基于BOPPPS教學模式的離散數學教學改革的探索與實踐

王海玲

(廈門大學嘉庚學院 信息科學與技術學院，福建 漳州363105)

1 引 言

離散數學既有集合論、圖論等數學理論知識，又有數據結構、數據庫、算法等計算機應用知識，還有培養嚴謹思維的邏輯知識，可以看作是連接數學、計算機、邏輯思維之間非常重要的紐帶，因此，其課程所體現出來的思想與方法已深入到各個學科.尤其隨著互聯網的發展，面對各行各業涌現出來的各種各樣的數據，既有結構化的，又有非結構化的，還有半結構化的；既有離散型的，又有連續型的，還有混合型的.如何研究看似“形式散亂”的數據內部規律，如何通過計算機實現連續變量建立起來的數學模型，在日常生活和科學研究中，變得越來越重要.因此，近些年，離散數學涌現出來的教學改革、教學方法以及用離散數學的思想進行數學建模的文獻也比較多[1-5].

但是，現在很多應用型大學為培養“一專多能”復合型人才，鼓勵學生跨專業選修課程，選修課、技能課程、雙創學分等比例加大，對傳統的基礎學科有一定的沖擊.以廈門大學嘉庚學院為例，原來的信息與計算科學專業離散數學是一學期68+48學時(其中48學時為圖論部分，單獨開設)；后來將圖論并入離散數學，仍然開設一學期，課時為68學時；再后來，將離散數學課時改為48學時，講授內容仍然跟之前一樣多.面對這么重要的課程，其課時愈來愈少，甚至有的學校將其變為選修課程的現象，必然要求一線教師進行思考：與時俱進，如何優化教學內容，注重知識滲透；調整教學方法，如何打破傳統教學“壁壘”，避免“一言堂”；重塑培養目標，如何從知識目標、能力目標、素質目標三個維度量化考核指標，以期讓學生獲得必備的數學知識、數學思維、系統的數學建模、數學計算、多學科交叉綜合應用、邏輯推理和抽象思維能力、良好的科學思維素質、獨立思考、勇于批判的理性精神及團結合作等目標.

BOPPPS教學模式是以有效教學設計著稱的一種廣泛應用于北美高校的教學模式，是以認知理論和建構思想為立足點，以學生為中心點的一種教學理念.課堂教學過程采取模塊化分解，強調學生的參與意識及課程反饋結果，將課堂教學環節分為6個階段[6]：① Bridge-in：精心設計課堂引入；②Objective：設置學習目標和教學目標；③Pre-test：課前知識檢測；④Participatory Learning：變課堂教學為以學生為中心的參與式學習；⑤Post-test：課后測驗學習效果和教學效果；⑥Summary：對課堂內容及時梳理與總結.每個環節均為獨立模塊，但前后又互相銜接，構成完整教學過程.

BOPPPS教學模式由于其靈活的教學組織形式，在各個專業各個課程都有很強的實用性和可操作性.以問題為驅動式的BOPPPS課堂教學，不僅能拉近師生、生生之間的距離，而且能有效實現“生生互動、師生互動”，因此，越來越受教師和學生歡迎.本文結合《離散數學》的學科特點，運用BOPPPS教學模式，有效提高教學質量，實現從“教”向“育”轉變.

2 教學改革探索與實踐

由于離散數學涉及的內容十分廣泛，而且概念多，章節跳躍性強，前后章節知識點聯系性弱等特點，因此每部分講解的方式都要“因地制宜”，不能千篇一律.以數學知識為代表的圖論為例，它能通過構造點線關系將實際復雜的問題簡單化處理，打破傳統數學思維特點.因此，在課堂教學組織過程中，必須“求異創新”，打破傳統教學束縛，以圖論中最短路徑問題為授課內容，傳統數學教學方式為：最短路徑定義—最短路思想—最短路算法流程—例題講解—課堂練習—課后作業.采取BOPPPS教學模式設計如下：

(i)趣味引入，調動學習動機，導入主題，是開啟BOPPPS有效教學的前提.

興趣是學習的原動力，新穎的開頭既要像“磁鐵”一樣深深吸引學生專注課堂學習，提高學習興趣；又要像“魚鉤”一樣勾起學生強烈的學習欲望，激發好奇心.因此，在講最短路徑概念之前，先設置一個開放性的題目，以學校外賣配送為例，假如你是一名快遞員，如何規劃你所行駛的路線，使得能在顧客指定時間送達的同時，走的路程盡可能短且送的貨物盡可能多？

(ii)明確課堂教學目標和學習目標，是BOPPPS有效教學的保障，也是衡量主題導入效果的一把尺子.

受傳統教育教學的影響，當前的課程教學普遍留在為“應試”而設置的教與學的框架內.“課程的重點是什么，哪些內容哪些章節期末一定會考，哪些內容不考，哪些抽象難懂的定理不講，不講的不考……”，教師講解的是教學大綱規定的教學內容與任務，教材之外的知識一概不講；而學生的學習則是完全被動地接受了既定教材和課本的知識，學生的學習過多的依賴“課本”，老師過多的追求“準確率”，學生過高的追求“通過率”.這樣的應試教育的結果，學生僅僅成為“聽課”者或者“看課”者或者“觀賞”者或者“旁觀”者，而不是真正的學習者.與大數據、人工智能、互聯網廣泛應用的今天，學習的內容一定要“具有生活價值”的觀念相離甚遠.

因此，教師在授課過程中，一定要明確教學目標和學習目標，要明確告訴學生完成知識學習后如何分析問題？如何求解問題？求解什么樣的問題？求解到什么程度？等等.減少“了解”、“理解”、“掌握”等不確定性詞語的使用[7].另外，明確的學習目標還必須具備5W要素：Who，Under what condition，Will do what，How well ，Why.即：學習對象是誰，在什么條件下學，將學到什么，怎樣學好，為什么學.如表1.

表1 最短路徑5W要求設計

(iii)課前知識檢測，了解學生課前預習、已有知識與具備條件等情況，進而調控課堂節奏，是BOPPPS有效教學的根本，也是課程目標能否實現的試金石.

本課程借助于課堂派進行線上線下混合式教學，課前在課堂派備課區設置一些開放性的題目，一般以選擇題、問卷題、判斷題、填空題等形式開放作答，如：①你認為的最短路徑指的什么？路程最短？時間最少？費用最少？還是都可以？②生活中，哪些地方會用到最短路徑？根據學生的回答情況，一方面可以事先了解學生的既有知識、興趣愛好與具備條件，另一方面可以在授課過程中有的放矢，適當調整授課內容的深度、廣度與進度，把握課堂節奏，進而引導學生聚焦課程設定目標.

(iv)以問題為驅動的參與式學習是BOPPPS有效教學的核心，是推進課前知識檢測效果順利進行的催化劑.

以電子交易量巨大的“6.18”或者“雙十一”為例，假設某快遞集散中心要給6000個客戶配送貨物，已知該集散中心只有10個快遞員，配送的客戶的位置已知，問：如何規劃快遞員的配送路線使得能既在每個客戶指定的時間送達的同時，又能一次性送更多的貨物，而且返回集散地的時間又是最短？

按“最鄰近地區” 的要求為學生搭建思路框架，將客戶的位置聚成10類，引導學生探索嘗試，運用圖形構建、推理構建、公式構建、思維構建、問題構建五種教學策略，啟迪學生開拓思路，引導學生嘗試自我建構或者小組形式建構新的解題方法及解題思路，并嘗試構建新問題，開展以問題為驅動，以學生為中心的探究式課堂.打破局限于教材的限制，鼓勵學生發散思維，最大程度發掘學生最感興趣的東西.最后通過課堂內外、師生之間、生生之間的合作、交流和討論，完成知識的學習、吸收與轉化.

在以問題為驅動的整個探究式課堂中，不僅改變了學生被動聽課現象，而且教師還可以從中引導學生主動自主學習，教會學生在琳瑯滿目的各種信息中，在聯系緊密的紛繁復雜的世界中尋找生活的價值意義，真正實現從“教”向“育”轉變、從“教”向“導”[8]轉變.讓學生學會從浩瀚的知識海洋中“大浪淘沙”，獲取有益的知識，形成智慧，最終實現“會學”，進而到“慧學”.

(v)通過設置與前測“遙相呼應”的題目檢測學生的學習效果和教師的教學效果，是BOPPPS有效教學的關鍵，也是參與式學習效果的升華劑.

模塊知識學習結束后，可將一個復雜知識拆分，通過設置選擇題、判斷題、簡答題、問卷調查題的形式進行與前測問題相呼應，對模塊知識進行總結反饋.例如：如果你現在不是快遞員，而是老板，想在X城市新建若干個快遞收發中心，你會怎樣選擇位置？通過后測，一則可以檢驗學生學習的效果，二則可以衡量教師教學效果，三則可以進行可行性分析，從而調整后續教學活動.

(vi)對課堂內容及時梳理與總結，構建知識框架，是BOPPPS有效教學的靈魂，起到承前啟后作用.

課堂內容結束后，要及時對所學內容梳理與總結，借助于脈絡清晰的思維導圖、魚骨圖等形式，幫助學生形成良好的知識結構，讓學生明確離散數學在后續專業的地位，從而“撥開云霧見青天”.如圖1為BOPPPS有效教學模式環環相扣的閉環圖.

圖1 BOPPPS教學模式閉環圖

3 教學效果

美國的威廉·亞瑟·沃德曾說過：“平凡的老師告知，認真的老師解釋，優秀的老師演繹，偉大的老師啟發.”通過近兩年BOPPPS模式離散數學教學實踐，學生參與課堂的積極性、學生對授課老師的認同度、學生的學習成績及解決實際問題的能力都有明顯提高！圖2是17、18級計算機、軟件、信息與計算科學專業的學生對課堂教學的真實評價圖！從圖中可以看出，學生非常認可該授課模式.圖3是信息與計算科學教學改革后17、18級學生與教學改革前15、16級學生成績對比圖，從圖中可以看出，教學改革后，學生的不及格率大幅減少，平均分、高分人數和優秀率大幅提高，改革效果非常好.圖4是學生學以致用掌握能力問卷調查圖，讓學生選出最擅長最感興趣的問題進行求解，從圖中可以看出，通過以問題為驅動的參與式學習，學生學習積極性很高，解決問題的能力得到鍛煉！改革效果良好！

離散數學(18信息)Q1老師教學很認真,對學生很好,給老師點贊.離散數學(18信息)Q1好離散數學(18信息)Q1例題講解很詳細離散數學(18計算機)(1班)Q1教學態度認真離散數學(18計算機)(1班)Q1認真負責離散數學(18計算機)(1班)Q1老師很好,很耐心離散數學(17信息)Q1有自己的獨特方法及對學生掌握程度有豐富理解離散數學(17信息)Q1老師課上講解很詳細離散數學(17信息)Q1教學認真離散數學(17信息)Q2讓學生實踐離散數學(17軟件)(1班)Q1非常優秀!離散數學(17軟件)(1班)Q1教學認真,上課很好, 人很好,氣氛好離散數學(17軟件)(1班)Q1講課清晰離散數學(17軟件)(1班)Q2我們繼續好好學習天天向上離散數學(17軟件)(1班)Q1上課超級認真講的很詳細離散數學(17軟件)(1班)Q1好離散數學(17軟件)(1班)Q1更好學習離散數學離散數學(17軟件)(1班)Q1很棒離散數學(17軟件)(1班)Q1上課積極跟學生互動,提高學生的學習興趣離散數學(17軟件)(1班)Q1教學認真離散數學(17軟件)(1班)Q1有效引導學生參與課堂學習離散數學(17軟件)(1班)Q2都很好離散數學(17軟件)(1班)Q2對于學生來說,良好的上課氛圍,課下的活動教學,相結合才是當今應有的教學模式

圖2 學生真實評價情況圖

圖3 改革前后教學效果對比圖

圖4 學生學以致用掌握問卷調查情況統計

4 結 論

基于BOPPPS模式的離散數學課堂教學設計，改變了傳統“滿堂灌”授課方式和“重理論輕實踐”教學觀念，充分調動了學生參與課堂的積極性，課堂氛圍良好.課堂外，借助于校企合作平臺，引入雙創教育、項目驅動等，引導學生大膽思考與實踐，并鼓勵學生發表相關論文、申請專利、參與項目開發、學科競賽等，學生的課內外學習氛圍和學習熱情充分調動起來！學生成績和動手實踐能力明顯提高，改革效果良好！

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.