攔截主動(dòng)防御目標(biāo)的微分對(duì)策制導(dǎo)律

張 浩, 張奕群, 張鵬飛

(北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

0 引 言

為了進(jìn)一步提高自己的生存能力,目標(biāo)飛行器尤其是高價(jià)值目標(biāo)飛行器,在意識(shí)到自己被攻擊導(dǎo)彈(簡(jiǎn)稱攻擊彈)追蹤時(shí),可以發(fā)射一枚防御導(dǎo)彈(簡(jiǎn)稱防御彈)對(duì)攻擊彈進(jìn)行反攔截,同時(shí)執(zhí)行逃逸機(jī)動(dòng)[1]。這種目標(biāo)飛行器(簡(jiǎn)稱目標(biāo))對(duì)攻擊彈進(jìn)行主動(dòng)防御的交戰(zhàn)問(wèn)題,稱之為“三體對(duì)抗”問(wèn)題。不同于傳統(tǒng)的“一對(duì)一”的交戰(zhàn)場(chǎng)景,這里有3個(gè)不同的角色進(jìn)行對(duì)抗,除了攻擊彈、目標(biāo)之外,還有一個(gè)防御彈。這里防御彈是從目標(biāo)平臺(tái)(或者其他友方平臺(tái),如僚機(jī))上發(fā)射,對(duì)攻擊彈進(jìn)行反攔截,目標(biāo)則是在防御彈的掩護(hù)下實(shí)施逃逸,兩者可以相互配合,而對(duì)于攻擊彈來(lái)說(shuō),必須發(fā)揮雙重作用,既要躲避防御彈的攔截,又要保證最終能命中目標(biāo)。

文獻(xiàn)[2-4]最早提出了這種交戰(zhàn)場(chǎng)景,并從幾何的角度對(duì)該場(chǎng)景進(jìn)行了靜態(tài)的分析。這些研究工作是開(kāi)創(chuàng)性的,但是基于攻擊彈、目標(biāo)和防御彈始終處于平行接近的航向,而不做任何機(jī)動(dòng)的假設(shè)是很不現(xiàn)實(shí)的。

文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了一種三角攔截制導(dǎo)律,可使攻擊彈、目標(biāo)和防御彈構(gòu)成的三角形退化成一條直線,但在防御彈剛從目標(biāo)平臺(tái)上發(fā)射出去時(shí),過(guò)載指令容易出現(xiàn)較大的振蕩,必須采取相應(yīng)的措施進(jìn)行抑制。文獻(xiàn)[6-7]分析了防御彈維持在目標(biāo)和攻擊彈連線上的期望橫向速度,采用與比例導(dǎo)引類似的思想,提出一種機(jī)載視線指令制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[8]分析了機(jī)動(dòng)發(fā)射平臺(tái)下視線指令制導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,結(jié)果顯示,防御彈對(duì)速度和加速度的需求都要低于攻擊彈。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了防御彈的閉環(huán)視線指令制導(dǎo)律,但這種制導(dǎo)律只適用于近距離交戰(zhàn)的場(chǎng)合,對(duì)于中距或者遠(yuǎn)距的情形性能會(huì)受到較大的限制。文獻(xiàn)[9-10]將迭代計(jì)算與經(jīng)典制導(dǎo)律相結(jié)合,基于預(yù)測(cè)制導(dǎo)思想提出了一種三維主動(dòng)防御預(yù)測(cè)制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律可對(duì)預(yù)期攔截點(diǎn)進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè),從而提高了攔截性能。

文獻(xiàn)[11]建立了三體對(duì)抗場(chǎng)景的線性化運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并假設(shè)攻擊彈采用某種已知的線性制導(dǎo)律,以防御彈攔截攻擊彈的脫靶量作為性能指標(biāo),在防御彈和目標(biāo)的控制量均有界的條件下,基于最優(yōu)控制理論求解了目標(biāo)和防御彈的最優(yōu)協(xié)同追逐-逃逸策略。文獻(xiàn)[12]根據(jù)目標(biāo)和防御彈之間信息傳輸方式的不同,設(shè)計(jì)了3種不同的協(xié)同攔截制導(dǎo)律:目標(biāo)單向協(xié)同制導(dǎo)律、防御彈單向協(xié)同制導(dǎo)律以及目標(biāo)-防御彈雙向協(xié)同制導(dǎo)律。在目標(biāo)和防御彈協(xié)同作戰(zhàn)的過(guò)程中,由于目標(biāo)會(huì)對(duì)攻擊彈進(jìn)行引誘,雖然可以使得防御彈能更輕松地命中攻擊彈,但此時(shí)目標(biāo)并未執(zhí)行最優(yōu)的逃逸機(jī)動(dòng)策略,一旦防御彈脫靶,目標(biāo)的處境將更加危險(xiǎn)。文獻(xiàn)[13]設(shè)定了脫靶量應(yīng)滿足的約束條件,并把能量消耗作為最優(yōu)化的性能指標(biāo)來(lái)處理,分別設(shè)計(jì)了防御彈的最小能量制導(dǎo)律以及目標(biāo)的最小能量逃逸策略。文獻(xiàn)[13]中防御彈制導(dǎo)律和目標(biāo)逃逸策略是分開(kāi)獨(dú)立設(shè)計(jì)的,文獻(xiàn)[14]在此基礎(chǔ)上考慮兩者之間的配合,在攻擊彈的制導(dǎo)律已知的情況下,設(shè)計(jì)了防御彈與目標(biāo)協(xié)同的最小能量控制策略。文獻(xiàn)[15]針對(duì)大前置角偏差的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了防御彈的單向協(xié)同滑模制導(dǎo)律以及防御彈和目標(biāo)的雙向協(xié)同滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[16]研究了基于多模型自適應(yīng)濾波器的攔截彈制導(dǎo)律辨識(shí)方法。文獻(xiàn)[17]將三維主動(dòng)防御制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相互約束的二維平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了協(xié)同制導(dǎo)律從二維向三維的擴(kuò)展。文獻(xiàn)[18]把防御彈的最優(yōu)發(fā)射時(shí)機(jī)以及目標(biāo)在發(fā)射前后的最優(yōu)控制策略轉(zhuǎn)換為一個(gè)切換系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題,并用深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法求解,仿真表明,基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法能夠獲得接近最優(yōu)的性能。

文獻(xiàn)[19]基于線性二次微分對(duì)策理論研究了任意階動(dòng)力學(xué)特性下的三方博弈問(wèn)題,為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程,采用終端投影的方法對(duì)原始的狀態(tài)方程進(jìn)行降階。對(duì)于理想動(dòng)力學(xué)特性的情形,給出了各方控制策略的閉環(huán)解析表達(dá)式,包括連續(xù)的形式和離散的形式。文獻(xiàn)[20]將線性二次型微分對(duì)策和切換控制的方式結(jié)合起來(lái),研究了攻擊彈的最優(yōu)制導(dǎo)律。由于采用了切換控制的策略,攻擊彈的控制量存在顫振現(xiàn)象,通過(guò)選擇合適的參數(shù)可以減輕這一問(wèn)題但無(wú)法消除。考慮到線性二次型微分對(duì)策制導(dǎo)律的控制量有可能超出邊界的問(wèn)題,文獻(xiàn)[21]采用邊界型微分對(duì)策的方法分析了攻擊彈可以實(shí)現(xiàn)規(guī)避防御彈以及攔截目標(biāo)的零控脫靶量邊界,設(shè)計(jì)了攻擊彈首先機(jī)動(dòng)到可以規(guī)避防御彈的零控脫靶量邊界上,然后切換控制策略對(duì)目標(biāo)進(jìn)行追擊的制導(dǎo)律。為了能更精確地反映實(shí)際的交戰(zhàn)場(chǎng)景,文獻(xiàn)[22]將上述方法推廣到了三維空間,并對(duì)剩余飛行時(shí)間的估計(jì)做了進(jìn)一步討論。文獻(xiàn)[23-24]分析了攻擊彈采用不同制導(dǎo)策略時(shí)命中目標(biāo)的條件,以及目標(biāo)實(shí)現(xiàn)逃逸和防御彈能夠完成攔截的條件。文獻(xiàn)[25-26]針對(duì)任意交戰(zhàn)幾何,建立了三體對(duì)抗問(wèn)題的非線性模型,求解了當(dāng)初始狀態(tài)位于逃逸區(qū)時(shí),該微分對(duì)策問(wèn)題的解。文獻(xiàn)[27-28]利用幾何方法研究了當(dāng)初始狀態(tài)位于捕獲區(qū)時(shí),各方的控制策略,但沒(méi)有對(duì)解的最優(yōu)性進(jìn)行證明。文獻(xiàn)[29]利用極大值原理對(duì)各方的最優(yōu)控制策略進(jìn)行了嚴(yán)格的推導(dǎo),與文獻(xiàn)[27-28]中的結(jié)果一致。雖然文獻(xiàn)[25-29]考慮了模型中的非線性因素,但是各方的控制方式是按簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)(速度大小不變,方向可以瞬間發(fā)生改變)考慮的,顯然這種簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)方式跟實(shí)際情況有很大的差距。

綜上,多數(shù)文獻(xiàn)是從目標(biāo)的角度考慮,設(shè)計(jì)防御彈攔截攻擊彈的制導(dǎo)律,或是目標(biāo)和防御彈的協(xié)同控制策略。本文則從攻擊彈的角度考慮,在防御彈采用某種已知線性制導(dǎo)律的情形下,研究攻擊彈與目標(biāo)、防御彈的博弈問(wèn)題,給出攻擊彈以某一特定脫靶量避開(kāi)防御彈,并對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)直接碰撞的微分對(duì)策制導(dǎo)律。

1 系統(tǒng)建模

本節(jié)首先建立主動(dòng)防御交戰(zhàn)場(chǎng)景的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,然后對(duì)非線性模型進(jìn)行線性化,再基于線性化模型推導(dǎo)相應(yīng)的制導(dǎo)律。

1.1 非線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

平面上的攻擊彈-目標(biāo)-防御彈的交戰(zhàn)幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面交戰(zhàn)幾何關(guān)系

圖1中，XIOIYI為慣性參考坐標(biāo)系,攻擊彈、目標(biāo)和防御彈分別記為A,T,D，各自的速度、法向加速度以及彈道傾角分別記為Vi，ai，γi,i∈{A,T,D};rAT和rAD分別為攻擊彈和目標(biāo)之間以及攻擊彈和防御彈之間的相對(duì)距離;λAT和λAD分別為攻擊彈-目標(biāo)視線(LOSAT)以及攻擊彈-防御彈視線(LOSAD)相對(duì)于XI軸的視線角。

忽略重力因素,極坐標(biāo)系下攻擊彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(1)

(2)

同樣,防御彈和攻擊彈的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(3)

(4)

攻擊彈、目標(biāo)和防御彈彈道傾角變化規(guī)律為

(5)

假設(shè)攻擊彈、目標(biāo)和防御彈均具有任意階的動(dòng)力學(xué)特性,寫(xiě)成一般的狀態(tài)空間的形式為

(6)

1.2 線性化的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在主動(dòng)防御的交戰(zhàn)場(chǎng)景中存在兩個(gè)碰撞三角形,一個(gè)是攻擊彈與目標(biāo)之間的碰撞三角形,一個(gè)是攻擊彈與防御彈之間的碰撞三角形。假設(shè)交戰(zhàn)過(guò)程處于末制導(dǎo)階段,攻擊彈、目標(biāo)和防御彈的速度大小基本保持不變,且始終位于碰撞三角形附近,則可以初始視線為基準(zhǔn)對(duì)原始的非線性模型進(jìn)行線性化。

圖1中,yAT為攻擊彈和目標(biāo)在垂直于初始視線LOSAT0方向上的相對(duì)距離;yAD為攻擊彈和防御彈在垂直于初始視線LOSAD0方向上的相對(duì)距離。把攻擊彈和目標(biāo)在垂直于初始視線LOSAT0方向上的加速度分別記為aAN1和aTN;把攻擊彈和防御彈在垂直于初始視線LOSAD0方向的加速度分別記為aAN2和aDN,滿足如下關(guān)系:

aAN1=aAcos(γA0+λAT0)=cAxAcos(γA0+λAT0)+dAuA

(7)

aAN2=aAcos(γA0+λAD0)=cAxAcos(γA0+λAD0)+kdAuA

(8)

aTN=aTcos(γT0-λAT0)=cTxTcos(γT0-λAT0)+dTuT

(9)

aDN=aDcos(γD0-λAD0)=cDxDcos(γD0-λAD0)+dDuD

(10)

式中,k=cos(γA0+λAD0)/cos(γA0+λAT0);uA,uT,uD為各方在垂直于相應(yīng)視線方向上的控制量,滿足:

(11)

(12)

(13)

線性化模型的狀態(tài)變量為

(14)

式中,

(15)

(16)

狀態(tài)方程為

(17)

將式(7)～式(10)代入式(17)中,得最終的狀態(tài)方程,寫(xiě)成矢量表示的形式為

(18)

式中,

系統(tǒng)的輸出變量為

y=[yAT，yAD]T

(19)

輸出方程為

y=Cx

(20)

1.3 飛行時(shí)間

設(shè)攻擊彈和目標(biāo)的初始距離為rAT0,攻擊彈和防御彈的初始距離為rAD0。在碰撞三角形附近線性化的假設(shè)條件下,攻擊彈和目標(biāo)的接近速度以及攻擊彈和防御彈的的接近速度近似為常值,所以相應(yīng)的交戰(zhàn)時(shí)間是固定的,其中攻擊彈和目標(biāo)的交戰(zhàn)時(shí)間為

tfAT=rAT0/VcAT

(21)

式中,

VcAT=VAcos(γA0+λAT0)+VTcos(γT0-λAT0)

(22)

攻擊彈和防御彈的交戰(zhàn)時(shí)間為

tfAD=rAD0/VcAD

(23)

式中,

VcAD=VAcos(γA0+λAD0)+VDcos(γD0-λAD0)

(24)

由于防御彈要在攻擊彈追上目標(biāo)前對(duì)其進(jìn)行攔截,所以攻擊彈與防御彈的交戰(zhàn)時(shí)間要小于攻擊彈與目標(biāo)的交戰(zhàn)時(shí)間,即tfAD

攻擊彈和目標(biāo)交戰(zhàn)以及攻擊彈和防御彈交戰(zhàn)的剩余飛行時(shí)間分別為

tgAT=tfAT-t

(25)

tgAD=tfAD-t

(26)

2 問(wèn)題描述

攻擊彈和目標(biāo)之間的攻防對(duì)抗問(wèn)題可以用微分對(duì)策來(lái)描述。對(duì)于目標(biāo)來(lái)說(shuō),它要在防御彈的掩護(hù)下實(shí)施逃逸,希望攻擊彈的脫靶量盡可能大,而攻擊彈則希望在避開(kāi)防御彈的前提下,脫靶量達(dá)到最小,同時(shí)雙方也希望各自的能量消耗盡可能小。

假設(shè)防御彈采用某種已知的線性制導(dǎo)律,那么其控制量可以寫(xiě)成如下形式:

uD=FD(t)x

(27)

系統(tǒng)線性化模型的狀態(tài)方程(18)可進(jìn)一步寫(xiě)成

(28)

式中,AFD(t)=A+BDFD(t)。

選取如下的線性二次型的性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化:

(29)

式中,權(quán)值b和γ均為正值,γ反映了目標(biāo)相對(duì)于攻擊彈的機(jī)動(dòng)能力,一般攻擊彈的機(jī)動(dòng)性要比目標(biāo)要強(qiáng),所以γ>1。顯然,攻擊彈要使J達(dá)到最小,而目標(biāo)要使其達(dá)到最大。

由于攻擊彈在攔截目標(biāo)的過(guò)程中會(huì)受到防御彈的威脅,因此為了能夠成功攔截目標(biāo),攻擊彈還要滿足如下的約束條件：

|yAD(tfAD)|≥LAD

(30)

式中,LAD為防御彈戰(zhàn)斗部的殺傷半徑。

另外,系統(tǒng)狀態(tài)的初始條件為

x(t0)=x0

(31)

那么,式(28)～式(32)就構(gòu)成了一個(gè)帶不等式約束的線性二次型微分對(duì)策問(wèn)題。

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 任意階動(dòng)力學(xué)的情形

為使這個(gè)對(duì)策問(wèn)題的求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化,采用終端投影的方法對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行降階[30],對(duì)原狀態(tài)x(t)做終端投影變換:

(32)

式中,ΦFD(·,·)為系統(tǒng)矩陣AFD(t)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;ZAT(t)和ZAD(t)為新的狀態(tài)變量,其物理含義分別為攻擊彈攔截目標(biāo)的零控脫靶量以及防御彈攔截攻擊彈的零控脫靶量。

對(duì)ZAT(t)和ZAD(t)求導(dǎo),得新的狀態(tài)方程：

(33)

式中,

(34)

在防御彈和攻擊彈的交戰(zhàn)結(jié)束時(shí),如果防御彈沒(méi)能命中攻擊彈,那么其出局,之后就變成攻擊彈與目標(biāo)之間的“一對(duì)一”的對(duì)抗,為了方便處理,令

ZAD(t)≡ZAD(tfAD),tfAD

(35)

式(35)也意味著

βA(t)≡0,tfAD

(36)

ZAT(t)和ZAD(t)的初值分別為

(37)

ZAD(t)需滿足的終端不等式約束條件為

|ZAD(tfAD)|≥LAD

(38)

ZAT(t)的終值記為

ZAT(tfAT)zT

(39)

式(29)的性能指標(biāo)寫(xiě)成關(guān)于零控脫靶量的形式為

(40)

為了得到該問(wèn)題的解,令

ZAD(tfAD)=zD

(41)

式中,zD是某一固定值,可以任意選取。

寫(xiě)出哈密頓函數(shù)

(42)

協(xié)態(tài)方程:

(43)

橫截條件:

λ1(tfAT)=bzT

(44)

根據(jù)雙方極值原理,可以得到攻擊彈和目標(biāo)的最優(yōu)控制策略為

(45)

對(duì)式(33)兩邊積分得

(46)

將式(45)代入式(46)得

(47)

(48)

式中,

當(dāng)γ滿足

(49)

則E(t0)一定可逆,那么

(50)

式(46)變?yōu)?/p>

(51)

(52)

式(40)的第1部分可以表示為

(53)

同樣,式(40)的第2部分可以表示為

(54)

將式(53)和式(54)相加得

(55)

式中,

可見(jiàn),J是關(guān)于zD的二次函數(shù),在滿足|ZAD(tfAD)|≥LAD這個(gè)約束條件下最小值點(diǎn)為

(56)

(57)

式中,

(58)

(59)

(60)

為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的直接碰撞,令b→∞,強(qiáng)迫yAT(tfAT)=0,此時(shí)

(61)

(62)

將E11(t0)和E12(t0)代入到式(61)～式(62)得

(63)

(64)

進(jìn)一步寫(xiě)成閉環(huán)的形式為

(65)

(66)

3.2 一階動(dòng)力學(xué)的情形

式(65)給出了攻擊彈制導(dǎo)律的一般形式,顯然,為實(shí)現(xiàn)該制導(dǎo)律,首先需要求出αA(t),αT(t),βA(t),ZAT(t),ZAD(t)的表達(dá)式。定義:

(67)

(68)

那么,

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可得XT(t),XD(t)所滿足的微分方程以及初始條件如下:

(74)

(75)

注意這里是對(duì)剩余飛行時(shí)間求導(dǎo),初始時(shí)刻是剩余飛行時(shí)間為0的時(shí)刻。

為了求出制導(dǎo)律的具體形式,假設(shè)攻擊彈、目標(biāo)和防御彈均具有一階動(dòng)力學(xué)特性,即

(76)

防御彈采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律,即

(77)

此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(78)

y=Cx

(79)

式中,

cAT=[1，0，0，0，0，0，0]

cAD=[0，0，0，1，0，0，0]

式(74)給出了XT(t)所滿足的微分方程和初始條件,解得

(80)

根據(jù)式(69)～式(70)可得

(81)

(82)

根據(jù)式(72)可得

(83)

(84)

那么零控脫靶量ZAT(t)也可進(jìn)一步寫(xiě)成

(85)

(86)

式中,

(87)

根據(jù)式(71)可得

(88)

根據(jù)式(73)可得

(89)

(90)

需要注意的是,本文提出的制導(dǎo)律是基于完美信息假設(shè)的,即系統(tǒng)的狀態(tài)和參數(shù)都是精確已知的,這個(gè)假設(shè)對(duì)于獲得制導(dǎo)律的閉環(huán)解析表達(dá)式是必要的,但在實(shí)際的交戰(zhàn)場(chǎng)景中又是不現(xiàn)實(shí)的,比如ZAT(t)中包含有目標(biāo)的加速度和時(shí)間常數(shù),ZAD(t)中包含防御彈的加速度和時(shí)間常數(shù),對(duì)于攻擊彈來(lái)說(shuō),這些都是未知的信息。所以,為了實(shí)現(xiàn)這一制導(dǎo)律,往往需要在制導(dǎo)回路中增加濾波器,對(duì)系統(tǒng)未知的狀態(tài)和參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的制導(dǎo)律的性能,設(shè)定一個(gè)交戰(zhàn)場(chǎng)景進(jìn)行數(shù)值仿真。假設(shè)初始時(shí)刻,攻擊彈、目標(biāo)和防御彈均位于碰撞三角形上,即初始航向誤差為0,交戰(zhàn)各方均沿著初始視線方向相互接近,之所以這樣設(shè)置是因?yàn)樵谶@種態(tài)勢(shì)下,攻擊彈可能會(huì)命中目標(biāo),但同時(shí)也可能會(huì)被防御彈所攔截,對(duì)于交戰(zhàn)各方是一個(gè)相對(duì)均衡的初始狀態(tài)。相關(guān)的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

由以上仿真參數(shù)可知,攻擊彈和防御彈的交戰(zhàn)時(shí)間為9 s,攻擊彈和目標(biāo)的交戰(zhàn)時(shí)間為12 s,即攻擊彈在與防御彈的交戰(zhàn)過(guò)程結(jié)束后,還剩余3 s的時(shí)間繼續(xù)追逐目標(biāo)。

圖2是LAD=50 m時(shí),采用本文提出的制導(dǎo)律的情形下攻擊彈、目標(biāo)和防御彈的運(yùn)動(dòng)軌跡,其中,防御彈和攻擊彈的脫靶量分別為50.17 m和1.4×10-9m。從圖2中可以看出,攻擊彈的彈道經(jīng)過(guò)了一個(gè)整形處理。在整個(gè)交戰(zhàn)過(guò)程中,攻擊彈并沒(méi)有始終保持追逐目標(biāo)的態(tài)勢(shì),而是故意做出一些機(jī)動(dòng),進(jìn)而擺脫防御彈的攔截。當(dāng)攻擊彈和防御彈的交戰(zhàn)過(guò)程結(jié)束時(shí),攻擊彈開(kāi)始全力追逐目標(biāo),并且最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的直接碰撞。

圖2 攻擊彈、目標(biāo)和防御彈的運(yùn)動(dòng)軌跡

攻擊彈的這種行為可以從其過(guò)載指令變化曲線上體現(xiàn)出來(lái),如圖3所示。

圖3 攻擊彈的過(guò)載指令曲線

從圖3中可以看出攻擊彈與防御彈交戰(zhàn)前后的兩個(gè)階段,其過(guò)載指令有很明顯的變化。在第1階段,攻擊彈的首要目標(biāo)是要以某一特定的脫靶量避開(kāi)防御彈,這需要攻擊彈提供很大的加速度以及加加速度。在第2階段,由于防御彈已經(jīng)不存在了,這時(shí)的交戰(zhàn)場(chǎng)景就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的“一對(duì)一”的交戰(zhàn)場(chǎng)景,攻擊彈的過(guò)載需求比第1階段要小的多,且呈線性遞減的趨勢(shì)。同時(shí)還可以看出,攻擊彈的過(guò)載需求主要是第1階段的過(guò)載需求,受LAD的影響較大,LAD越大,過(guò)載需求也越大。

從圖4中ZAD(t)以及圖5中ZAT(t)的變化曲線可以看出,這種制導(dǎo)律確實(shí)能夠以某一特定的脫靶量避開(kāi)防御彈的攔截,并最終實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的直接碰撞。

圖4 ZAD的變化曲線

通過(guò)調(diào)整仿真參數(shù)中目標(biāo)(防御彈)的初始位置,可得到不同的交戰(zhàn)時(shí)間tfAT和tfAD。圖6和圖7分別為L(zhǎng)AD=50 m時(shí),攻擊彈的最大過(guò)載和能量消耗隨tfAT的變化曲線。可見(jiàn),攻擊彈的最大過(guò)載和能量消耗均隨tfAT的增加而減小,尤其是在tfAT較小時(shí)這種關(guān)系最為明顯,但當(dāng)tfAT較大時(shí),攻擊彈的最大過(guò)載和能量消耗逐漸趨于穩(wěn)定。實(shí)際作戰(zhàn)中可綜合考慮導(dǎo)引頭的作用距離等因素來(lái)合理規(guī)劃交戰(zhàn)時(shí)間,以優(yōu)化攻擊彈的性能指標(biāo)。

圖5 ZAT的變化曲線

圖6 攻擊彈的最大過(guò)載的變化曲線

圖7 攻擊彈的能量消耗變化曲線

5 結(jié) 論

本文針對(duì)目標(biāo)可以對(duì)攻擊彈進(jìn)行主動(dòng)防御的交戰(zhàn)場(chǎng)景,設(shè)計(jì)了攻擊彈攔截主動(dòng)防御目標(biāo)的微分對(duì)策制導(dǎo)律。為了保證攻擊彈不被防御彈攔截,在一般的線性二次型微分對(duì)策的基礎(chǔ)上,增加了一個(gè)不等式約束條件。所得到的制導(dǎo)律在形式上包括兩項(xiàng),第1項(xiàng)與攻擊彈攔截目標(biāo)的零控脫靶量成線性關(guān)系,第2項(xiàng)則是攻擊彈攔截目標(biāo)的零控脫靶量以及防御彈攔截攻擊彈的零控脫靶量的非線性函數(shù)。該制導(dǎo)律可使攻擊彈以某一特定的脫靶量避開(kāi)防御彈,并對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)直接碰撞。通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律的性能,仿真結(jié)果與理論分析的結(jié)果高度吻合。