勒讓德方程本征值的確定

楊守文， 王海軍

(吉林大學 物理學院，長春130012)

1 引 言

針對勒讓德方程的求解，大部分數學物理方法教材，通常采用常點鄰域的級數解法進行求解[1-4]，然后針對勒讓德多項式的性質進行深入學習[5-6].然而，勒讓德方程中的本征值λ一般直接寫成l(l+1)形式，即

在求解過程中，對本征值λ為什么可以寫成l(l+1)的形式，而不寫成其他的表示形式，大部分教材沒有給出詳細的說明.每次學習到這部分內容，學生都會對此產生疑問：為什么本征值λ可以直接寫成l(l+1)的這種特殊的形式？

針對這個問題，本文對勒讓德方程本征值λ的表示形式進行深入的討論.

2 勒讓德方程的級數解法

勒讓德本征方程的一般形式為

(1)

其中-1≤x≤1，λ為本征值.

根據常點鄰域的級數解法，勒讓德方程的解y(x)可以在x=0的鄰域內進行泰勒級數展開

(2)

將(2)式代入(1)式，整理可得

上式的左邊是一個關于x的多項式.要保證對于任意的x，上式恒成立，必須要求每一項xn(n=0，1，2，…)的系數均為零.因此，通過數學歸納法，可以得到系數的遞推公式

(3)

由遞推公式(3)可知，c2k(k=1，2，…)最終可用c0表示，c2k+1(k=1，2，…)最終可用c1表示.因此，可以通過(3)式，可以推導出偶次冪項系數c2k和c0的關系

(4)

以及奇次冪項系數c2k+1和c1的關系

因此，勒讓德方程的泰勒級數解(2)可以分成偶次冪項之和與奇次冪項之和

y(x)=c0y0(x)+c1y1(x)，

其中

y0(x)和y1(x)在定義域-1≤x≤1均是無窮級數，因此必須判斷它們在定義域內的收斂性.與大部分教材類似，很容易判斷出y0(±1)和y1(±1)是發散的，關于無窮級數的收斂性此處不再贅述.要找的勒讓德方程的解必須滿足邊界條件y(±1)有界.如果無窮級數y0(x)、y1(x)可以退化成有限項的多項式，那么y(x)在x=±1發散的問題就不存在了.

由公式(3)可進一步得到偶次冪項系數相鄰兩項的遞推公式

(5)

由上式可知，當本征值λ=2n(2n+1)時，系數c2n+2=0，繼而由遞推關系可得c2n+4，c2n+6，…=0.因此，無窮級數y0(x)將被截斷成多項式，其在定義域內自然是收斂的.而此時，無窮級數y1(x)在邊界x=±1仍然發散.要保證通解y(x)有界，必然要求c1=0.

因此，勒讓德方程的通解退化為

y(x)=c0y0(x)，

其中y0(x)是一個在定義域-1≤x≤1收斂的、最高次冪為2n的多項式，即

(6)

將λ=2n(2n+1)代入(4)式，系數c2k可簡化為

(7)

將(7)式代入(6)式，整理可得

進一步令系數

則可得勒讓德方程的本征解為

上式是當λ=2n(2n+1)(n=0，1，…)，勒讓德方程的本征解.用一個專用函數P2n(x)來表示

其中，n=0，1，2，….

或者，用l表示，令l=2n，則

(8)

其中，l=0，2，4，….

同理，當λ=(2n+1)(2n+2)時，由公式(3)可得系數

繼而通過遞推公式可得系數c2n+5=c2n+7=…=0.因此，無窮級數y1(x)被截斷成多項式，在定義域內是收斂的.而此時，無窮級數y0(x)在邊界x=±1仍然發散，要保證通解y(x)有界，此時必須要求c0=0，因此，勒讓德方程退化為

y(x)=c1y1(x)，

其中，y1(x)為一個最高次冪為2n+1的多項式，經過與y0(x)類似的推導過程，可得

(9)

其中，l=1，3，5，…

由(8)和(9)可以看出，當λ=2n(2n+1)和λ=(2n+1)(2n+2)時，得到的勒讓德多項式的表達式是一樣的.因此，可以把(8)和(9)式合并成一個公式，即當λ=l(l+1)時，勒讓德方程的本征解寫為

(10)

其中，[l/2]表示不超過l/2的最大整數，即

3 結 論

本文直接從勒讓德方程的一般形式出發，利用常點鄰域的級數解法，確定了本征值λ=l(l+1)的緣由.與現有教材相比，學生更容易理解這種直接確定勒讓德本征值形式的方法.

致謝作者非常感謝吉林大學物理學院本科生對數學問題的積極求索以及審稿專家提出的寶貴意見.