關于求解極限的若干思考

周 燕， 林麗瓊， 任立英

(福州大學 數學與計算機科學學院，福州350108)

1 引 言

眾所周知，無窮小等價替換極大簡化了一些極限的求解[1]，但在具體應用過程中，細節的錯誤經常會出現.比如應用無窮小等價替換計算極限時，要求在x0的某個去心鄰域里沒有零點，很多人在做題過程中往往忽略這一點.

例如錯誤做法：

二元函數極限的判別與求解方法眾多[2-3]，其中應用極坐標計算二元函數的極限是常用的一種方法，但應用時有諸多復雜的限制[4-5]，本文針對一類特殊函數給出了便于計算應用的若干結論.

2 主要結果

類似地有

證法同引理1

(i) 在E中，β(x)與β1(x)的零點相同，記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 對任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 當0<|x-x0|<δ2，且x?E1時，有

則

證令

由引理1得

同樣，由引理2可得如下類似結論：

定理2設β(x)與β1(x)為x→x0時的無窮小，在x0的任一去心鄰域，β(x)，β1(x)均有零點，γ(x)在x0的某去心鄰域內有定義，若存在x0的某個去心鄰域E={x|0<|x-x0|<δ1}滿足：

(i) 在E中，β(x)與β1(x)的零點相同，記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 對任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 當0<|x-x0|<δ2，且x?E1時，有

則

大家知道應用無窮小等價替換計算極限時，要求在x0的某個去心鄰域里等價替換的函數沒有零點，而定理1則把無窮小等價替換的結論進行了推廣，它說明在求解極限時，分子若應用無窮小等價替換時，允許x0任意去心鄰域函數都有零點，只要滿足兩個無窮小在x0的某個鄰域內零點相同，并且不考慮零點的時候，表達形式滿足通常等價的情況，也即非零點x在充分靠近x0時滿足

則計算極限時是可以將β(x)與β1(x)進行替換的.

經常碰到的題目忽略了等價替換的條件，利用等價替換得到的結果都是正確的，原因就在于題目實際上滿足定理1的條件.

類似一元函數可以證明對于多元函數上述的引理1、引理2以及定理1、定理2也都成立，這里就不逐一敘述，僅以二元函數的情況為例說明定理1的推廣內容.

(i) 在E中，β(x，y)與β1(x，y)的零點相同，記

E1={(x，y)∈E|β(x，y)=0}={(x，y)∈E|β1(x，y)=0}；

則

證明與定理1類似，略去.

當t>0時，f′(t)>0，所以2t>ln(1+t)>0，

|ln(1+t)|<|2t|.

(1)

由夾逼準則可得

由上述證明過程可以看出例2若不采用我們證明的定理3，則計算比較麻煩，而且學生不容易想到將ln(1+xy)與2xy進行比較，而選擇應用定理3，則計算簡單.

總而言之，如果在去心鄰域函數出現零點，關鍵要考慮函數無窮小替換時零點是否可以保持，如果可以，事實上應用本文的結論是可以替換的，而且結果是正確的.這樣在計算一元或多元函數極限的問題上方便很多.

下面討論應用極坐標求解極限時易犯的錯誤的問題.比如

該題應用極坐標替換計算極限過程中，將θ當作是常數，計算r→0時的極限，事實上在r→0的過程中，θ也是變化的，是不能當做常數的，所以計算結果是錯誤的.事實上，該函數的極限是不存在的.

那么怎么利用極坐標計算的結果是正確的呢？在文獻[4-5]中給出的具體的命題如下：

命題1[4]設二元函數f(x，y)在點(x0，y0)的某去心鄰域內有定義，則

命題2[5]設(i) 任意θ∈[0，2π]，當r→0時f(x，y)=f(rcosθ，rsinθ)→0；

(ii) 存在M>0，使得任意(x1，y1)，(x2，y2)有

|f(x1，y1)-f(x2，y2)|≤M(|x1-x2|+|y1-y2|)，

上述結論提到的要求比較復雜，且這些結論在具體計算時并不好驗證，本文給出兩種適合計算中應用的方法.

|f(x，y)|=|f(x0+rcosθ，y0+rsinθ)|≤|g(r)h(θ)|<ε，

所以

時，

|f(x，y)-A|=|g(r)h(θ)-A|<1，

故

|g(r)h(θ)|

由于g(r)在0的任一去心右鄰域不恒為0，則存在0

這兩個結論雖然簡單，但在計算二元函數極限時，卻是十分方便.

例4若不采用極坐標替換來解決，則計算量會很大.而對于例5，學生往往不太容易看出是極限不存在，而通過上述方法，可以輕松地解決問題.

3 結 論

極限的計算在高等數學中占有重要的地位，本文通過具體例題指出學生在應用等價替換與極坐標變換計算極限時易忽視的錯誤，并通過嚴格證明給出修正錯誤的相應結果，這不僅有助于學生透徹掌握等價替換與極坐標變換求極限的方法，且可避免容易忽視的錯誤，同時也為教師在教學中提供參考.事實上，在高等數學學習過程中，這類容易忽視的錯誤經常可見，對這種類似問題的研究對教學與學生學習都有很大幫助.

致謝在論文修改過程中，審稿老師提了許多寶貴意見，對此表示衷心的感謝.