如何利用零點情況求解參數值或取值范圍

莊靜

【摘要】零點現象是高中數學中獨樹一幟的情況，“根據函數零點的情況，討論參數的范圍”是當代高考對考生的考查重點之一.零點同時聯系了不等式、函數、方程等不同模塊的知識內容，靈活運用這些知識往往容易成為解答零點問題的關鍵.通過對一定數量例題的分析總結我們不難發(fā)現，零點現象常常和參數求解問題同時存在.對于如何利用零點情況求解參數的具體值或取值范圍，我們不妨從這三種不同角度，即數形結合、方程思想與導數性質出發(fā)思考并解題，這不僅可以提升同學們的解題能力，還可以以此培養(yǎng)同學們的綜合素養(yǎng).

【關鍵詞】參數范圍;零點情況;數形結合;方程思想;導數

一、解題思路

函數的零點求解中的點，本質上是函數圖像與橫軸交點的橫坐標，但在實際數學應用中，橫坐標的這種“跨界性”更具探究意義，因此函數的零點就簡化為用橫坐標來進行零點的表述.關于函數的零點，常見的問題設計有：連續(xù)函數零點存在性的確立;連續(xù)函數零點個數的判斷;用二分法求函數零點的近似值等.由于函數零點與方程根的關系，問題的解決途徑也可以轉化為方程形式.近兩年高考試題中函數零點的相關問題展現出數學中的劃歸思想、數形結合思想，以及導數解題思想，我們可以從中感受到數學思想方法的魅力.

二、數形結合求解

數形結合與“零點”的結合，可謂是“錦上添花”的組合，主要過程是將已知方程一分為二轉化為y=g（x）和y=h（x），以這兩個函數所對應圖像的交點來體現方程根的情況，進而結合圖像求解題干中未知參數的具體值.對問題中的方程“一分為二”時，要注意等號兩邊應是容易畫出圖像的函數解析式，作圖時要充分利用函數的單調性、奇偶性等性質，還要在圖中標注每個函數圖像的最高點、最低點等一些特殊點.

例1 已知函數f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1，若關于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有兩個不同的實數解，則a的取值范圍為.

思考 利用數形結合求解零點問題時，首先解讀問題中的已知條件，把方程恰好有兩個實數解轉化為y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函數圖像在x的取值范圍內有兩個交點進行求解，隨后在同一個直角坐標系中畫出y=f（x）和y=-14x+a分別對應的圖像，最后應對y=-14x+a圖像進行上下平移和分析，當兩個函數圖像有兩個交點時，確定對應y的取值范圍，這樣才能求出函數中未知數a的取值范圍.由于已知f（x）是分段函數，因此同學們在作圖時應注意對應函數區(qū)間端點的取值，避免在后面解題的過程中出現錯誤的判斷.

解 由題意可得，關于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有兩個不同的實數解可轉化為y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函數圖像有兩個不同的交點.

在同一個直角坐標系中分別作出f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1和y=-14x+a（a∈R）的函數圖像，如圖所示.

當一次函數y=-14x+a（a∈R）的圖像經過分段函數f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1圖像中的一個頂點（1，2）時，可以得出a=94;當直線y=-14x+a（a∈R）經過分段函數f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1的另一個頂點（1，1）時，可以得出a=54.

由圖像易知，當a∈54，94時，分段函數y=f（x）和一次函數y=-14x+a圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不同的實數解;

當直線y=-14x+a（a∈R）與反比例函數y=1x，x>1的圖像相切時，方程1x=-14x+a只有一個實數解，即ax-14x2-1=0，Δ=a2-1=0，解得a=1或a=-1（舍去），此時方程f（x）=-14x+a有兩個不同實數解.其他情況均不滿足題意.

綜上所述，a的取值范圍為54，94∪{1}.

三、方程思想求解

函數中有關零點的求參數取值范圍的問題的求解方式，不僅可以從函數圖像方面以數形結合的思路考慮，利用函數圖像之間的交點來進行分析解答，還可以從方程求解方面找到問題之間的聯系進行進一步求解.方程思想的運用，具體是指把求解零點數值的問題轉化為求解方程得到實數根的問題，借助方程實數根的解題思路以及相關的知識點列出含有參數的等式或不等式，進而進行分析求得題中所需的具體答案.借助方程實數根的解題思路對零點問題進行求解恰恰與數形結合的解題思路相反，如果說數形結合運用的是“一分為二”的解題方法，那么方程思想這種 “合二為一”的解法也能夠有效解答零點參數求值范圍的問題.

例2 已知c≠0，函數f（x）=-cx2+cx，g（x）=x3-cx2+cx，如果函數f（x）與函數g（f（x））有相同的零點，則c的取值范圍是.

思考 利用方程思想進行零點參數取值范圍的解題時，首先對問題中的函數f（x）進行分析整理，易知函數f（x）的零點為x1=1，x2=0，根據問題中對函數有零點的要求，先令g（f（x））=0可得到f（x）=0或f2（x）-cf（x）+c=0，但x1=1，x2=0明顯不是方程f2（x）-cf（x）+c=0的解，在這個條件下函數f（x）與函數g（f（x））有相同的零點的設想是無法成立的，因此函數f（x）與函數g（f（x））有相同的零點這個結論成立的充要條件是方程f2（x）-cf（x）+c=0無實數根，隨后對方程f2（x）-cf（x）+c=0進行綜合分析，便能求得參數c的取值范圍.

解 令f（x）=0，解得x1=1，x2=0.

令-x2+x=t，t∈-∞，14，將題干中的函數進行換元以及代入.

∴f（x）=ct，g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t.

解方程g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t=0，可得t=0或ct2-ct+1=0.

當t=0時，求得x=1或x=0;

當ct2-ct+1=0時，∵c≠0，∴t2-t+1c=0，∵t=0不是該方程的解，∴t2-t+1c=0在t∈-∞，14內無解，即t=14時t2-t+1c>0，可求得0

綜上所述，c的取值范圍是0，163.

四、導數性質求解

零點情況與導數往往有著密切的聯系，在導數中零點和函數的極值更能畫上等號，利用導數中的零點情況求解參數具體值或取值范圍，也是同學們經常能見到的一種解題思路.運用導數性質進行解題，實際是通過對函數解析式進行求導，憑借導數討論并分析已知區(qū)間內函數的單調性，判斷求導函數與x軸是否有交點，以此求得參數的具體值或取值范圍.解題時可能會對函數多次求導，同學們還需要注意區(qū)分每一次求導的解析式和意義，避免出現混淆導致答案錯誤.

例3 已知函數f（x）=aln x+2x-ex-1x2（a∈R，a為常數）在（0，2）內有兩個極值點x1和x2，且x1

思考 先對題中所求的問題進行分析解讀與整理，可以把函數f（x）在（0，2）內有兩個極值點轉化成f′（x）在（0，2）內有兩個零點的問題進行求解，其次還需要對f′（x）進行求導得到f″（x），對a的值進行分類討論，求得對應的f″（x）值和f′（x）的單調性，綜合判斷求出f（x）滿足（0，2）內有兩個極值點條件的參數取值范圍即可.

解 對f（x）求導可得，f′（x）=a1x-2x2-ex-1（x-2）x3=（ex-1-ax）（2-x）x3，x>0，

記ex-1-ax=h（x），x>0，由題意可得，h（x）在（0，2）上存在2個零點.

∵h′（x）=ex-1-a，∴當a≤1e時，h′（x）>0，h（x）在（0，2）上單調遞增，至多有1個零點，不符合題意，

當a>1e時，令h′（x）=0，得x=1+ln a.

①當1+ln a<2且h（2）>0，即1e

當1e

當10，且當x靠近0時，h（x）趨近于1e>0.從而h（x）在（0，1+ln a）和（1+ln a，2）上各有一個零點，

∴h（x）在0，2上存在2個零點.

②當1+ln a<2且h（2）≤0，即e2≤a

③當1+ln a≥2，即a≥e時，h（x）在（0，2）上單調遞減，h（x）至多有1個零點，不符合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍是1，e2.

總之，零點情況在不同知識模塊中有著不同的表達意義，利用不同情況下的零點意義可以高效解答參數相關問題：在函數圖像中可以用兩個函數圖像交點表示;在方程中針對實數根進行等價轉換;在導數中也可以是極值意義.這些零點情況的表達方式，恰恰證明了零點現象的重要性，也在提醒同學們應該重視零點現象的靈活運用，以此提高思維能力和解題效率.對于函數零點題目求解而言，解題思路隨著題型的不同運用的解題技巧也是有所差別的，不同類型的零點問題，其方法也不盡相同，甚至會不僅僅運用其中一種方法進行求解，也有時不一定有解.在具體的解題過程中，應根據題干所給出的條件，對解題方法進行科學的選取，以保證解題結果的正確性，這對學生在解題中的思維靈活性以及數學知識的掌握程度都有一定要求.

總 結

高中階段對函數零點的考查主要集中在這兩個方面：一是結合函數零點的存在性，運用函數定理以及函數圖像，對函數是否存在零點以及零點的個數進行判斷，進而判斷零點所在的區(qū)間，即零點的取值范圍;二是利用零點（方程實根）的存在求相關參數的值以及取值范圍.函數與導數相結合是數形結合、方程思想、導數求值這三種解題思路中較難的.學生應理解函數的零點、方程的根、函數圖像與直角坐標系中x軸有交點的等價性質，掌握零點的存在性定理.教師要注重培養(yǎng)學生函數與方程思想、數形結合思想以及等價轉換思想的應用意識，使其在零點問題的解題過程中能夠靈活運用.

【參考文獻】

[1]桑園.利用函數零點求參數的取值范圍[J].河北理科教學研究，2019（02）：31-32.

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