隨機變量和的特征函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

吳雄韜， 史莉娟， 王朝霞

(衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 湖南 衡陽421002)

1 引 言

特征函數(shù)是研究隨機變量序列收斂問題的重要工具，大多數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中，給出了獨立情形下特征函數(shù)的基本性質(zhì)[1].作者在2012年研究得到了非獨立情況下二維隨機變量特征函數(shù)與原點矩的關(guān)系[2]，構(gòu)造了二階組合數(shù)向量和二階混合原點矩向量，建立了二階組合數(shù)向量和二階混合原點矩向量與二維隨機變量和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

本文將在文獻[2]研究的基礎(chǔ)上建立隨機變量和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)與隨機變量協(xié)方差矩陣的關(guān)系，并結(jié)合文獻[3]的研究方法，得到了隨機變量和的特征函數(shù)在等相關(guān)同分布和獨立同分布情形下兩個推論，證明了等相關(guān)同分布隨機變量序列和的特征函數(shù)在t=0處的二階導(dǎo)數(shù)的極限結(jié)果.

2 隨機變量和的特征函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1隨機變量X1，X2，…，Xn，其和的分布的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)存在.協(xié)方差矩陣

A=(akm)n×n=Cov(Xk，Xm)，k，m=1，2，…，n，

φ″(0)∑A*=0.

證本文僅考慮隨機變量X1，X2，…，Xn為連續(xù)型情形，隨機變量其它類型情形可類似處理.

設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1，x2，…，xn)，則和的分布的特征函數(shù)為φ(t)，

由φ(t)二階可導(dǎo)，則

=-∑A-∑μ*=-∑A*，

由此得

φ″(0)∑A*=0.

推論2隨機變量X1，X2，…，Xn等相關(guān)同分布，其和的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階可導(dǎo)，

E(Xk)=μ， Var(Xk)=σ2， corr(Xk，Xm)=ρ(k≠m=1，2，…，n)，

其中i為虛數(shù)單位，i2=-1，則

證設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn協(xié)方差矩陣為A，依題意得

設(shè)

則

∑A*=nσ2+n2μ2+n(n-1)ρ2，

由性質(zhì)1知

φ″(0)-n[σ2+nμ2+(n-1)ρ2]，

得

推論3隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布，其和的特征函數(shù)φ(t)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)存在，

E(Xk)=μ， Var(Xk)=σ2(k=1，2，…，n)，

其中i為虛數(shù)單位，即i2=-1，則

3 例子與應(yīng)用

解依題設(shè)易知

E(X)=0, Var(X)=1， E(X2)=Var(X)+E2(X)=1，

同理

E(Y)=0， Var(Y)=1， E(Y2)=Var(Y)+E2(Y)=1，

且

從而得φ″(0)∑A*=(-3)+3=0，結(jié)論成立.

例2等相關(guān)同分布隨機變量序列X1，X2，…，Xk，…，前n項和的特征函數(shù)φn(t)在原點二階可導(dǎo)，

E(Xk)=μ, Var(Xk)=σ2， corr(Xk，Xm)=ρ(k≠m=1，2，…，n，…)，

其中i為虛數(shù)單位，即i2=-1，則

4 結(jié) 論

本研究主要運用特征函數(shù)定義與性質(zhì)研究得到了關(guān)于隨機變量和的特征函數(shù)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)與協(xié)方差矩陣之間關(guān)系，給出了性質(zhì)的兩個推論，證明了等相關(guān)同分布序列和的特征函數(shù)在t=0處二階導(dǎo)數(shù)的極限問題.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.