一類無窮級數和的概率方法求解

舒洪銘 許昌林

【摘要】本文是針對一類收斂無窮級數的求和問題的.本文通過構造適當的概率模型，將無窮級數的求和問題轉化本文隨機事件求概率的問題，最終利用相關概率知識，解決了無窮級數的求和問題，這為無窮級數的求和問題提供了一種新思路.

【關鍵詞】無窮級數;求和;極限;概率模型

【基金項目】寧夏自然科學基金項目（2020AAC03217），國家級大學生創新創業訓練計劃項目（S2020-11407-027G），北方民族大學統計學特色專業資助

一、引言

目前，對無窮級數收斂性的判斷以及求和的方法有很多，如定義法、函數項級數以及冪級數等方法.除了這些收斂級數求和方法之外，通過構造適當的概率模型對一些復雜無窮收斂級數進行求和也是一種方法.為此，本文針對具體收斂的正項級數，通過構造適當的概率模型以及運用相關概率知識對其進行求和，并將這種方法推廣至更一般的正項級數求和問題中，由此解決了復雜級數的求和問題，為無窮級數的求和提供了一種新的求解方法.

二、無窮級數和的概率方法求解

對于下列無窮級數

S=1-12×13+1-12×1-13×14+…+1-12×1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+… （1）

的求和問題，根據正項級數收斂的判定準則，可以判定上述（1）式的級數是收斂的.為了利用適當的概率方法求出該級數的和，首先將（1）式轉化為

S=1-12S1，（2）

其中，S1=13+1-13×14+…+1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+….

下面通過構造適當的概率模型求解級數S1的和.

概率論模型一： 設一個裝置中放有1個白色、2個黑色共3個大小、形狀、質量均相同的小球，現從裝置中每次有放回地隨機摸取1個小球.若取到白球，則試驗成功，停止試驗;若取到黑球，則把取出的黑球放回的同時，再向該裝置中加入1個黑球，重復上述摸球操作.求試驗成功的概率.

四、總結

本文主要通過構造適當的概率模型，針對一類無窮級數求和問題給出了概率求解方法，這為無窮級數的求和問題提供了一種新的思路.除此之外，將概率方法應用到其他領域（如重積分的求解等）將是我們進一步的研究方向.

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