基于互協方差稀疏重構的MIMO雷達低仰角估計算法

張子鑫, 胡國平, 周 豪, 占成宏,2

(1. 空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051; 2. 空軍工程大學研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

多輸入多輸出(multi-input and multi-output,MIMO)雷達具有多個輸入和輸出陣元,各個陣元發射相互正交的信號,具有波形分集、空間分集的能力,是當前研究的熱點。針對低空目標多徑效應問題,引入MIMO雷達[1-2]能夠有效解決多徑效應對目標估計帶來的不利影響[3-6],但MIMO雷達低空目標角度估計仍然是目前亟待解決的難點之一。

傳統的波達方向(direction of arrival, DOA)估計算法主要有基于特征分解的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[7]和子空間旋轉不變技術估計參數(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[8]等。針對低空目標,廣義多重信號分類算法[9-11]是將直射回波信號和多徑反射回波信號合起來看作一個信號來進行特征分解求解信號子空間和噪聲子空間,進而對直射回波信號和多徑反射回波信號的DOA進行聯合估計。有學者提出了一種基于波束空間的MIMO雷達低空目標DOA算法[12],該算法將MIMO雷達虛擬域與廣義MUSIC算法結合共同用于低空目標DOA估計,在保證估計精度的同時降低了復雜度。文獻[13] 提出了一種雙基地MIMO雷達聯合波離方向(direction of departure, DOD)DOA估計的新方法,該算法將ESPRIT和MUSIC聯合,在將二維測向分解為雙一維測向的基礎上,利用ESPRIT方法估計DOD,并利用Root-MUSIC進行DOA估計,同時保證了算法的精度和復雜度。文獻[14]提出了一種基于單基地MIMO雷達的降維(reduced dimension, RD) ESPRIT算法,在低信噪比的條件下,該算法在保證估計精度的同時降低了算法復雜度。

近年來,壓縮感知理論[15-18]的提出,突破了傳統的奈奎斯特采樣定理。在壓縮感知理論中對信號進行重構只需要少量的觀測數據,同時利用信號在空域中的稀疏性就可以實現,并且在相干信源的情況下,相比于傳統DOA估計算法有著更好的性能。文獻[19]開創性地實現了對陣列輸出數據的稀疏表示,并結合奇異值分解(singular value decomposition, SVD),提出了L1-SVD算法,通過SVD減小數據矩陣的規模來降低算法復雜度,但需要預知信源個數。文獻[20]利用陣列輸出數據的協方差矩陣的誤差滿足漸近正態分布,提出了一種無需知曉信源個數就能對相干信號進行DOA估計的L1-SRACV算法,但其運算量較大。對此有學者將KR(Khatri-Rao)積變換引入到L1-SRACV算法當中進行DOA估計[21],降低了算法的運算量, 但是無法對相干信號進行有效估計。針對相干目標,空域平滑稀疏表示DOA估計算法[22]首先對信號進行解相干,再利用L1-SRACV算法進行估計,有效提高了算法精度。Salama根據最小方差失真響應原理提出一種改進的自適應LASSO算法[23],該方法無需SVD且可檢測更多目標,相比于傳統LASSO方法具有更高的估計性能。文獻[24]研究了利用原子范數最小化法估計線性陣列波束空間DOA的方法,減小了運算量。文獻[25]提出了一種互協方差矩陣壓縮感知DOA估計算法,利用多快拍數互協方差矩陣的特點降低了噪聲的影響。本文將壓縮感知與MIMO雷達相結合,引入KR積變換,并利用多快拍數據中互協方差矩陣噪聲不相關的特性,減小了噪聲的影響,然后構造冗余字典,將角度估計轉化為凸優化問題,最后利用CVX等凸優化工具包進行求解。

1 MIMO雷達多徑信號模型

以相參型收發共置MIMO雷達為基礎,圖1為MIMO雷達低空目標多徑信號模型,圖1中發射信號的傳輸路徑為虛線部分,接收信號的傳輸路徑為實線部分,由圖1可得,MIMO雷達低空目標多徑信號在收發過程中一共有4條傳輸路徑,分別為雷達直射到目標,再由目標直射到雷達;雷達直射到目標,再由目標通過地面反射到雷達;雷達通過地面反射到目標,再由目標直射到雷達;雷達通過地面反射到目標,再由目標通過地面反射到雷達。

圖1 多徑情況下MIMO雷達收發信號示意圖

假設單基地MIMO雷達為M個全向陣元組成的均勻線陣,陣元間隔為半波長d,陣列均置于y軸。空域中低空目標為K個,θdk和θrk分別為第k個目標的直射信號DOA和多徑反射信號DOA。MIMO雷達發射信號的M個陣元發射矩陣為

SF(t)=[sF1(t),sF2(t), …,sFM(t)]T

(1)

式中,sFm(t)表示第m個陣元的發射信號。

根據MIMO雷達的特性,其M個陣元發射的信號是一組相互正交的信號,即發射信號需滿足

(2)

K個目標接收到的信號為

(3)

式中,A(θ)為方向矩陣,可表示為

A(θ)=[a(θd1),a(θr1),a(θd2),a(θr2),…,a(θdK),a(θrK)]

(4)

其中,a(θdk)=[1， e-jβdk， …， e-j(M-1)βdk]T表示第k個目標直達波的導向矢量,其中βdk=2πdsinθdk/λ,a(θrk)同理為第k個目標反射波的導向矢量;εk=ρkej2πΔRk/λ為第k個目標的總反射系數,其中ρk為復反射系數,2πΔRk/λ為目標直射信號和多徑反射信號的路程差引起的相位差。

為了便于表示,設:

(5)

則MIMO雷達接收回波時信號矩陣可表示為

X(t)=A(θ)ωαST(t)+N(t)=A(θ)ωαωTA(θ)HSF(t)+N(t)

(6)

已知發射矩陣為SF(t),對單基地MIMO雷達的多徑回波信號進行廣義匹配濾波可得

Y(l)=E[X(t)SF(t)H]=A(θ)ωωTA(θ)H+V(l)

(7)

根據式(7),將單基地MIMO雷達多徑回波信號廣義匹配濾波后的虛擬矩陣向量化,可進一步增大單基地MIMO雷達的虛擬孔徑:

Yv(l)=vec(Y(l))=(A(θ)°A(θ))Λ+vec(V)=(A(θ)°A(θ))Λ+v

(8)

A(θ)°A(θ)=[a(θd1)?a(θd1),a(θr1)?a(θr1),…,a(θdK)?a(θdK),a(θrK)?a(θrK)]

(9)

式中,?表示Kronecker積。

2 基于互協方差矩陣稀疏重構低仰角估計算法

2.1 降維變換

(10)

由導向矢量的表達式,能夠發現如下關系:

a(θd1)?a(θd1)=Gb(θd1)

(11)

(12)

定義WGHG=diag(1,2…,M-1,M,M-1…,1),其中diag(·)為對角矩陣,其對角線元素分別對應括號中的元素,其余位置元素為0。對MIMO雷達多徑回波接收信號進行左乘降維變換,可得

(13)

降維變換前后的數據信噪比分別為

(14)

(15)

式中,tr(·)為矩陣的跡。

(16)

由式(16)可以看出,通過降維變換處理能夠增大信噪比,進而提高算法估計精度。

2.2 互協方差矩陣稀疏重構低仰角估計算法

(17)

(18)

(19)

(20)

式中,Q(h,∶)表示Q矩陣的第h行；01×(2M-1)表示1×(2M-1)的零矩陣。所以互協方差可以表示為

R21=W1/2ΘQ

(21)

(22)

(23)

至此,可以將基于互協方差矩陣稀疏重構的MIMO雷達低仰角估計算法的步驟總結如下:

步驟 1根據第1節將MIMO雷達多徑信號模型進行廣義匹配濾波,計算虛擬矩陣Y(l),并進行向量化得到更大的虛擬孔徑Yv(l),按一定的快拍數采樣;

步驟 4根據式(21)構建冗余字典Θ和稀疏矩陣Q;

3 仿真結果

在仿真實驗中,假設單基地MIMO雷達與常規陣列雷達均為全向陣元組成的均勻線陣,陣元間隔為信號波長的1/2,陣列均置于y軸,陣元數M=12,且MIMO雷達各個陣元發射的信號相互正交。低空目標個數為1個,其直射信號DOA和多徑反射信號DOA分別為θd=2°和θr=-2°,總反射系數ε=0.9ej120/180π;快拍數L為300次,信噪比為10 dB。通過實驗將本文算法、L1-SRACV算法和L1-SVD算法的估計性能進行對比,檢驗了本文算法在多徑效應下對低空目標的角度估計性能。

圖2為3種算法的歸一化空間譜。從圖2中可以看出3種重構算法的空間譜呈現針狀,具有較高的角度分辨率,但本文算法相比于其他兩種算法能夠更精準地估計出目標直達波與反射波的來波方向,對多徑信號測角性能更好。

圖2 3種算法的空間譜

圖3為快拍數L=300,信噪比由-14～14 dB變化,蒙特卡羅實驗次數為200時,不同信噪比條件下3種算法的均方根誤差(root mean square error,RMSE)。

圖3 不同信噪比下3種算法的RMSE

定義RMSE為

(24)

圖4為快拍數L=300,信噪比由-14～14 dB變化,蒙特卡羅實驗次數為200時,不同信噪比條件下3種算法的發現概率。估計不成功時RMSE記為2°。

圖4 不同信噪比下3種算法的發現概率

由圖3和圖4分析可以看出,在處理多徑效應下低空目標DOA估計中,3種算法的RMSE均隨著信噪比的增大而逐漸減小,成功估計目標的概率均隨著信噪比的增大而逐漸增大。說明隨著信噪比的增大,3種算法的估計性能均有所提高。通過對比3種算法能夠看出,L1-SRACV算法即使在高信噪比條件下也不能很好地估計出信號來波方向,算法性能較差;L1-SVD算法只有在高信噪比條件下才能表現出較好的性能,但不如本文算法;本文算法在低信噪比條件下也具有較好的性能,對低空目標的DOA估計性能明顯優于其他算法。

圖5為信噪比為10 dB,快拍數L從100到500變化,蒙特卡羅實驗次數為200時,3種算法在不同快拍數下的RMSE。

圖5 不同快拍數下3種算法的RMSE

圖6為信噪比為10 dB,快拍數L從100到500變化,蒙特卡羅實驗次數為200時,3種算法在不同快拍數下的成功估計概率。估計不成功時RMSE記為2°。

圖6 不同快拍數下3種算法的發現概率

由圖5和圖6分析可以看出,在處理多徑效應下目標來波方向估計中,隨著快拍數的增加,3種算法的RMSE均逐漸減小,成功估計目標的概率逐漸增大。說明隨著快拍數的增加,3種算法的估計性能均有所提高。通過對比3種算法能夠看出,L1-SRACV算法隨著快拍數的不斷增加對多徑信號來波方向的估計性能的提升較小;L1-SVD算法的估計能力略有提升,但性能一般;本文算法在低快拍條件下也具有較好的性能,對低空目標的DOA估計性能明顯優于其他算法。

4 結束語

本文通過對MIMO雷達多徑接收信號廣義匹配濾波后的虛擬矩陣向量化處理,得到虛擬孔徑擴展,并且利用多快拍數互協方差矩陣中噪聲互不相關的優點,有效降低了噪聲的影響;針對虛擬矩陣向量化后運算量增大的問題,算法在利用互協方差矩陣之前先進行了降維處理,降低信號的維度,減小計算量,同時提高了信噪比;然后,利用稀疏重構算法能夠省去解相干過程,無需信源數目的先驗知識能對多徑信號進行DOA估計。另外,本文算法雖然對接收數據進行了降維處理,但是算法復雜度上仍然比L1-SVD算法大,在信源數較少時,算法復雜度遠遠大于傳統的DOA估計算法,但本文算法無需信源數目的先驗知識以及低信噪比條件下仍然有較高的估計性能的優點是其他算法不能達到的。仿真實驗驗證了算法的有效性。