)框圖如圖5所示。因?yàn)樵摲椒ㄊ窃诠潭l點(diǎn)進(jìn)行采樣，為了與本文提出的方法進(jìn)行區(qū)分，稱之為定點(diǎn)采樣-FrFT非相干解調(diào)。

2) 峰值搜索解調(diào)。

針對(duì)存在多普勒頻移和碼同步誤差時(shí)定點(diǎn)采樣法性能下降嚴(yán)重的問題，本文提出了峰值搜索-FrFT非相干解調(diào)。峰值搜索示意圖如圖6所示，圖中N為奇數(shù)。當(dāng)分?jǐn)?shù)域峰值位置存在偏移，如果還在原來的位置進(jìn)行采樣判決，系統(tǒng)的性能將嚴(yán)重下降，甚至無法解調(diào)。但是峰值位置的大致區(qū)域是可以確定的，如果將定點(diǎn)采樣擴(kuò)展為區(qū)域峰值采樣，只要該區(qū)域的范圍超過最大偏移的范圍，即可以保證峰值一定能落在該區(qū)域內(nèi)。然后在采樣得到的2N個(gè)值中搜索峰值，由峰值所在區(qū)域得到判決結(jié)果。

圖5 定點(diǎn)采樣-FrFT非相干解調(diào)框圖Fig.5 The bock diagram of Fixed point sampling-FrFT non-coherent demodulation

峰值搜索法的解調(diào)框圖如圖7所示。基帶信號(hào)先經(jīng)過p階FrFT，取模值后得到Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)域譜，以cup(t)和cdown(t)對(duì)應(yīng)位置uup和udown為參考點(diǎn)將定點(diǎn)采樣擴(kuò)展為區(qū)域峰值搜索。

圖6 分?jǐn)?shù)域峰值搜索示意Fig.6 Impact of peak search

圖7 峰值搜索-FrFT非相干解調(diào)框圖Fig.7 The bock diagram of peak search-FrFT non-coherent demodulation

2 性能分析

2.1 AWGN信道下性能分析

2.1.1 匹配濾波法的性能分析

對(duì)于匹配濾波相干解調(diào)，根據(jù)二進(jìn)制最佳接收公式可以得出其誤碼率公式：

(6)

式中：ρ為升頻信號(hào)和降頻信號(hào)的相關(guān)系數(shù)；Eb為碼元能量；n0為帶限高斯白噪聲的單邊功率譜密度。

2.1.2 定點(diǎn)采樣法的性能分析

以調(diào)頻率為k的Chirp信號(hào)為例，經(jīng)過AWGN信道后接收到的信號(hào)為：

r(t)=Ae2πf0t+πkt2+n(t)ejθ

(7)

接收信號(hào)r(t)經(jīng)過p階FrFT后，在u1處采樣可以得到：

Rp(uup)=Aejθ0+n(uup)ejθ1

(8)

而在u2處采樣可以得到：

Rp(udown)=ξAejθ0+n(udown)ejθ2

(9)

式中：A為經(jīng)過最優(yōu)階次變換的分?jǐn)?shù)域采樣值；ξA是經(jīng)過非最優(yōu)階次變換的分?jǐn)?shù)域采樣值，ξ和θ0是與Chirp信號(hào)具體參數(shù)有關(guān)的值；θ1和θ2是由噪聲引入的隨機(jī)相位。

調(diào)整相位可以得到：

(10)

兩路信號(hào)取模值可以得到:

(11)

式中abs(·)表示取模值。

由隨機(jī)信號(hào)分析可知，abs(Rp(uup))的抽樣值Rup和abs(Rp(udown))的抽樣值Rdown服從萊斯分布。它們的概率密度分布分別為：

(12)

式中I0(·)為第1類零階修正貝塞爾函數(shù)。

以升頻信號(hào)為例，定點(diǎn)采樣法判決正確的概率為：

(13)

當(dāng)發(fā)送信號(hào)為降頻信號(hào)時(shí)，判決正確的概率Pdown=Pup。

當(dāng)發(fā)送升頻信號(hào)和降頻信號(hào)的概率相等時(shí)，定點(diǎn)采樣-FrFT非相干解調(diào)的誤碼率為:

(14)

2.1.3 峰值搜索法的性能分析

對(duì)于峰值搜索法，由2點(diǎn)比較判決擴(kuò)展為2N個(gè)點(diǎn)互相比較判決。首先對(duì)存在峰值區(qū)域的N個(gè)點(diǎn)進(jìn)行搜索，尋找最大值。在AWGN信道且同步準(zhǔn)確的情況下，第(N+1)/2個(gè)點(diǎn)即峰值所在位置。然后對(duì)不存在峰值區(qū)域的N個(gè)點(diǎn)進(jìn)行搜索，尋找最大值。將這2N個(gè)點(diǎn)記為x1,x2,…,xi,…,x2N，xi的采樣值為：

xi=ξiA+niejθi

(15)

式中：ξiA為每個(gè)采樣點(diǎn)的幅值，ξi和θi是與Chirp信號(hào)具體參數(shù)有關(guān)的值，0<ξi≤1。abs(xi)服從萊斯分布，它們的概率密度函數(shù)為:

(16)

當(dāng)xi,i=1,2,…,N為最大值時(shí)可以正確解調(diào)，則峰值搜索法判決正確的概率為：

xi>x2N|xi)f(xi)d(xi)

(17)

式中2N個(gè)采樣點(diǎn)之間相互獨(dú)立，互不影響，式(17)可以化簡(jiǎn)為：

(18)

式中:

(19)

經(jīng)過化簡(jiǎn)，可得峰值搜索法誤碼率為：

(20)

2.2 頻偏對(duì)分?jǐn)?shù)域解調(diào)法的影響

以調(diào)頻率為k的Chirp信號(hào)為例，分析頻率偏移對(duì)Chirp信號(hào)FrFT非相干解調(diào)的影響，以證明將定點(diǎn)采樣改進(jìn)為區(qū)域峰值搜索的必要性和優(yōu)越性。

首先，頻偏主要來源于位同步誤差、多普勒頻移和收發(fā)端接收機(jī)參數(shù)差異。當(dāng)存在同步誤差時(shí)，本地同步時(shí)間與信號(hào)實(shí)際到達(dá)時(shí)間存在時(shí)刻τ的延時(shí)或超前，信號(hào)表達(dá)式為：

c(t)=cos(2πf0(t+τ)+πk(t+τ)2)

(21)

把τ看做定值，則上式可以化簡(jiǎn)為:

c(t)=cos(πfmt+πkt2+Δ)

(22)

式中：fm=f0+kτ/2，Δθ=2πf0τ+πkτ2。可以看到，Chirp信號(hào)的時(shí)間τ的同步誤差可以轉(zhuǎn)化為頻率的頻移kτ/2和相位的偏移Δθ；同時(shí)，由于存在時(shí)間偏差，因此只有部分信號(hào)被利用到，造成了能量的損失。

當(dāng)存在多普頻移時(shí)， Chirp信號(hào)中心頻率發(fā)生偏移，因?yàn)槿肷浣堑牟煌嗥绽疹l移的值將會(huì)出現(xiàn)變化，取最大值時(shí)Chirp信號(hào)表達(dá)式為：

c(t)=cos(2π(f0+fd)t+πkt2+φ)

(23)

可以看到，多普勒頻移造成的影響首先是中心頻率偏移fd，與同步誤差造成的影響是類似的。

下面分析頻偏對(duì)采樣點(diǎn)的具體影響。首先將同步誤差和多普勒頻移造成的頻偏統(tǒng)一記為fd。根據(jù)1.2.2節(jié)中的分析，以升頻信號(hào)為例，在p階分?jǐn)?shù)域的峰值聚斂位置為uup=f0sinα，能量集中在|u-uup|

c(t)=cos(2πfmt+πkt2)

(24)

新的峰值聚斂位置為um=(f0+fd)sinα，偏移距離fdsinα。當(dāng)頻偏較大時(shí)，能量聚斂位置甚至?xí)耆x該區(qū)域，如果仍以u(píng)up為采樣點(diǎn)，則無法正確解調(diào)出信息。

當(dāng)采樣點(diǎn)移動(dòng)的區(qū)域仍在|u-uup|

c(t)=exp(j2πfmt+jπkt2)

(25)

將c(t)代入分?jǐn)?shù)域變換公式得：

(26)

當(dāng)k=-cotα，u=f0sinα?xí)r，可得：

(27)

化簡(jiǎn)得：

(28)

取包絡(luò)得：

(29)

可以看出abs(Cp(u))的值與T和fd有關(guān)，當(dāng)T固定時(shí)，fd越大，采樣值越小。

綜上，同步誤差、多普勒頻移和接收機(jī)收發(fā)3端參數(shù)差異可以統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為中心頻率的偏移和能量的損失。映射到分?jǐn)?shù)域，對(duì)應(yīng)著峰值位置的偏移和采樣值的降低，嚴(yán)重影響了定點(diǎn)采樣-FrFT非相干解調(diào)的性能。因此本文提出了峰值搜索-FrFT非相干解調(diào)來改善頻偏下的性能。

引入頻率偏移后，峰值搜索-FrFT非相干解調(diào)仍然為2N個(gè)點(diǎn)互相比較判決，只是峰值所在位置可能不再是第(N+1)/2個(gè)點(diǎn)。推導(dǎo)過程與AWGN信道下相同，故誤碼公式也與式(20)相同。系數(shù)ξi與引入頻偏的Chirp信號(hào)分?jǐn)?shù)域采樣值有關(guān)。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 AWGN信道下性能仿真

圖8對(duì)比了Chirp-BOK調(diào)制的3種解調(diào)方式在AWGN信道下的誤碼率曲線。仿真參數(shù)：帶寬20 MHz、碼長(zhǎng)10 μs、搜索點(diǎn)數(shù)為3個(gè)采樣點(diǎn)。從圖8中可以看出相干解調(diào)的性能最好；而峰值搜索-FrFT方法的性能相比于定點(diǎn)采樣-FrFT性能下降不超過0.5 dB。

圖8 AWGN信道下3種解調(diào)方式性能對(duì)比Fig.8 Performance comparison of three demodulation methods in AWGN channel

圖9給出了AWGN信道下峰值搜索-FrFT的理論曲線和仿真曲線。搜索區(qū)域長(zhǎng)度分別設(shè)置為3、21個(gè)采樣點(diǎn)。從圖9中可以看出，當(dāng)搜索區(qū)域的長(zhǎng)度越小時(shí)，本方法在AWGN信道下的性能越好。因此搜索區(qū)域范圍的設(shè)置要根據(jù)頻偏動(dòng)態(tài)地調(diào)整，使得搜索范圍盡可能小。

圖9 不同長(zhǎng)度搜索區(qū)域的誤碼率曲線Fig.9 Performance comparison of different length search ranges

3.2 抗頻偏性能分析

圖10和圖11給出了存在頻偏時(shí)3種解調(diào)方式的性能對(duì)比。通過仿真可以看出，當(dāng)歸一化頻偏比為0.001 5時(shí)，峰值搜索-FrFT的誤碼率性能優(yōu)于定點(diǎn)采樣-FrFT與相干解調(diào)。當(dāng)頻偏比增大至0.002 5時(shí)，定點(diǎn)采樣-FrFT與相干解調(diào)的性能迅速下降，但是峰值搜索-FrFT的性能卻幾乎不受影響。

圖10 歸一化頻偏0.001 5時(shí)3種解調(diào)方式性能對(duì)比Fig.10 Performance comparison of three demodulation methods under normalized frequency offset 0.001 5

圖11 歸一化頻偏0.002 5時(shí)3種解調(diào)方式性能對(duì)比Fig.11 Performance comparison of three demodulation methods under normalized frequency offset 0.002 5

4 結(jié)論

1)該方法將傳統(tǒng)的定點(diǎn)采樣改進(jìn)為采樣點(diǎn)周圍區(qū)域的峰值搜索，以提升對(duì)位同步誤差、多普勒頻移和收發(fā)端參數(shù)差異導(dǎo)致的信號(hào)頻率偏移的容忍度。

2)推導(dǎo)了該解調(diào)方法下AWGN信道的誤碼率公式，在AWGN信道下的性能主要受搜索長(zhǎng)度的影響，當(dāng)搜索長(zhǎng)度越短時(shí)，性能越接近定點(diǎn)采樣-FrFT；當(dāng)存在頻偏時(shí)，峰值搜索-FrFT可以對(duì)峰值位置進(jìn)行搜索，只要滿足搜索范圍大于偏移范圍，則可以極大程度地改善誤碼率性能，而匹配濾波相干解調(diào)和定點(diǎn)采樣-FrFT的性能嚴(yán)重惡化。