關于三角函數恒等變換及三角函數最值求解的思路分析

季克程

【摘要】三角函數定理的推導公式有很多，且關于三角函數的題型更是層出不窮，那么在解三角函數恒等變換及求解三角函數最值的問題時，最重要的就是正確地把握住解題的方向，有目的地對三角函數進行變換，從而優化求解過程.本文將對三角函數恒等變換及三角函數最值問題等題型進行分析.

【關鍵詞】三角函數;恒等變換;最值問題

一、三角函數恒等變換題型解題思路

公式法直接求解、三角結構變換、消元變換等，都是解決三角函數恒等變換過程中的重要思想方法，相比利用三角函數的公式和定理解題而言，更為抽象一些.

1.1 公式法

運用公式解題是三角函數中最簡單，也是最直接的一種解題思路，然而很多時候我們都無法直接運用公式進行三角函數的恒等變換，那么我們就要靈活地逆用三角函數公式，將題目有效化簡.這就要求同學們對三角函數的公式十分熟悉，并且有運用和逆用三角函數公式的意識.

例1 求（3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）的值.

分析 在求題目中三角函數的值時，首先，我們要觀察式子的角度，發現角度都為12°，不需要進行角之間的變化.其次，我們要觀察式子中的三角名稱，會發現式子中既有tan，sin，也有cos，那么此時，我們就要采用公式法，巧妙地逆用三角函數公式中的二倍角公式、差角公式、再次逆用二倍角公式將目標式恒等變換，然后求出式子的值.

解 （3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）

=3sin 12°cos 12°-3·1sin 12°÷（4cos212°-2）

=（3sin 12°-3cos 12°）÷[（2sin 12°·cos 12°）·（2cos212°-1）]

=2312sin 12°-cos 12°·32÷（sin 24°·cos 24°）（逆用二倍角公式）

=23（sin 12°·cos 60°-cos 12°·sin 60°）÷（sin 24°·cos 24°）

=43sin[12°-60°）÷[2（sin 24°·cos 24°）]（逆用差角公式）

=43sin （-48°）÷sin 48° （逆用二倍角公式）

=-43.

1.2 結構變換法

變換三角函數式的結構主要是利用降冪或者升冪，以及常數代換等方法，改變題干中不熟悉的三角結構，進而變化為我們熟知的或題干中已知的三角結構.變換三角函數式的結構是解決三角恒等變換題型時比較抽象的一種數學思想方法，這對同學們掌握三角函數中各類結構的要求比較高.

例2 已知cos（α-β）=3sin（α+β），求14sin22α+sin2β+cos4α的值.

分析 通過觀察題干，我們可以發現題干中已知條件和要求的目標式子都很復雜，角比較多、冪也各不相同，為了方便我們解題，我們必須要對題干中的式子進行結構變換.

解 14sin22α+sin2β+cos4α

=14sin22α+1-cos 2β2+1+cos 2α22

=14（sin22α+cos22α）+12+14+12cos 2α-cos 2β

=1-sin（α+β）sin（α-β）.

∵cos（α-β）=3sin（α+β），

∴sin（α+β）sin（α-β）=13，

∴原式=1-13=23.

1.3 消元法

消元法是高中數學中最重要的一種策略，它可以被運用在各個類型的數學題目中，當然三角函數恒等變換這一題型也可以巧妙利用它.消元法的解題步驟主要是：首先確定所需要使用的“一”，一般我們會選擇運算量大的函數解析式;然后進行歸“一”，使得其他的解析式都用這個“一”來表示;最后“消元”，將所有數據代入原式計算.

例3 設α，β為銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin 2α-2sin 2β=0，求證：α+2β=π2.

分析 在本題中，想要求證α+2β=π2，就需要證明sin （α+2β）=0，或者cos （α+2β）=1.知道這一點之后，我們就可以利用消元法，想辦法將這兩個式子中的一個引導出來，從而求證目標式子.

解 ∵3sin2α+2sin2β=1，

∴3sin2α=1-2sin2β=cos 2β.

∵3sin 2α-2sin 2β=0，

∴3sin α·cos α=sin 2β.

∵sin22β+cos22β=1，

∴9sin4α+9sin2α·cos2α=1，

∴9sin2α·（sin2α+cos2α）=1.

∴9sin2α=1，sin2α=19.

∵0<α<π2，

∴sin α>0，∴sin α=13.

∴sin（α+2β）=sin α·cos 2β+cos α·sin 2β

=sin α·3sin2α+cos α·3sin α·cos α

=3sin α·sin2α+cos2α

=3sin α=3×13=1.

∵0<β<π2，

∴0<α+2β<3π2，

∴α+2β=π2.

二、三角函數最值問題的求解思路

三角函數的內容涉及范圍廣，知識點眾多，可采取的計算化簡方法更是多種多樣，對解決各類問題有跡可循，具有很強的技巧性.除了三角函數恒等變換題型外，最值問題求解是三角函數教學中的重點和難點，是高考的著重突破點，占有很大的比重，下面以三類常見題型為例.

2.1 y=asin x+bccos x+d型

這種類型題的主要特征是以分式的形式呈現，利用函數的輔助角公式求解，通過去分母的手段將分式轉化，將三角函數與常數分離，利用y=a2+b2·sin ωx+φ其中tan φ=ba，根據正弦函數的值域得到新的不等式，求解函數的取值范圍.

例1 求函數y=3-cos x2+sin x的值域.

分析 通過對已知函數進行觀察分析，可知該函數符合這種類型的應用方法，首先去分母，將y=3-cos x2+sin x轉化為ysin x+cos x=3-2y，根據y=a2+b2sin（ωx+φ），得到sin（x+φ）=3-2yy2+1，在基于正弦函數的值域下，得到3y2-12y+8≤0，計算可得y的取值范圍.

解 ∵y=3-cos x2+sin x，

∴y2+sin x=3-cos x，

2y+ysin x=3-cos x，

ysin x+cos x=3-2y，

轉化為sin（x+φ）=3-2yy2+1.

又∵sin（x+φ）≤1，

∴3-2yy2+1≤1，

3-2y≤y2+1，

3y2-12y+8≤0，

6-233≤y≤6+233，

∴所求值域是6-233，6+233.

2.2 y=asin（ωx）+bcos（ωx）型

對于該種類型的題來說，根本在于輔助角公式的應用，將已知函數轉化為y= a2+b2sin（ωx+φ）其中tan φ=ba，然后根據正弦函數的值域得出結果.

例2 已知函數f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值為1，求函數g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）的最大值.

分析 本題中函數符合這種類型題的應用條件，根據余弦函數的值域，和已知函數的兩個最值，可以通過轉化得到與未知參數相關的等式，求解代入原式，得到g（x）=5sin（x+θ+φ），根據正弦函數的取值就可以得到目標函數的最值.

解 ∵-1≤cos（x+θ）≤1，

且f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值為1，

∴b-|a|=-7，b+|a|=1.

解得a=±4，b=-3，

∴g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）

=a2+b2sin（x+θ+φ）

=5sin（x+θ+φ）.

∵-1≤sin（x+θ+φ）≤1，

∴g（x）max=5.

2.3 y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）型

該種類型題的解題關鍵在于化簡、變形，利用正余弦函數的有界性，最終將已知函數轉化為y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）的形式，根據正余弦的取值范圍|sin x|≤1和|cos x|≤1，確定函數的最小值為b-|a|，最大值為b+|a|.

例3 求函數y=cosπ3+2xsin π3-2x的最值.

分析 已知函數是正弦、余弦函數的乘積式，可以化為y=asin x+b或y=acos x+b的形式，因此在本題中首先將原函數化簡為y=-12sin 4x+34，然后結合正弦函數的值域是[-1，1]，得到化簡后函數的最值，即最大值為3+24，最小值為3-24.

解 ∵cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B，

sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B，

∴y=cosπ3+2xsin π3-2x

=12cos 2x-32sin 2x32cos 2x-12sin 2x

=34cos22x-34sin 2xcos 2x+34sin22x-14sin 2xcos 2x

=-12sin 4x+34，

∵-1≤sin 4x≤1，

∴ymax=3+24，

ymin=3-24.

對三角函數的恒等變換以及最值問題的求解考查的是學生對函數的觀察分析，通過匹配最簡便的方法，合理利用數學思想進行解題，將重點與難點有效解決.學生在本章節知識的應用中，要學會知識的融合和問題的簡化，在問題中學習，在學習中尋找方法，不拘泥于現實的問題與方法，學會創新，學會舉一反三，對三角函數的知識做到靈活運用，不論是求最值還是化簡，或者與幾何結合的問題，最好都能采用最簡便的方式解決問題.