整數環上一類三階矩陣方程有解的充要條件

黎洪鍵

(華南師范大學 數學科學學院,廣州510631)

1 引 言

隨著人們日益對信息安全重視程度的提高,密碼學就顯得愈來愈重要,而整數矩陣方程的相關研究有助于新密碼體系的開發[1].設,分別是全體整數和全體正整數的集合,GLn()表示上n階可逆矩陣的集合,文獻[2-10]考慮一類特殊的整數矩陣集

S(A)={Ak|k,m∈,A∈GLm()}

上的Fermat方程

Xn+Yn=Zn(X,Y,Z∈S(A),n∈)

的可解性問題,顯然,研究S(A)的性質有利于這類問題的解決；鐘祥貴[11]利用遞歸關系證明了二階整數矩陣方程An=kE(E為單位矩陣)有解的充要條件；本文在[11]的基礎上,研究三階整數矩陣方程

An=kE(A∈GL3())

(1)

有解的充要條件.

2 引 理

定義1[11]設A是一個m×m矩陣,稱使得An=kE,對某個實數k成立的最小正整數n為A的階,記為O(A).

定義2[12]設G是群,運算記為乘法,a是G中一個元素.如果?k∈,有ak≠e,則稱元素a的階為無窮.如果?k∈,使ak=e,則稱min{k∈|ak=e}為a的階.

引理1[12]設a是群G中的一元,a的階為d,k∈,則

引理2[12]n次單位根的全體Un={x∈|xn=1}對于復數的乘法運算構成一個循環群.

定義3[13]xn-1的根,稱為n次單位根,又若n次單位根θ滿足θn=1,θm≠1,0

引理3[13]設θ為n次單位原根, 則當且僅當(k,n)=1，θk為n次單位原根, 因而有φ(n)個n次單位原根, 其中,φ(n)為Euler函數, 即小于n且與n互素的正整數的個數.

引理4[13]對n∈有

(ii) φn(x)是整系數的首一多項式；

(iii) φn(x)是[x]中不可約多項式.

推論1若θ是n次單位原根, 則擴張次數[(θ):]=φ(n).

定義5[14]令Pn×n表示數域P上n階方陣的集合, 設A∈Pn×n,若存在正整數m, 使得Am=kE(k≠0), 則稱A為數域P上n階擬冪幺矩陣. 若Am=kE(k≠0), 但對小于m的正整數r, 有Ar≠hE(?h∈P), 則稱m為擬冪幺矩陣A的擬冪幺指數, 記為μ(A)=m.

引理5[14]設A是復數域上n階擬冪幺矩陣, 則

(i)A的特征值λ滿足方程λμ(A)=k(k≠0)；

(ii)λμ(A)-k是A的零化多項式；

(iii)A可對角化.

引理6[15]上的全體代數數組成的集合記為A, 設α∈A, 多項式集合

P=P(α)={f(x)|f(x)∈[x],f(α)=0},

那么, 對集合P的非零多項式來說, 以下三個性質等價:

(i)h(x)是P中次數最低的多項式；

(ii)h(x)是P中任一多項式的因式, 即對任一f(x)∈P, 必有q(x)∈[x]使f(x)=q(x)h(x)；

(iii)h(x)是P中在上不可約的多項式(即[x]中的不可約多項式).

證由于方程(1)有解,因此矩陣A是整數環上3階擬冪幺矩陣,從而矩陣A也是復數域上3階擬冪幺矩陣,由引理5(3)可得,存在3階復可逆矩陣T使得

? 當O(A)=m時,不妨設Am=λE(λ≠0),于是

于是

因此O(A)≤m.

3 主要結果

現在敘述本文的主要結果及其證明.

定理1矩陣方程(1)有解當且僅當矩陣A的階O(A)∈{1,2,3,4,6}.

證? 當方程(1)有解時,矩陣A的階顯然存在,下面我們對矩陣A的階O(A)進行分類討論：

情形1 取

滿足A=kE(其中k=a)且O(A)=1,即存在矩陣A使得O(A)=1.

情形2 令

令A2=kE,則有

這等價于

這時,取

可得矩陣

滿足A2=kE(其中k=a2+bp+cu)且O(A)=2, 即存在矩陣A使得O(A)=2.

例取

可得矩陣

滿足A2=kE(其中k=9)且O(A)=2.

情形3 下面證明當O(A)≥3時,矩陣A的階O(A)∈{3,4,6}.

設O(A)=m,矩陣A的特征多項式為f(x)且矩陣A的3個特征值為x1,x2,x3,由于det(A)≠0,因此x1x2x3≠0且x1,x2,x3滿足下列等式

(2)

由于f(x)是首一三次整系數多項式,因此f(x)的根有三種情形:一個實根和一對共軛復根;三個互不相等的實根;三個實根且至少兩個相等.下面對這三種情形進行討論:

(i) 當x1∈時,由公式(2)可得

(x1,x2,x3)=(x2,x3)=(x2).

因此m∈{1,2,3,4,6},即O(A)∈{1,2,3,4,6}, 由于O(A)≥3, 故O(A)∈{3,4,6}；

(ii) 當x1∈時,由于O(A)=m,于是由引理5(1)可得由等式(2)得故即

(3)

由于在(ii)這種情形下, 矩陣A的特征多項式f(x)在有理數域上不可約, 由(3)和引理6可得

f(x)|x3±det(A).

由于f(x)是3次首一多項式, 因此

f(x)=x3±det(A).

由于det(A)≠0,于是

f(x)=x3-det(A).

(4)

比較(4)左右兩端的多項式系數及x1是f(x)的根可得

(5)

綜合(i)，(ii)可得, 當O(A)≥3時, 矩陣A的階O(A)∈{3,4,6}.

另一方面,階為3,4,6的矩陣確實存在

就是階分別為3,4,6的矩陣的例子.

② 當矩陣A有三個互不相等的實特征值x1,x2,x3時,由于O(A)=m,由引理5(1)可得

由于x1,x2,x3都是實數, 故x1=±x3,x2=±x3, 這與x1,x2,x3兩兩不等矛盾!

(i) 當x1=x2時,此時有x1=x2=x3,由引理5(3)可得,存在3階復可逆矩陣T使得

這與O(A)≥3矛盾！

故

這與O(A)≥3矛盾！

? 由必要性可知階為1,2,3,4,6的矩陣均存在, 因此命題成立.

4 結 論

本文研究了整數環上三階矩陣方程An=kE的求解問題，給出了該方程有解的充要條件.順利將文獻[11]拓展到三階矩陣情況,解決了該類三階矩陣方程解的存在性問題.

致謝本文作者非常感謝華南師范大學數學科學學院袁平之教授的鼓勵與幫助.