初中幾何動點問題解題策略

徐曉丹

【摘要】幾何動點問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，這一類問題通常需要學(xué)生畫出運動過程中某一時刻或某段時間上的圖形，比較抽象，是學(xué)生難以把握的問題之一.這類問題的解決策略是將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，尋找問題中的不變量，把抽象問題具體化，教師需引導(dǎo)學(xué)生探索變化后的圖形特征.解決幾何動點問題的關(guān)鍵在于確定動點運動過程中的圖形，用運動的觀點看問題，定格到靜止狀態(tài)解決問題，動靜結(jié)合.

【關(guān)鍵詞】幾何動點;數(shù)學(xué)思想方法;界點;轉(zhuǎn)化

“幾何動點問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，通過點帶動圖形的運動，從而探究圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等.這類問題把觀察、操作、探究、計算融合在一起，蘊含著函數(shù)、方程、分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.中考中對這類問題的考查，可以很好地鍛煉學(xué)生的探究能力，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識.

一、幾何動點問題常見的考查方式及解決方法

1.求動點運動過程中隨時間變化的線段長.解決這類問題常利用勾股定理、面積橋、三角函數(shù)或相似.

2.當動點落在某條邊上或兩點重合時，求動點運動時間.此時可以利用新構(gòu)成的特殊幾何圖形，如：直角三角形、等腰三角形、平行四邊形等，找到特殊幾何圖形各邊之間的聯(lián)系，從而求解.

3.求多邊形面積或重疊部分面積或周長的函數(shù)關(guān)系式.解決的關(guān)鍵在于找到界點正確分類，直接利用圖形面積公式或圖形間作差、作和表示函數(shù)關(guān)系式.

4.求動點在特殊位置上的運動時間，如某個動點落在三角形的角平分線上，三角形一邊的垂直平分線上，三角形的一條中線上，等等.或者是線段把某多邊形面積分成特定比時的運動時間.這類問題的解決通常要利用三角函數(shù)或構(gòu)造相似.學(xué)生解決這類問題時覺得很困難，這就要用到轉(zhuǎn)化的思想方法，把特殊位置時的線段關(guān)系找到，轉(zhuǎn)化成線段的比來列方程求解.

5.求點的運動軌跡長度或線段運動過程中掃過的圖形面積.解決的方法是找到運動開始和終止時的圖形，再結(jié)合中間的運動趨勢來判斷軌跡或掃過圖形的形狀，最后計算.常見的軌跡有以下幾種：（1）動點到定直線距離保持不變，軌跡是一條直線;（2）動點到定點的距離保持不變，軌跡是圓弧;（3）動點到定點鉛直距離與水平距離的比保持不變，軌跡是一條直線.

下面以2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題為例來說明如何解決幾何動點軌跡問題，此題分值為10分.

例 （2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題）如圖1，在△ABC中，∠ABC =90°，AB=4，BC=3.點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動.點P到達點C時，點P，D同時停止運動.當點P不與點A，C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連接PQ，交AC于點E，連接DP，DQ.設(shè)點P運動的時間為t秒.

（1）當點P與點B重合時，求t的值.

（2）用含t的代數(shù)式表示線段CE的長.

（3）當△PDQ為銳角三角形時，求t的取值范圍.

（4）如圖2，取PD的中點M，連接QM，當直線QM與△ABC的一條直角邊平行時，直接寫出t的值.

試題整體分析 這道幾何動點問題的圖形背景是邊長為3，4，5的直角三角形，屬于雙動點問題，點P的運動路徑是折線段AB-BC，點D的運動路徑是AC上的部分線段.由“兩點同時出發(fā)，當點P到達點C時，點P，D同時停止運動”可知運動終止時間為75秒.由“當點P不與點A，C重合時”可知運動時間不能取0和75.試題前面兩問比較基礎(chǔ)，但第（2）問由于點P改變路徑產(chǎn)生了分類討論的需要.試題最后兩問引入了圖形變換——軸對稱，增加了思維含量.第（3）問要將“銳角三角形”轉(zhuǎn)化成“直角三角形”尋找界點.第（4）問“當直線QM與△ABC的一條直角邊平行時”，由平行可構(gòu)造相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例轉(zhuǎn)化成線段的比求解.

下面是本題的正確解答過程：

解 （1）當點P與點B重合時，AP=AB，5t=4，解得t=45.

（分析：兩點重合問題，可以轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題解決.）

（2）當0

當45

（分析：用含變量t的式子表示線段長，需要用到分類的數(shù)學(xué)思想.當動點的運動路徑發(fā)生變化或者點與點、點與線之間的相對位置發(fā)生變化時，都需要分類討論.表示線段長時通常用三角函數(shù).）

（3）當△PDQ是等腰直角三角形時，PE=DE，

當P在線段AB上時，3t=5-6t，∴t=59.（如圖4）

當P在線段BC上時，285-4t=5t-215，∴t=4945.（如圖5）

∵△PDQ是銳角三角形，

∴t的取值范圍為0

（分析：考查銳角三角形、鈍角三角形的問題都可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，這是因為直角是銳角和鈍角的臨界狀態(tài).又根據(jù)軸對稱可知△PDQ是等腰三角形，所以能判斷出△PDQ是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題.）

（3）t的值為518或65.

思路 當QM與AB平行時（如圖6），AD=4AE，∴5-2t=4×4t，

∴t=518;

當QM與BC平行時（如圖7），CD=4CE，∴2t=4×35（7-5t），∴t=65.

（分析：由平行的條件容易得到全等和相似的結(jié)論，從而得到線段的比例關(guān)系，列方程時通常要選擇運動路徑上的線段關(guān)系，這里選擇的都是線段AC上的線段的比.）

二、解決幾何動點問題時，學(xué)生存在的問題

1.不重視畫圖.

2.找不到界點，不能正確分類.

3.忽視對界點是否包含的判斷.

4.求解析式過程中計算不準確.

5.不知道轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化不徹底.

6.易列出恒等式.

三、針對學(xué)生存在的問題，教師在平時教學(xué)中可采用以下策略

（一）教會學(xué)生畫圖.明確背景圖形和運動圖形，在操作時建議：

①背景圖形用中性筆畫，運動圖形用鉛筆畫，便于修正;

②不同時刻的圖形有干擾時，一種情況畫一個圖形;

③分清主動點和從動點，并判斷它們運動的趨勢，必要時要知道從動點軌跡;

④按照圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系準確畫圖，落在某些特殊位置時，可逆序畫圖.

（二）準確找到界點分類.

①兩點之間的相對位置有變化時，兩點重合為界點.

②動點運動路徑有轉(zhuǎn)折時，路徑的交點為界點.

③點穿過圖形邊界時，落在邊界上的點為界點.

④線段穿過圖形邊界時，線段重疊時為界點.

（三）重視對界點是否包含的判斷，每次遇到界點，都要單獨拿出來判斷并確認.

①重新審題，看題干中是否有條件限制，如點P不與A，C重合或S>0等條件.

②界點處圖形是否變化.

③明確關(guān)鍵詞含義，如內(nèi)部（不包含邊界）.

（五）轉(zhuǎn)化的應(yīng)用.

①所有面積的比都可以轉(zhuǎn)化成線段的比.

②特殊位置上的點產(chǎn)生相等線段.

③構(gòu)造相似得成比例線段，一般優(yōu)先選擇運動路徑上的線段.

（六）避免列恒等式.

列方程時需要把握一個原則：同一個等量關(guān)系不能既用來表示線段長，又用來列方程.

四、結(jié)束語

總之，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決動點問題時，要引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、分析、概括、推理，準確畫圖，從中找出隱含的不變量和變量關(guān)系，把握運動中的某些界點位置和特殊位置，進而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，使問題有效解決.

【參考文獻】

[1] 蔣亨強，初中數(shù)學(xué)動點路徑長的問題解決策略[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2017（05）：50-51.

[2] 吳曉峰 ，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中動點問題的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（08）：141.