正態總體均值置信區間長度的比較

石撿情， 劉繼成， 劉顯明

(華中科技大學 數學與統計學院，武漢430074)

1 問題的提出

設X1，…，Xn為正態總體X～N(μ，σ2)的樣本容量為n的簡單隨機樣本，樣本均值和樣本方差分別記為

在總體方差σ2已知和未知兩種情況下，總體期望μ的置信水平為1-α的置信區間分別是(文獻[1]P194(7.10)和P196(7.13))

分析L1和L2的表達式，易知tα/2(n-1)>uα/2，通過Cauchy-Schwartz不等式得到E(Sn)<σ，文獻[2]從數值上得出L1小于E(L2)，本文的目的是嚴格證明L1

定理1對于任意n≥2，L1

為證定理1，只需等價證明σ·uα/2

回顧自由度為n-1的t分布的密度函數fn-1(x)和標準正態分布的密度函數φ(x)

對密度函數fn-1(x)在分位數下做變換，可得到另一概率密度函數記為gn-1(x)，其上側α/2分位數正是Cn·tα/2(n-1)，最后通過探究概率密度函數φ(x)與gn-1(x)的圖像交點問題來證明定理1成立.值得注意的是，為使E(Sn)的取值有意義，n的取值應不小于2，本文約定n≥2.

2 分位數下的積分變換

下面的引理來自文獻[2]，討論了樣本標準差Sn的數學期望和性質.

② E(Sn)關于n單調遞增且收斂到σ.

文獻[2]計算了E(Sn)的精確數值表示，且對E(Sn)的極限和單調性進行了計算與探討.

由引理1中E(Sn)的表達式，記E(Sn)與σ的比值

(1)

即Cn是n的函數.E(Sn)單調遞增且收斂到σ，則Cn關于n單調遞增收斂到1.定義

(2)

下面的命題說明了gn-1(x)的性質.

命題1(i)gn-1(x)是一概率密度函數；

(ii)Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數gn-1(x)的上側α/2分位點；

(iii)gn-1(x)收斂到標準正態分布的概率密度函數φ(x)；

證對自由度為n-1的t分布的概率密度函數fn-1(x)做積分變換.

根據式(1)

由上側分位數的定義(文獻[3]， P131(2.7.5))，有

令x=Cn·t得到

(3)

即

取α=1，注意到tα/2(n-1)=0，有

(4)

即

(i) 易知gn-1(x)>0且為偶函數，由公式(4)可證gn-1(x)是一概率密度函數；

(ii) 由公式(3)和上分位點的定義，Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數gn-1(x)的上側α/2分位點；

(iii) 由于t分布收斂到φ(x)，且當n→∞時，

3 兩個概率密度函數的比較

已知Cn·tα/2(n-1)與uα/2分別是概率密度函數gn-1(x)與φ(x)的上側α/2分位點，為此下面證明這兩個函數圖像在x正半軸只有一個交點.

命題2函數φ(x)與gn-1(x)在(0，+∞)上有唯一的交點.即存在K0，當x∈(0，K0)，φ(x)>gn-1(x)；當x∈(K0，+∞)時φ(x)

證原問題等價于方程φ(x)=gn-1(x)在(0，+∞)上有且僅有一個解.由對數函數的單調性，方程兩邊取對數化簡，也等價于函數

在x正半軸有唯一零點.

首先證明函數m(x)在x正半軸至多有一個零點.對函數m(x)求導

記

下面證明函數m(x)在x軸正半軸有且只有一個零點.論文中，前面已經有下面符號和結論

因為

(5)

注意到m(0)=0，因此m(x)在x正半軸有且只有一個零點，函數φ(x)與gn-1(x)在(0，+∞)上只有一個交點，記為K0.

最后，比較gn-1(x)與φ(x)在(0，+∞)上的大小關系.

由于gn-1(x)與φ(x)在(0，+∞)均單調遞減且在[0，+∞)上有且只有兩個交點:0和K0，由式(5)知當x∈(0，K0)時，φ(x)>gn-1(x);當x∈(K0，+∞)時，φ(x)

下面來證明定理1.

4 定理1的證明

概率密度函數gn-1(x)與φ(x)的累積分布函數分別記為Gn-1(x)與Φ(x)，兩者的概率密度函數圖像和累積分布函數圖像分別如圖1和圖2.

圖1 概率密度函數圖像 圖2 累積分布函數圖像

即

當x>0時，此時uα/2，Cn·tα/2(n-1)>0，Φ(x)>Gn-1(x)，根據概率分布函數的單調性，所以有uα/2

定理1的等價形式得到了證明，因此定理1成立，即L1

5 結 論

本文證明了正態總體在方差已知和未知兩種情況下，方差未知時的置信區間長度的期望要大.與直觀一致，當方差σ已知時，關于正態總體可以利用的信息更多，更有利于區間的準確估計；當方差σ未知時，隨著樣本量的增多，樣本中包含總體的信息增多，樣本方差更加趨近于總體方差，兩個置信區間估計精度的差別也越小.且當n→∞時，概率密度函數gn-1(x)趨于標準正態分布的概率密度函數，分位數Cn·tα/2(n-1)也將趨于uα/2.

另外，眾所周知t分布是小樣本分布，在n較小時與標準正態分布存在較大的區別，尤其是尾部概率要更大，tα/2(n-1)遠大于uα/2.本文中得出的概率密度函數gn-1(x)是一個有趣的分布，比t分布更接近于標準正態分布，可以替代t分布來對小樣本進行估計.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.