關于Hardy型不等式的討論

周爍星， 樓紅衛

(復旦大學 數學科學學院，上海200433)

1 引 言

在一些習題集中，有如下有趣的問題：

例1很自然地可以推廣到其他冪平均的情形.對于整數n≥1和實數α，來定義非負數列a1，a2，…，an的冪平均.

首先，若α>0，或α<0且a1，a2，…，an>0，則定義

(1)

若α<0，且a1，a2，…，an至少一個為零，則令Mα(a1，a2，…，an)=0.

最后，定義

(2)

易見Mα(a1，a2，…，an)關于α∈(-∞，+∞)以及a1，a2，…，an都是單調增加的.自然地，將例1一般化為如下命題.

證(i) 由冪平均的單調性，不妨設0<α<1.由H?lder不等式，有

從而

(3)

為討論連續性的問題，對于實數α以及[0，+∞)上非負可積函數f，來定義函數f的冪平均函數Mα(f).設x>0.

若α>0，或α<0且f有正下界，則直接定義

(4)

對于α<0 但f不一定有正下界，用下式定義

(5)

類似地，對于α=0，定義

(6)

類似于Mα，Mα(f)關于α單調增加.當f，g非負可積且f≥g時，Mα(f)≥Mα(g).

例1有以下連續型的推廣.

證(i) 由冪平均的單調性，不妨設0<α<1.由H?lder不等式，有

因此

(7)

2 離散型結果的一般化

為方便起見，引入如下定義.

有如下命題.

命題2設g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]連續且嚴格單調.若k≠0，b∈(-∞，+∞)，則f∶=kg+b也是 [0，+∞]映到[-∞，+∞]的嚴格單調函數.則對任何非負實數列a1，a2，…，an成立

特別地，此時f具有性質PD當且僅當g具有性質PD.

由此即得命題.

證必要性顯然.只需要證明充分性.

不妨設f嚴格單調遞增，否則由命題2，考慮-f即可.

f(b1)+f(b2)+…+f(bN)≤Nf(δ).

命題3表明f是否具有性質PD只與它在0點附近的取值有關.作為其推論，易得如下命題.

命題4設f，g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]均連續且嚴格單調，f具有性質PD.若存在正常數C1，C2，δ使得對于x∈(0，δ)成立f(C1x)≤g(x)≤f(C2x)，則g也具有性質PD.

命題5設f∶[0，+∞]→[-∞，+∞]，g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]均連續且嚴格單調，f具有性質PD.進一步，設以下條件之一成立: (i)f單增，g-1凸; (ii)f單減，g-1凹.則g°f也具有性質PD.

證對于非負數列{an}，有

由此即得g°f也具有性質PD.

提請讀者注意，在g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]嚴格單調的前提下，g-1凸當且僅當g凹且單增或g凸且單減.而g-1凹當且僅當g凸且單增或g凹且單減.

3 連續型的進一步推廣

類似于定義1，引入如下定義.

仿命題3，可以建立如下命題.

以下命題給出了性質PD與PC之間的等價性.

命題7設f∶[0，+∞]→[-∞，+∞]嚴格單調.則f具有性質PD當且僅當在f具有性質PC.

4 結 語

從一個收斂的正項級數出發，引入由級數的一般項的各種平均產生的新的一般項，考察新的級數的收斂性.類似問題曾經由著名數學家 Hardy 加以研究并得到優美的結果.本文將有關結果推廣到更廣泛的情形，同時對一些特例簡化了證明.文章較好地體現了發現問題并逐步深入研究最終得到一些有意義的成果的過程.

致謝本文受益于復旦大學數學科學學院蘇步青班的無學分討論班和“莙政基金”大學生見習研修計劃等.感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見！