積分因子的一種直接求解方法

韓偉棟， 沈建和

(福建師范大學 數學與信息學院，福州350007)

1 引 言

可積性是微分方程和動力系統領域古老而重要的研究課題.微分方程的可積性，可用于揭示動力系統的軌道族及其分類，與物理的能量守恒、幾何的等能量曲面和曲線等課題緊密相關.

積分因子和逆積分因子是可積性研究中的重要概念.歐拉曾試圖用積分因子完全解決一階常微分方程的求解問題[1].實際上，有關積分因子和逆積分因子的計算，至今仍是一個十分困難的問題.其原因眾所周知：積分因子和逆積分因子的控制方程為偏微分方程，難以求解.所以，有關積分因子和逆積分因子的計算，通常要么針對具有特殊結構的微分方程，要么是求某些特殊形式的積分因子和逆積分因子.Cairó和Llibre[2]針對二維Lotka-Volterra(多項式)系統

研究了該系統的多項式首次積分和多項式逆積分因子的存在和計算問題.文獻[3]針對形式如下的擬多項式常微分方程

研究了逆積分因子存在的充要條件，這里an(x)和bn(x)為連續可微函數.針對二維常微分方程組，文獻[4]考慮具有更高維數的常微分方程組，給出了用于確定積分因子的偏微分方程組.文獻[5-6]研究高階線性常系數微分方程，給出了基于積分因子的求解方法，并與通常的特征值解法比較.文獻[7]針對可分離變量的微分方程，分積分因子只與x或只與y有關兩種的情況，討論了積分因子的求解問題.

本文的目的是：通過有限次的變量替換并利用求導的鏈式法則，提出一種基于可分離變量微分方程的積分因子的直接求解方法.本方法的優點是：積分因子的求解，有直接計算的流程.具體而言，對于一階常微分方程，只要其可以經過有限次的變量變換化為可分離變量的微分方程，那么它的積分因子和通積分，均可直接計算求出.

本文結構安排如下：第一節為引言；第二節給出可積性、積分因子、逆積分因子和變量分離微分方程等基本概念；第三節是本文的主要結論及其證明；最后一節是本文的結論.

2 基本概念

考慮一階常微分方程

A(x，y)dx-B(x，y)dy=0，

(1)

或與之等價的二維向量場

(2)

定義1[9]稱方程(1)、(2)為可積，如果存在區域D?×上的連續可微函數H(x，y)使得

DH(x，y)=Hx(x，y)B(x，y)+Hy(x，y)A(x，y)=0，

并稱H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

定義2[9]考慮區域D?×上的連續可微函數U(x，y)和H(x，y)，使得

DH(x，y)=U(x，y)A(x，y)dx-U(x，y)B(x，y)dy，

則稱U(x，y)為積分因子，H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

顯然，積分因子U(x，y)滿足如下偏微分方程：

(U(x，y)B(x，y))x=-(U(x，y)A(x，y))y，

即

U(Ay+Bx)+UyA+UxB=0.

定義3[8]考慮區域D?×上的連續可微函數V(x，y)(非零)和H(x，y)，使得

則稱V(x，y)為逆積分因子，H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

顯然，逆積分因子V(x，y)滿足如下偏微分方程：

V-1(Bx+Ay)=VxB+VyA.

定義4[9]形如

(3)

這里，f(x)和φ(y)分別是x和y的連續函數，稱方程(3)為變量分離方程.

3 主要結果

定理1變量分離方程必然是恰當方程.

定理2若一階常微分方程(1)可經非線性變量替換u=T(x，y)，化為變量分離方程

f(x)dx+g(u)du=0，

那么，積分因子U(x，y)可由下式確定

(4)

進而通積分同樣可得.

證乘上非零的積分因子U(x，y)后，一階常微分方程(1)變為

U(x，y)A(x，y)dx-U(x，y)B(x，y)dy=0，

(5)

此時，方程(5)已為恰當方程.

設引入如下的變量替換

u=T(x，y)，

(6)

將方程(1)化為變量分離微分方程

f(x)dx+g(u)du=0.

(7)

記方程(5)和(7)的首次積分(通積分)分別為H(x，y)和H(x，u)，那么有

Hy(x，y)=-U(x，y)B(x，y)，Hu(x，u)=g(u).

進一步地，利用求導的鏈式法則有

Hy(x，y)=Hu(x，u)uy|u=T(x，y)，

從而根據下式

可以求出積分因子U(x，y)，證畢.

注1 定理2的結果及其證明，均只涉及一次的變量替換；實際上，有限次的變量替換同樣可得.

例1設函數f(u)和g(u)連續可微且f(u)≠g(u)，證明方程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

(8)

有積分因子

證由定理2，記積分因子為U(x，y)，那么

yU(x，y)f(xy)dx+xU(x，y)g(xy)dy=0

已為恰當方程.

令u=T(x，y)=xy，在該變換之下，方程(8)可以化為

根據定理2的公式(4)知

即可得積分因子

例2當xM+yN≠0時，求齊次微分方程M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的積分因子U(x，y).

證記積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x，y)dx+U(x，y)N(x，y)dy=0

已為恰當方程.

另一方面，因為

令

則原方程可以化為

即

從而

根據定理2的公式(4)知

從而積分因子可直接計算得

例3如果M，N是m次齊次函數，則方程M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的積分因子為

證記積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x，y)dx+U(x，y)N(x，y)dy=0

已為恰當方程.

令

從而，原方程化為

M(x，ux)dx+N(x，ux)[udx+xdu]=[xmM(1，u)+uxmN(1，u)]dx+xm+1N(1，u)du=0.

兩邊同乘上

則方程可進一步轉化為變量分離方程

因此

進而如下的積分因子可得

例4求解方程M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0的積分因子U(x，y).

解設積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x)N(y)dx+U(x，y)P(x)Q(y)dy=0

已為恰當方程.

另一方面，原方程可以化為

可得其通解

進而

從而積分因子為

例5求解方程x2y3dx+x4y3dy=0的積分因子U(x，y).

解設積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)x2y3dx+U(x，y)x4y3dy=0

已為恰當方程.

另一方面，令u=xy，從而原方程化為

此時，上述方程的通積分為

根據定理2的公式(4)知

從而積分因子為

4 結 論

(i) 本文針對一階常微分方程，只要其通過有限次的變量替換可化為變量分離微分方程，筆者的方法均可以直接計算出積分因子，進而計算得到首次積分(通積分)；

(ii) 本文的方法，可以部分解決既跟x有關、又跟y有關的積分因子的求解問題(只要方程可通過有限次變量替換，化為變量分離微分方程)；

(iii) 最后指出的是：本文的方法具有可以直接計算的屬性，非大量文獻中的驗證性的結果.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.