風險視角下的動車組部件預防性維修博弈優化

熊律， 王紅， 蔣祖華

(1.蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070； 2.廣東交通職業技術學院 軌道交通學院，廣東 廣州 510650; 3.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

由于受到各自績效的影響，企業中各部門存在潛在競爭關系。例如，大型制造企業中的生產方和維修方，生產方希望盡量減少設備的停機時間以滿足生產需求，維修方為了保證生產設備安全可靠地運行會制定出一份詳盡的維修計劃，顯然，二者之間存在某種利益競爭。近年來，采用博弈理論來解決生產實際中的經濟學問題成為學者們研究的一個熱點[1-5]。博弈理論在企業經營決策[6]、電力定價[7]和農地增值分配[8]等領域有著十分廣泛的應用。丁珮雯[9]將博弈理論應用到預防性維修(PM)和生產調度的聯合優化研究之中，解決了生產方和維修方在利益相互干涉的情況下，使得雙方的收益達到最優；Hu等[10]以生產計劃部門和維修部門作為博弈參與者，采用Stackelberg博弈模型來協調生產計劃和PM計劃之間的內在干涉問題；段華薇等[11]為得出傳統快遞與高鐵快遞合作的最優定價策略，分析主導權及市場需求波動對其影響，根據雙方構成供應鏈的特點，基于2種隨機市場需求函數分別構建了高鐵快遞和傳統快遞主導下的Stackelberg博弈模型；王紅等[12]認為在地鐵車輛的維修決策過程中，各部門之間存在隱形的利益競爭，為了探討這種隱形競爭對車輛設備PM計劃的影響，論文基于動態博弈理論，以地鐵車輛運營方和維修方為參與者，分別建立了運營優先和維修優先的Stackelberg博弈模型；詹文杰等[13]通過建立“雙種群”復制動態模型，研究了有限理性假設下“多對多”討價還價策略演化問題，證明了只有嚴格納什均衡才能成為“多對多”討價還價的演化穩定策略。以上文獻在爭取博弈雙方經濟效益最優化方面做出了貢獻，然而，有時候在追求經濟效益最優化的同時，把風險控制在合理的、可以接受的范圍內也是學者們追求的關鍵目標。例如，動車組檢修行業，隨著鐵路行業市場化進程的加快，如何在滿足動車組安全可靠運行(低運行風險)的大前提下，盡量降低動車組的檢修費用是一個值得深入探討的問題。作為保障動車組安全有序運營的2個重要部門，動車組的運營方和維修方具有天然的博弈協作關系。作為運營方，它期望動車組可以以最低的風險水平，把乘客安全舒適地送達目的地。而作為維修方，則期望在保證動車組具有一定的可靠性的前提下，可以盡量地降低維修成本。然而，由文獻[14]可知，部件的PM可靠度閾值越高，則部件在一個壽命周期內的PM成本越高，部件的故障次數越少，從而運行風險越低；反之，部件的PM可靠度閾值越低，其PM成本越低，則一個壽命周期內對其實施的PM次數越少，部件的故障次數越多，從而導致運行風險增加。如何平衡動車組部件維修成本和故障風險的分配，實現雙方利益的均衡是本文研究的重點。

本文首先對動車組部件現行的PM機制作了基本的問題描述和假設。其次，基于我國動車組維修方現行的分級檢修機制，對兩級非完美維修策略的故障率演化規則進行了詳細闡述，并對影響動車組部件故障風險的因素進行評分和權重，建立動車組部件故障風險評價函數。然后，以動車組運營方和維修方作為博弈參與者，建立了基于故障風險的動車組部件3階段討價還價PM博弈模型。最后對運營方優先出價和維修方優先出價的優化結果進行對比分析并得出結論。

1 問題描述與假設

本文以CRH3系列動車組在四級修程時進行更換的部件為研究對象。由CRH3系列動車組的檢修制度可知，每20 000 km就會對整車進行檢修，因此選擇偶數里程對部件進行維修就可以確保部件的維修時機是選擇在動車組整車的檢修時機時執行的，即部件的維修時機為li=2n，其中,i=1,2,…，N-1，n=1,2,…,N-1，從li-1到li為部件的第i個PM周期。此外，CRH3系列動車組四級修時，某些部件需要進行更換，更換屬于完美維修[15-16]。部件在里程區間(l0,lmax)內共進行了N-1次PM，在第N次PM時刻，即動車組運行到lmax時對部件進行更換。

對論文作如下假設：

1) 部件從全新狀態開始工作；

2) 當部件發生非預期故障時采用故障維修方式，故障維修不改變部件的故障率；

3) 初級維修和高級維修均屬于非完美維修方式，即可在一定程度改善部件的故障率，但不能使部件修復如新。

2 模型的建立

2.1 故障率演化規則

Lin等[17]綜合役齡遞減模型[18]和故障率遞增模型[19]的優勢，提出了一種混合PM模型，其故障率表達式為：

λi+1(l)=biλi(l+aiLi) 0

(1)

式中：λi為部件第i個PM周期的故障率函數；Li為部件第i-1次與第i次PM的里程間隔，且有Li=li-li-1；ai為役齡遞減因子；bi為故障率遞增因子。部件的維修方式采用兩級非完美PM策略，其故障率演化規則如圖1所示。

以υi表示部件的PM方式：

(2)

則ai和bi可分別表示為：

(3)

(4)

圖1 兩級非完美故障率演化規則Fig.1 Failure rate evolution rule of bi-level imperfect PM

2.2 維修方式選擇

(5)

(6)

(7)

式中：cj為初級維修成本；as為高級維修成本。

式(2)可表示為：

(8)

2.3 故障風險評價函數建模

本文以動車組運行安全性、動車組晚點以及維修的難易程度[20-21]作為影響動車組部件故障風險的評價因素。

故障風險因子ψ可表示為：

(9)

式中：sk表示對影響因素的評分；σk表示影響因素的權重；n表示影響因素的個數。

參照文獻[22]對設備重要度的評價方法，對動車組部件的故障風險進行量化分析。

首先，對各影響因素進行評分，其評分標準如表1所示。

其次，需要確定各影響因素的權重。對于各決定因素權重的確定，可參照文獻[23-25]采用層次分析法求得。

表1 各影響因素的評分標準Table 1 Scoring criteria for each influence factors

最后，部件的故障風險表達式可表示為：

(10)

式中cd表示單位故障風險成本。

2.4 維修成本建模

根據本文的維修策略，當部件到達PM時機時，對部件執行PM維修；若部件發生非預期故障則對部件執行故障維修；當部件運行到達lmax時，對部件執行更換操作。部件在一個更換周期內的維修成本主要由：PM成本、故障維修成本和更換成本3部分組成。

1) PM成本。

(11)

(12)

(13)

2) 故障維修成本。

故障維修旨在恢復部件的功能，使其保持運行狀態。當動車組部件出現非預期故障時，對其執行故障維修。故障維修成本Cr表達式為：

(14)

式中：cr為故障維修成本；ti為故障維修時間。

3) 故障維修懲罰成本。

當部件在工作過程中出現非預期故障時，故障修復時間越短越好。以tj表示故障修復時間的最大允許值，如果在tj時間段內故障無法消除，就要產生故障維修懲罰。用cb表示小修時間超過tj后單位時間的懲罰成本，則部件故障懲罰成本為：

(15)

4) 更換成本。

當動車組部件到達四級維修時機時，對其執行更換操作。更換成本包括更換操作成本cu和浪費成本ca。

Cg=cu+ca+τtu

(16)

式中λu為更換操作時間。

綜上可知，維修成本可表示為：

Cx=Cp+Cr+Cd+Cg

(17)

維修成本率可表示為：

(18)

2.5 總成本建模

部件在一個更換周期內的總成本包括2部分，維修成本和風險成本，其表達式為：

C=Cx+r

(19)

通過優化部件在一個更換周期內的總成本可以得到部件最終的PM計劃。

2.6 可用度建模

將動車組預防性維修和故障維修的時間以300 km/h換算成里程數，從而可將動車組部件一個壽命周期內的可用度表示為：

(20)

3 三階段討價還價博弈模型

討價還價是有共同利益的參與人面臨沖突時試圖達成一致的一種博弈過程，它是一種典型的談判活動：談判過程中當對方的報價連同主要的合同條款向己方提出后，己方對其全部內容進行分析，通過對方的報價來判斷對方的意圖，并給予再報價等反應，使交易朝著即對己方有利又滿足對方某些要求的方向發展，以有利于最終實現談判中的利益交換。

3.1 模型的建立

對于討價還價博弈模型，由于需要消耗一定的談判費用和談判時間，每當談判進行到下一個回合，雙方的成本函數都要在原基礎上額外增加一個損失系數δ(0<δ<1)[3]。

為了表征維修成本和風險成本在總成本中所占的比例不同對動車組部件PM計劃的影響，引入維修成本權重w1和風險成本權重w2。加權總成本表達式為：

V=w1Cx+w2r

(21)

模型1：運營方優先出價，博弈過程如圖2。

圖2 模型1博弈過程Fig.2 Game process of the first model

雙方博弈過程如下：

1)運營方以min(r)為決策目標，優化得到R1； 2)維修方選擇接受或者拒絕。若維修方接受，則博弈結束，此時，維修成本為Cx(R1)，風險成本為r(R1)，總成本為C(R1)；若維修方拒絕，則由維修方優化得到R2；

3)運營方選擇接受或者拒絕。若運營方接受，則博弈結束，此時維修成本為(1+δ)Cx(R2)，風險成本為(1+δ)r(R2)，總成本為C(R2)；若運營方拒絕，則由運營方優化得到R*，此時，維修方必須接受，博弈結束。則維修成本為(1+δ)2Cx(R*)，風險成本為(1+δ)2r(R*)，總成本為C(R*)。

模型2：維修方優先出價，博弈過程如圖3。

圖3 模型2博弈過程Fig.3 Game process of the second model

雙方博弈過程如下：

3.2 模型的求解

1) 模型1的求解方法。

Round 1：運營方通過優化目標函數min(r)，得到對其較有利的R1值。維修方可以選擇接受或者拒絕，若接受，則博弈結束；反之，維修方提出R2。

Round 2：博弈進入到第2回合R2需滿足條件：

(1+δ)Cx(R2)

(22)

Round 3：博弈進入到第3回合R*需滿足條件：

(1+δ)2r(R*)<(1+δ)r(R2)

且(1+δ)2C(R*)<(1+δ)C(R2)

(23)

2) 模型2的求解方法。

(24)

Round 3：博弈進入到第3回合R*′需滿足條件：

(25)

3.3 算法流程圖

風險視角下的動車組部件PM博弈算法流程如圖4所示。首先輸入系統參數，并以維修成本和故障風險為優化目標建立博弈函數V。然后，以運營方優先出價和維修方優先出價分別建立3階段討價還價博弈模型。3階段討價還價博弈的特點是只要任何一方接受另一方的方案，博弈就結束，并且博弈過程只能進行3個回合。最后，根據2種博弈模型的優化結果得出PM可靠度閾值R作為最優解，并輸出其對應的PM計劃。

圖4 算法流程Fig.4 The algorithm flow chart

4 實例分析

動車組部件的故障率函數服從威布爾分布，其表達式為λ1(l)=(m/η)(l/η)m-1。威布爾分布的參數m和η，可通過收集整理部件的壽命數據，進而通過壽命數據分析求得。取部件的形狀參數m=3，尺度參數η=100。

其他維修參數如表2所示。

表2 維修參數Table 2 Maintenance parameters

表3是在w1和w2分別取不同值的情況下，部件的PM優化結果。圖5是不同權重分配下的部件的維修成本率和可用度結果對比。

表3不同權重分配下的PM優化結果

Table3PMoptimizationresultswithdifferentweightcoefficients

w1w2RCx/元r/元C/元A/%故障維修次數/次1.00.00.636 57711 65418 23199.072.730.90.10.636 57711 65418 23199.072.730.80.20.776 8919 36416 25598.922.200.70.30.837 4647 95115 41598.751.860.60.40.837 4647 95115 41598.751.860.50.50.878 2057 10915 31498.551.670.40.60.888 4806 88915 36998.461.620.30.70.909 0246 53215 55698.351.530.20.80.9210 2596 20816 46798.031.460.10.90.9411 7965 86017 65697.691.370.01.00.9617 0205 63622 65696.481.32

圖5 不同權重分配下的維修成本率和可用度Fig.5 Maintenance cost rate and availability with different weight coefficients

由表3中優化結果可知：

R值的優化結果隨著w1的變大而減小，隨著w2的變大而增大；Cx隨著w1的變小而增大，隨著w2的變小而減小；r隨著w1的變小而減小，隨著w2的變小而增大；可用度A和故障維修次數隨著w1的變小而減小，隨著w2的變小而增大。

當w1=0.0,w2=1.0時，風險成本r最低，但是維修成本Cx卻很高，所以總成本C并非最低；當w1=1.0,w2=0.0時，維修成本Cx最低，但是風險成本r卻很高，故總成本C依然較高；當w1=0.5，w2=0.5時，維修成本Cx和風險成本r雖然都不是最低，但總成本C最低。

由圖5可知，部件的維修成本率隨著w1的增大而減小，隨著w2的增大而增大；部件的可用度隨著w1的變大而上升，隨著w2的變大而降低。

圖6和圖7分別給出了運營方優先出價和維修方優先出價情況下的總成本C隨R值增加的變化曲線。

圖6 運營方優先出價情況下的lgC-R曲線Fig.6 lgC-R curve of operation sector priority bid

圖7 維修方優先出價情況下的lgC-R曲線Fig.7 lgC-R curve of maintenance sector priority bid

由圖6和圖7可以看出，部件在一個PM周期內的總成本C隨R值的增加呈現先減小后增加的趨勢，在某一R值處總成本C達到最低，這個最低點即為我們所求的最優點。

表4是2種博弈模型的優化結果，表5是2種博弈模型下部件的PM計劃。

由表4和表5可知：

在3階段討價還價博弈規則下，運營方優先出價(模型1)的R值優化結果高于維修方優先出價(模型2)，并且其故障維修次數相比于模型二降低了21.5%，這說明運營方對部件的可靠度有著更高的要求。

圖8 2種博弈模型的可靠度演化對比Fig.8 Reliability evolution comparison between the two models

模型1風險成本的優化結果要低于模型2，模型2維修成本的優化結果要低于模型1。這是由于運營方期望動車組的運營風險較低，而維修方期望動車組的維修成本較低，2種博弈模型的優化結果基本符合二者的期望。這也說明優先出價方具有優勢，即博弈的結果更有利于優先出價方。

模型1相比于模型2多執行了4次初級維修和3次高級維修，這意味著模型1需要更多次的停機來執行PM計劃，故模型1的可用度低于模型2。同時，模型1會導致更高的維修成本率，并且其總成本也高于模型2。

表4 2種博弈模型的優化結果Table 4 Optimization results of the two game models

表5 2種博弈模型下的PM計劃(0-初級維修, 1-高級維修)Table 5 PM shedules under the two game models(0-junior maintenance, 1-senior maintenance)

無論是模型1還是模型2，部件在前半個更換周期(0～120×104km)的非完美PM措施采用的都是初級維修，而高級維修都是在部件更換周期的后半階段(120×104～240×104km)執行的。

5 結論

1) 運營方優先出價的情況下，部件在一個壽命周期內的可用度較低，維修成本率較高，但可使部件保持更高的可靠度水平，尤其在部件壽命周期的后半階段。并且其非預期故障發生概率相比于維修方優先出價情況下降低了約21.5%。

2) 在兩級非完美PM策略下，部件在前半個更換周期內采取初級維修即可滿足可靠度要求，而在部件更換周期的后半階段，有必要采取一定次數的高級維修措施以保證動車組部件的可靠度水平保持在合理水平。

3) 在三階段討價還價博弈模型中，博弈的結果更有利于優先出價的一方。故為了在博弈過程中占據主動，博弈雙方應盡量爭取優先出價權。

4) 文中對動車組部件的非完美維修策略采用的是兩級非完美PM策略，然而，在動車組以及其他生產設備的維修實際中，針對部件的狀態和性能階段不同，往往有多種維修手段與之對應。下一步研究可將對動車組部件的非完美維修策略延展到多級非完美維修。