有關微分中值定理的一個推廣

葉 專， 溫志紅， 倪 健

(江蘇師范大學 數學與統計學院， 徐州221116)

1 引 言

微分中值定理主要由拉格朗日中值定理、羅爾中值定理以及柯西中值定理三部分組成， 是數學領域中重要的研究內容之一， 在初等數學和高等數學中有著廣泛的應用.許多學者對微分中值定理進行了不同方向諸多推廣[1-5]，最近王艷萍老師將拉格朗日中值定理結論中的“減法”進行推廣， 通過加以新的特殊限制條件， 得到了新的中值定理的“加法”表現形式[4]：

若函數f(x)滿足如下條件： (i) 在[m，M]上連續，(ii) 在(m，M)內可導，(iii)f(0)=0，則必定存在一點ξ∈(m，M)，使得

f(a)+f(b)=f′(ξ)(a+b)，

其中m=min(0，a，b)，M=max(0，a，b)，m

2 主要結果

受到如上定理的啟發，能不能對微分中值定理也加以新的限制條件從而得到新的微分中值定理，本文對此進行了深入研究并由此得到了微分中值定理的高次冪推廣，主要結論如下：

定理若函數f(x)滿足如下三個條件：(i)f(x)在[a，b]上連續，(ii)f(x)在(a，b)內可導，(iii)f(0)=0，0∈(a，b)，則對任意的正偶數k，在(a，b)內必定存在一點ξ，使得

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

證注意到條件(iii)，易得

根據經典的拉格朗日中值定理可得

f(a)-f(0)=f′(ξ1)a，ξ1∈(a，b)，
f(b)-f(0)=f′(ξ2)a，ξ2∈(a，b).

于是

由定比分點模型和導函數的介值性可知，在(a，b)內必定存在一點ξ，使得

f′k(ξ1)λ+f′k(ξ2)(1-λ)=f′k(ξ)，

從而有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

本定理得證.

下面給一個例子來驗證結論的正確性.事實上，比如函數f(x)=ex-1滿足：在區間[a，b]上連續，在(a，b)內可導，并且f(0)=0，0∈(a，b).記

則ξ∈(a，b)，并且有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

不難驗證如上等式成立，從而只需要驗證ξ∈(a，b).事實上，由經典的拉格朗日中值定理知

于是有ξ=η∈(a，b).

3 應 用

本節給出兩個有關上述定理的直接應用.

例1證明對任意的正偶數k，有

證注意到f(x)=x2滿足：f(x)在[-1，2]上連續，在(-1，2)內可導，并且f(0)=0，0∈(-1，2).故根據上述定理知在(-1，2)上必定存在一點η使得

fk(-1)+fk(2)=f′k(η)(1+2k)，

即有

1+4k=(2η)k(1+2k).

簡單計算可得

注意到η∈(-1，2)知結論成立.

例2對于μ>0，ν>0以及正偶數k，求如下極限

解注意到f(x)=esinx+arcsinx-cosx+x滿足：f(x)在[-μτ，ντ]上連續(其中正數τ充分小)，在(-μτ，ντ)內可導，并且f(0)=0，0∈(-μτ，ντ).故根據上述定理知在η∈(-μτ，ντ)使得

fk(-μτ)+fk(ντ)=f′k(η)[(-μτ)k+(ντ)k].

(1)

注意到

將其代入到(1)式，注意到k為正偶數，不難得到

[e-sin(μτ)-arcsin(μτ)-cos(μτ)-μτ]k+[esin(ντ)+arcsin(ντ)-cos(ντ)+ντ]k

對上式左、右兩端同時除以τk可得

因為η∈(-μτ，ντ)，所以當τ→0+時，有η→0.于是有

=3(νk+μk).

從而有

4 結 論

微分中值定理不同形式的推廣，在理論分析和實際應用中都具有重要作用.文中對已有微分中值定理結論中的“減法”進行推廣，通過加以新的特殊限制條件， 得到了高次冪形式的微分中值定理的“加法”表現形式的推廣結果，并給出了嚴格的證明和應用舉例，從而進一步完善和豐富了微分中值定理的相關內容.

致謝作者非常感謝相關參考文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴修改意見.