漸近正態隨機變量函數的極限分布

牛司麗， 劉玉曉

(1.同濟大學 數學科學學院，上海200092； 2.河南城建學院 數理學院，河南 平頂山467036)

1 引 言

概率論在實際問題中具有非常廣泛的應用，其中的中心極限定理更是概率論的杰出和經典工作，它為統計學的發展起著至關重要的作用. 這一理論結果的應用已廣泛滲透至工程技術、經濟金融、保險、醫學、以及目前大家關注的人工智能和大數據分析等各個領域.

我們知道，在對未知量作統計推斷時，常涉及到對其構造置信區間或作假設檢驗等，這必須利用相應估計量的分布. 在統計大樣本理論的研究中，更多是研究估計量的相合性和漸近正態性等，相比來講，研究漸近正態估計量函數的極限分布卻少很多，但在實際應用中，常遇到討論未知量函數的推斷問題，由此就需要在知道該未知量的估計具有漸近正態性之后，研究它的函數對應的極限分布. 因此，在隨機變量正態性應用的同時，漸近正態隨機變量函數的極限分布也是非常重要的，本文對漸近正態隨機變量函數的極限分布進行討論，獲得兩個一般性理論結果. 作為應用，選取幾個具體的函數，導出一系列漸近正態隨機變量，獲得一些耳目一新的結果，其中包括泊松隨機變量平方根的漸近正態性，以及隨機變量部分和在正則化常數是隨機變量情況下的漸近正態性.

2 主要結果

定理3設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，如果Var(Xn)=σ2<∞，則當n→∞時，

3 主要結果的證明

定理2的證明利用泰勒展開式，由假設當x→μ時，

定義

注意

則應用引理1，當n→∞時

以及

(iii) 令g(x)=ex，則g(x)是連續函數，并且對任意的μ，g′(μ)=eμ，于是應用定理1得到

4 結 論

本文對漸近正態隨機變量的函數，在定理1和定理2中分別建立兩個一般性極限分布結果. 從例1和例2能夠看到，利用建立的一般性結論能導出我們很少見到的一些耳目一新的結果. 另外，到目前為止，尚未看到涉及漸近正態自正則隨機變量函數漸近分布更一般性的結論，后續對此可作進一步的討論.

致謝作者感謝審稿人對本文提出的有價值的評論和修改建議.