高階Lagrange中值定理“中值點”的漸近性

苑倩倩， 路振國， 任立順

(1.信陽學院 數學與統計學院，河南 信陽464000； 2.信陽師范學院 教務處，河南 信陽464000；3.周口師范學院 數學與統計學院，河南 周口466000)

1 引 言

自1982年B. Jacabson[1]和A. G. Azpeitia[2]提出積分中值定理及Taylor公式“中值點”的漸近性以來，許多數學工作者開始研究各種微積分中值定理“中值點”的漸近性，相繼有許多研究成果.如文獻[3-8]討論了積分中值定理“中值點”的漸近性，其中張寶林[3]推廣了B. Jacabson[1]的結論，得到了積分第一中值定理“中值點”ξx必滿足：

楊彩萍等在文獻[5]中得到了推廣的積分第一中值定理“中值點”ξx必滿足：

文獻[9-20]討論了各種微分中值定理“中值點”的漸近性，其中李元中、馮漢橋在文獻[9]中得到了關于高階Larange中值定理“中值點”的漸近性，“中值點”ξ滿足：

李治遠在文獻[19]中討論了幾類初等函數的拉格朗日中值定理中值點的確定方法，并給出了從低階到高階可導函數的拉格朗日中值點的漸近性.這些對高階中值公式“中值點”的漸近性研究中，f(n+1)(a)≠0是定理成立的關鍵性條件，當f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時，至今沒有見到更好的結果.本文將借助Stirling數這個工具，從

(i)f(n+1)(a)不存在；

(ii)f(n+i)(a)=0(i=1，2，3，…，m-n-1)，而f(m)(a)不存在，

兩個方面來討論高階Lagrange中值定理“中值點”的漸近性.

2 幾個引理

引理1設f(x)在點a的某鄰域內n階可導，記

若存在0<α<1， 使得

f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α，

進而

f(x)=Pn(x)+l(x-a)n+α+o((x-a)n+α)=Pn(x)+(l+o(1))(x-a)n+α，

因f(x)在點a的某鄰域內有n階連續導數，則g(x)(x-a)n+α在點a的該鄰域內也有n階連續導數，且(g(x)(x-a)n+α)(n)=f(n)(x)-f(n)(a).下證

因為

即

所以

引理2[21]?m，n∈+，有

其中S(m，n)稱為Stirling數.

引理3設

則?α>1，有

S(α，n)=S(α-1，n-1)+nS(α-1，n)，

且S(α，1)=1，S(α，0)=0.

證?α>1，

S(α-1，n-1)+nS(α-1，n)

=S(α，n).

引理4[22](Lagrange高階微分中值定理) 設f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內具有n階連續導數，則?x∈U(x0)，存在ξ∈U(x0)，使得

(1)

3 主要結果

定理1設f∶[a，b]→具有n階連續導數，f(n+1)(a)不存在，若存在0<α<1，使得

證因為

由引理1知:存在函數g(x)，使得

f(x)=Pn(x)+g(x)(x-a)n+α，

(2)

又因為

f(n)(x)=f(n)(a)+(g(x)(x-a)n+α)(n)，

所以

(3)

由引理2知

所以(2)式變為

(4)

由引理4的(1)式知，(3)與(4)相等.即

(5)

因為x→a+時，ξ→a+，所以，(5)式兩邊當x→a+時，利用引理1得

(6)

定理2設f∶[a，b]→R具有n+k階連續導數，且f(n+i)(a)=0(i=1，2，…，k)，f(n+k+1)(a)不存在.若存在0<α<1，使得

則?x∈(a，b)，存在滿足引理4的ξ∈(a，x)， 使得

證由引理1可得，f(x)在點a處n階Taylor展式為

(7)

將f(n)(x)及(7)式代入引理4中的(1)式，并利用引理2得

(8)

(9)

由(8)式及(9)式得

(10)

因ξ∈(a，x)，所以x→a+時，有ξ→a+， (10)式兩邊當x→a+時，有

由文獻[13]知

所以

(11)

推論1設f在[a，b]上連續，在點a處不可導，若存在0<α<1，使得

(12)

推論2設f∶[a，b]→具有n+k階連續導數，f(n+k+1)(a)不存在，若存在0<α<1，使得

則對任意x∈(a，b)，n階Taylor中值點ηx∈(a，x)滿足

證由定理2的證明知

推論3設f在點a具有m-1階導數，且f(i)(a)=0(i=1，2…，m-1)，f(m)(a)不存在.如果存在0<α<1，使得

注 (i) 推論1是文獻[3]結論的推廣，是文獻[4]當g(x)=1時的結論.

(ii) 推論2是文獻[13]定理1的結果.

下面結合一個具體的例子來驗證文中結論的正確性.

由定理1知

所以中值點的的漸近估計式為

(13)

所以中值點的的漸近估計式為

(14)

接下來，利用Lagrange高階微分中值公式來檢驗定理的正確性.

由于

當n=2時，利用Lagrange高階微分中值公式(1)， 得

即

(15)

此時(14)式中的中值點ξ的漸近估計式滿足(15)式.

當n=3時，利用Lagrange高階微分中值公式(1)， 得

即

(16)

此時(13)式中的中值點ξ的漸近估計式滿足(16)式.定理1及定理2結論的正確性得以驗證.

4 結 論

本文在已有的關于高階Lagrange中值定理“中值點”漸近性研究的基礎之上，利用Stirling數研究了當f(n+1)(a)=0或f(n+1)(a)不存在時，高階Lagrange微分中值定理的“中值點”的漸近性，并給出了漸近性估計式.與利用Lagrange高階微分中值公式求解相比，本文中給出的求解方法更簡便.

致謝在此對相關參考文獻給予本文的啟發與思考，以及審稿人給出的寶貴建議表示衷心的感謝！