雞蛋殼結構的有限元模型仿真分析

鄭麗文 鄧玉娟

摘要：雞蛋外殼的形狀是一個非規則的橢球體.在SolidWorks 中建立三維模型導入到有限元軟件ABAQUS進行受力分析，研究雞蛋殼在外壓作用下的應力分布情況;同時考慮雞蛋殼的自由振動情況，研究雞蛋殼在自由振動情形下結構模態情況，利用ABAQUS軟件計算其自由模態.

關鍵詞：雞蛋殼;自由振動;模態分析;ABAQUS

緒論：

國內外許多學者進行了雞蛋力學特性的研究，許多都是在靜態力作用來研究雞蛋的力學特性，如把雞蛋放到兩塊鋼板之間進行準靜態壓縮實驗。如NIALL MACLEOD[1]研究了不同加載方式下的雞蛋外殼的裂紋擴展。但由于準靜態壓縮實驗要求的設備比較昂貴，使得它的普及性并不是那么廣。另一方面隨著有限元技術的發展，使得用有限元來模擬生活中的力學事件變得非常便捷。但是由于雞蛋的內部結構比較復雜，許多學者在建立雞蛋的有限元模型時往往都是不考慮雞蛋的內部結構，只是模擬出了雞蛋的外殼[2-3]。如COUCKE[4]研究了雞蛋的振動特性，研究了不同的材料和結構對剛度的影響。

以上研究對深入理解雞蛋結構有限元具有重要意義[5]。基于以上討論，本項目將通過幾何、物理學和力學特性，通過三維建模軟件建立一個雞蛋外殼的基本模型導入到ABAQUS，建立一個雞蛋外殼的FEM模型。應用所建立的模型進一步研究雞蛋殼在外部壓力和自由振動狀態下雞蛋殼的應力分布。

一、雞蛋殼的外形結構與應力分析

1.雞蛋殼的外形結構

雞蛋的外殼形狀是一個非規則的橢球體，它的外殼形狀的參數方程中參數有長軸，短軸和蛋形角，參數蛋形角使得雞蛋有大頭和小頭而不同于一般的橢球體。同時雞蛋也是一個旋轉殼體，旋轉殼體是指以任意直線或曲線作為母線繞其同平面內的軸線旋轉一周而得到的旋轉曲面。不同的平面曲線，得到的回轉殼體的形狀也不同。例如：與軸線平行的直線繞軸旋轉形成圓柱殼;與軸線相交的直線繞軸旋轉形成圓錐殼;圓形曲線繞軸旋轉形成球殼。

有關彈性薄殼的定義，當物體的厚度與其中面曲率半徑之比小于1/10則屬于薄殼。由于雞蛋殼的厚度很小，與最小的曲率半徑之比也非常小，因此雞蛋殼屬于彈性薄殼。形狀如圖（1）。外形參數方程為

雞蛋的外殼屬于非規則橢球結構外形如圖（2）所示：

2.蛋殼的材料參數

通常測定雞蛋的強度是通過雞蛋的靜態壓縮實驗來完成，壓縮時一開始力與變形成正比，壓縮的力與位移之間呈線性關系，隨著壓縮力的增大達到臨界值的時候，雞蛋抵抗變形的能力立即下降，本文中材料參數參照農業工程學會有關雞蛋殼的彈性模量與泊松比和蛋殼密度分別 E=30000Mpa=0.25=2.532。

二、有限元理論應用到薄板結構

有限元分析是利用仿真分析的方法來代替真實樣品的試驗。在汽車設計領域用碰撞的仿真分析來代替真實車輛的碰撞，會變得非常便捷;在機械上的許多產品的加工，如金屬板的成型，擠壓也可以用有限元進行模擬;在電子工業中為了評估產品的質量，仿真分析代替了真實的跌落實驗。在土木工程中，仿真分析也可以應用到施工過程。可以說，有限元已經滲透到工程中的各個領域種類。

有限元法是將一個幾何形狀進行離散，離散的單元通過節點來進行連接，有限元方法的分析步驟主要包括以下5個方面：

（1）建立有限元模型。

（2）推導方程的公式。

（3）單元的離散方程。

（4）求解方程。

（5）有限元結果的表達。

有限元方法概述：顯示和隱式有限元方法。有限元法的第一步都是對結構單元進行離散分析，每一個單元則是代表了這一個結構的一部分，同時這些單元是共用節點的，而一旦節點的位移已知，那么應力應變等其他的物理量就可以解出了。有限元方法有顯示解法和隱式的解法。下面以薄板彎曲的例子來說明有限元法。

工程中有很多的薄板構件，當薄板的厚度相比板的其它兩個方向的尺寸小的多的時候可以認為是薄板，在垂直于板的力的作用下，板的中間平面變成了撓曲面。撓度為：

當薄板發生彎曲變形有以下假設：

（1）薄板在彎曲的變形中，原薄板中面法線上的點則是變形后薄板撓曲面上法線上的點。這個假設成為直法線假設。

（2）在薄板的厚度方向上的擠壓變形忽略不計。

（3）在薄板的中面上沒有平面內的收縮變形，只有彎曲變形。

與梁的彎曲變形相似，假設z為薄板上沿厚度方向上的點到薄板中面的距離，為各個點的應變，為撓曲線沿x和y方向的曲率和扭曲率。

當不考慮薄板厚度方向上的變形擠壓的時候，則薄板沿厚度方向上的各層材料都是屬于平面應力狀態。對于薄板彎曲問題，只需要研究中面的變形情況，有板彎曲的基本假設可知，板的節點的位移包括點的撓度和繞其他兩個軸上的轉角，因此可以解得單剛，由單剛的疊加就可以得到總剛，在已知節點外力的分配下就可以求出節點的位移，隨著節點位移的解出就可以算出應力應變。

三、仿真分析

1.雞蛋殼在均布壓力作用下的應力分析

按照雞蛋的模型導入裝配后創建一個Static General分析步step-1，設置Time period為2 s，雞蛋殼受到外部總載荷為1兆帕大小。單元格類型選擇Standard SC8R，加載下圖（3）所示，仿真得到應力云圖如圖（4）所示。最大應力為45.6MPa.從應力云的分布來看，雞蛋外殼在均布載荷的作用下，其受應力最大的地方為接近中性平面附近，小頭受力相對較小。

2.雞蛋殼自由模態分析

按照雞蛋的模型導入裝配后創建一個Frequency分析步step-1，設置Frequency Value為30。單元格類型選擇Standard SC8R，仿真得到自由振動情形下前6振動模態如下圖所示：

靜載作用下雞蛋外殼在均布載荷的作用下，其受應力最大的地方為接近中性平面附近，小頭受力相對較小。雞蛋殼自由模態分析中前9階振動模態結果顯示，前9階振動模態雞蛋外殼的形狀沒有發生大的變形，第7階到第9階模態顯示雞蛋結構發生了一定的變形。雞蛋殼自由振動外殼的應力及形狀變化為雞蛋殼的結構設計提供一定的參考。

[1]Niall Macleod，Maureen M.Bain，John W.Hancock ，The Mechanics And Mechanisms Of Failure Of Hens' eggs[J].Int J Fract，2006（142）：29-41

[2]任奕林，王樹才，丁幼春，文友先.雞蛋殼生物力學特性分析及試驗研究[J].農業工程學報，2007：23-29.

[3]崔志平.雞蛋靜載特性分析及有限元研究[D].碩士論文，2009：48-50.

[4]P.Coucke，G.Jacobs，P.Sas， J. De Baerdemaeker，Comparative Analysis of the Static and Dynamic Mechanical Eggshell Behaviour of a Chicken Egg[J].Mechanical Engineering，2003[9]：1-5.

[5] 遲玉杰，于濱.淺析我國蛋品工業的現狀與特點[J].中國家禽，2008，30（2），6-8.

作者簡介：鄭麗文（1988-），女，碩士，講師，有限元仿真分析

基金項目：2019年衢州市科技局指導性項目（編號：2019019）基于abaqus生物結構的有限元模型和碰撞動力學分析

（衢州職業技術學院，浙江 衢州 324000）