基于改進的Spearman 秩相關系數的直覺模糊多屬性決策

郭 敏，田佳星

（中北大學經濟與管理學院，太原 030051）

由于客觀世界的復雜性以及決策者對客觀事物認知的不確定性等原因，Zadeh［1，2］首次引入包含隸屬度的模糊集來對事物的性質進行描述。Atanassov［3］在模糊集的基礎上引入包含隸屬度和非隸屬度的直覺模糊集來描述事物的模糊性與不確定性，是模糊集十分重要的一種擴展形式，在處理客觀世界中具有模糊性與不確定性的問題時更加準確、客觀、細致。

直覺模糊集已經被廣泛應用于多屬性決策領域，其中屬性間關聯度以及屬性權重方面的研究是多屬性決策問題的核心。Deng［4］將灰色關聯分析法應用于多屬性決策領域以計算屬性關聯度；楊紅軍等［5］結合直覺模糊集概念提出了一種新的灰色關聯分析法求解屬性間關聯度；而計算屬性權重的方法總體上可以劃分為主觀賦權法、客觀賦權法以及主客觀組合賦權法3 種。主觀賦權法包括AHP 法［6］、G1 法［7］、G2 法［8］以及 Delphi 法［9］等，得到的權重具有較好的解釋性，不足之處在于無法體現屬性實際數據在權重確定過程中的作用，其中最常用的是層次分析法；客觀賦權法包括熵權法［10］、主成分分析法［11］、DEA 法［12］以及基尼系數賦權法［13］等，與主觀賦權法恰好相反，主要依靠屬性的實際數據來確定屬性的權重，但權重穩定性以及可解釋性卻較差，其中熵權法是權重確定過程中利用最普遍的一種方法。由于上述兩種賦權法優劣勢并存，所以兩者組合的主客觀組合賦權法被提出，以綜合優勢、削弱劣勢從而達到權重優化的目的。依據組合的效果將其分為基于向量層面的線性加權法［14］與基于元素層面的乘法歸一法［15］。但加權系數具有強主觀性的線性加權法和具有弱解釋性的乘法歸一法都不能在主觀賦權法與客觀賦權法得到的權重之間形成一種最優組合。而博弈論中均衡思想使雙方利益得到最大化，因此基于博弈論的組合賦權法［16］應運而生，通過尋找折衷組合主客觀權重使其與主客觀權重之間的偏差之和最小，達到優化權重的目的。

在現有研究的基礎上，本研究改進了Spearman秩相關系數的計算，提出以灰色關聯分析法得到的關聯度以及通過博弈論組合賦權得到的最優權重作為秩比較序列與秩標準序列，將其帶入Spearman 秩計算中得到相關系數，將結果進行優序排列用以解決直覺模糊多屬性決策問題。最后以實例和對比證明提出方法的有效性。

1 基礎知識

1.1 直覺模糊集

定義1：設一給定論域為X∈[ 0,1 ]，則此論域X上的一個直覺模糊集A為：

式中，μA(x)表示A的隸屬度函數，νA(x)表示A的非隸屬度函數，并且滿足 0 ≤μA(x) +νA(x) ≤ 1，對A上所有的x∈X都成立。直覺模糊集A上的一個直覺模糊數可以被表示為由隸屬度μA(x)和非隸屬度νA(x)所組成的有序區間對的形式直覺模糊集A的猶豫度可以被表示為πA(x) = 1-μA(x) -νA(x)。

定義2：正向最優集x+，記為

1.2 Spearman 秩相關系數

定義 3［17］：設自 變量X和Y的 2 個隨機 樣本為(x1,y1),…,(xn,yn)，將x1,…,xn和y1,…,yn按升序方式進行排列，則X和Y的Spearman 秩相關系數為：

式（1）中，表示為2 個秩的距離度量，di=R(xi)-R(yi),i= 1,…,n,R(xi)和R(yi)分別為xi和yi的秩。

2 主觀與客觀賦權法

設某一個多屬性決策問題的方案集為A={A1,A2,…,An} ，每個方案對應的屬性集為C={C1,C2,…,Cm} ，根據屬性的特性可以將其分為效益型屬性和成本型屬性兩類。

2.1 屬性值的規范化處理

設aij為規范前的屬性值，bij為規范化后的屬性值。

根據直覺模糊集的性質，將規范化后的實值轉換為直覺模糊數［18］，有μij=bij,νij= 1-bij，則屬性值的直覺模糊數為

2.2 主觀賦權法

層次分析法（AHP）不僅可以將多目標的決策問題分解為逐層漸進并相互影響的單目標問題，而且可以運用定量計算方法將定性指標具體化，令賦權結果更加符合實際要求。因此選擇層次分析法來確定屬性的主觀權重。

1）構建直覺模糊判斷矩陣。設有q位專家，各專家的評價權重為ξ=( )ξ(1),ξ(2),…,ξ(q)，q位專家依據表1 的指標評價等級確定各個指標層中指標的等級，并構建相應的直覺模糊判斷矩陣(k= 1,2,…,q)，其中

表示第k位專家對元素i和j的重要性進行等級評價時，認為元素i優于元素j的程度；表示元素j優于元素i的程度。則集結q位專家對指標層指標等級評價的直覺模糊判斷矩陣為：X=(xij)n×n=直覺模糊數指標評價等級標度見表1。

表1 直覺模糊數指標評價等級標度

2）一致性檢驗［19］。根據式（4）和式（5）計算直覺模糊判斷矩陣的積型一致性判斷矩陣當j＞i+ 1 時，有：

當j=i+ 1 時，則令當j＜i+ 1 時，則令

3）計算權重。將修正后并且符合要求的矩陣記為，為了便于運算，將中元素值轉換為直覺模糊數：

2.3 客觀賦權法

熵權法是一種通過信息之間差異性來進行賦權的算法，權重具有很強的解釋性，并且可以與其他方法相結合使用，使計算出的權重更加客觀有效。根據式（9）確定屬性的客觀權重。

式中，Ej是信息論中信息熵，若某個指標的信息熵Ej越小，代表其指標的變異程度越大，提供的信息量就越大，其權重也越大。

3 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數計算及多屬性決策

Spearman 秩相關系數是統計學中計算變量之間相關性的重要指標，其在直覺模糊決策領域也有著十分廣泛的應用。然而常見的利用Spearman 秩相關系數計算各方案間的相關性問題，僅將方案的各個屬性秩大小進行編號后用于相關系數的計算，以最后所得值進行優序排列作為決策結果。此方法雖然計算簡單，但卻忽略了一個很重要的問題，尤其是對方案的屬性值為直覺模糊數的決策問題而言，各方案的屬性值之間是存在相互關系的，并且屬性的權重在決策中也起到很關鍵的作用。上述這種不加限制的直覺模糊數的Spearman 秩相關系數計算是片面的，基于此，本研究提出一種改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數，將各方案屬性間關聯度值序號作為秩對比序列，屬性權重值序號作為秩標準序列，并在秩對比序列與秩標準序列之間建立一種Spearman 秩次相關關系，計算各方案Spearman 秩相關系數并進行優序排列，將其應用于多屬性決策領域中。

3.1 屬性間關聯度的計算確定秩對比序列

1）屬性間相關性對秩對比序列確定的影響。在一個屬性值為直覺模糊數的多屬性決策方案中，各方案屬性間相互作用，某一方案的某個屬性值的確定會受到其他各方案對應屬性的影響，如何精確表示屬性之間相互作用強弱關系，會直接影響最終的決策結果，而灰色關聯分析的出現恰到好處地解決了這一問題。

2）灰色關聯分析確定秩對比序列及比較分析。根據灰色分析法的思想，依據定義2得各屬性下的正向最優集為x+，則各方案與x+的關聯度εij記為［20］：

Spearman 秩相關性計算中，改進前的秩對比序列的確定僅通過屬性值大小（直覺模糊數通過得分函數值比較）來進行排序，未充分考慮屬性之間的關聯性；改進后秩對比序列的確定通過灰色關聯分析所得的屬性關聯度進行排序，充分考慮了屬性之間相關性對排序的影響，使所得結果更有說服力。下面通過一個簡單的例子對比改進前后秩對比序列的差異，設某個多屬性決策的方案集以及對應的屬性集為：

改進前方案A1秩對比序列為②③①；改進后方案A1秩對比序列為①③②。兩者排序的差異必然影響最終的決策結果。

3.2 構建組合賦權法模型確定秩標準序列

1）屬性權重未知對秩標準序列確定的影響。多屬性決策方案中各屬性的權重不僅代表各屬性在總體中所占的百分比，更代表各屬性的相對重要程度和貢獻度，多屬性決策方案中有些屬性的權重可能很大，而有些屬性的權重卻可能很小，這會直接影響決策結果，而大多數Spearman 秩相關性計算中秩標準序列的確定都是在未充分考慮屬性權重的前提下僅以各屬性位置序號升序排列所得，忽略了屬性權重所起的作用，從而弱化了各屬性之間的差異性。如某個決策方案的4 個屬性權重分別為（0.1，0.2，0.4，0.3），Spearman 秩相關性計算中秩標準序列，在未充分考慮屬性權重前提下為①②③④；而在充分考慮屬性權重的前提下卻為①②④③，兩者排序的差異會直接影響相關性分析的結果。

2）構建模型確定秩標準序列。設熵權法和層次分析法得到屬性的權重向量分別為w1=(w11,w12,…,w1m)T、w2=(w21,w22,…,w2m)T，則兩組向量的任意線性組合可以用矩陣的形式表示：

式中α1、α2為任意給定的線性組合系數，且滿足α1≥ 0,α2≥ 0,α1+α2= 1。依據博弈論中均衡思想，通過尋求折衷主客觀權重向量的最優組合系數求出兩者之間的最優組合權重w*=進而得到以w*與w1、w2的離差總和極小化為最終目標的方法，對兩組向量的線性組合進行優化，模型如下［16］：

利用混合罰函數對上述模型求解，使得原本有約束條件的模型通過將約束條件并入目標函數的方法轉換為無約束模型，則上述模型可轉換為如下模型：

3.3 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數計算

定義4：設各方案在各屬性下的關聯系數為εi,{εi=(εi1,εi2,…,εim);i= 1,2,…,n} ，各屬性值的組合權重為則改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數為：

3.4 多屬性決策步驟

設某一個多屬性決策問題的方案集為A={A1,A2,…,An}；各方案所對應的屬性集C={C1,C2,…,Cm} ；屬性權重未知；有q位決策者，決策權重為ξ=下面是在基于改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數法的基礎上，以方案間相關程度強弱為視角來解決多屬性決策問題。具體步驟如下：①構建指標評價體系；②確定各方案間的各屬性的灰色關聯度，構建標準序列；③確定屬性主觀與客觀權重間最優組合后的權重，構建對比序列；④運用改進方法計算各方案的相關系數，將所得的結果進行優序排列，以此決定各方案的優劣。

4 案例分析

以山西省高技術產業創新效率評價為例來驗證改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數決策方法的有效性與可行性。收集了山西省2009—2016年高技術產業方面的相關數據，將收集到的數據劃分為準則層（4 個指標）和指標層（20 個指標），其中準則層4 個指標分別為高技術產業創新投入能力、高技術產業創新能力、高技術產業產業化能力和高技術產業創新環境能力，對山西省高技術產業創新能力進行評價。

4.1 數據來源

數據來源于2009—2016 年《山西省統計年鑒》《中國高技術產業統計年鑒》《中國火炬統計年鑒》《中國工業統計年鑒》以及山西省統計局網站。

4.2 山西省高技術產業創新能力評價及決策步驟

4.2.1 構建山西省高技術產業創新能力指標評價體系 從創新效率的角度將所收集到的高技術產業方面的數據劃分為準則層（4 個指標）和指標層（20 個指標），構建山西省高技術產業創新能力指標評價體系（表2）。

4.2.2 確定主觀權重 邀請3 位專家依據表1 對指標評價體系中的指標評價等級構建了18 個直覺模糊判斷矩陣，其中3 位專家的評價權重分別為（0.5，0.3，0.2），將3 位專家對指標層指標等級評價構建的直覺模糊判斷矩陣與各自所對應的評價權重進行結合，運用式（4）、式（5）將其轉換為積型一致性判斷矩陣，運用式（6）進行一致性檢驗，結果見表3。在滿足一致性檢驗后計算準則層及指標層所對應指標的權重，然后將準則層各指標權重與其對應的指標層各指標權重相乘得到各指標的主觀權重，結果見表4。由于篇幅限制，下文只給出專家對準則層中第一個指標所對應的指標層中各指標重要性相互比較所得的直覺模糊判斷矩陣以及集結符合一致性的直覺模糊判斷矩陣。

表2 山西省高技術產業創新能力指標評價體系

表3 一致性檢驗結果

根據以上計算得準則層的權重值為wA=[0.298 98,0.215 90,0.252 72,0.232 40 ]；指標層相對于準則的權重值為：

表4 主觀權重、客觀權重以及組合權重

4.2.3 確定客觀權重 依據指標評價體系，運用式（2）、式（3）將收集到的數據進行規范化，并根據文獻［18］將規范化后的數據進行直覺模糊化處理，結果見表5。運用式（9）計算各指標的客觀權重，結果見表4。

4.2.4 確定組合權重 依據博弈論均衡思想構建優化模型，利用混合罰函數對模型進行求解得到最優線性組合系數從而得到優化后的組合權重見表4。

4.2.5 計算關聯度 運用式（10）計算山西省2009—2016 年高技術產業創新能力指標的灰色關聯度εij。

表5 2009—2016 年山西省高技術產業創新能力指標屬性值

4.2.6 改進后的直覺模糊集Spearman 秩相關系數的多屬性決策 運用式（12）計算得到山西省2009—2016 年高技術產業創新能力的Spearman 秩相關系數的值，如下：

將上述所得的各方案結果升序排列并作為決策的結果，排序為：Y8＞Y3＞Y7＞Y6＞Y2＞Y1＞Y4＞Y5。

4.2.7 比較分析 根據文獻［21］計算得到山西省2009—2016 年高技術產業創新能力的Spearman 秩相關系數的值，如下：

得到的決策結果為：Y8＞Y3＞Y7＞Y6＞Y2＞Y4＞Y1。而Y5= -0.031，明顯看出與其他決策結果的相關性方向不同，為負相關，故無法進行比較。由改進的直覺模糊集Spearman 秩相關系數計算所得的結果與文獻［21］方法所得的決策結果相比較僅有個別決策結果排序不同，同時不存在相關方向差異的問題。這是由于本研究所提出的改進方法不僅考慮了屬性權重對標準序列確定的影響，而且考慮了屬性間相關性在對比序列確定中所起的作用，并在兩者間建立了一種新的秩次相關關系，用來解決方案各屬性的差異以及屬性間的相互作用對決策結果帶來的影響。

5 結論

目前，針對屬性值為直覺模糊數且屬性權重未知的多屬性決策問題是研究的熱點。本研究引入統計學中的Spearman 秩相關系數概念，并在基于直覺模糊集Speaman 秩相關系數的基礎上提出了改進的Spearman 秩相關系數。其原理是將灰色關聯分析法得到的各方案屬性間的關聯度值序號作為對比序列，組合賦權法得到的方案屬性權重值序號作為標準序列，并在兩者之間建立一種秩次相關關系來計算方案的秩相關系數，并將其用在多屬性決策問題上。此改進方法克服了方案決策時由于忽略各屬性的差異以及屬性間的相互作用而導致重要信息流失、誤差大等問題，在某種意義上可以說是對直覺模糊多屬性決策問題進行了一定的補充和完善。最后，通過案例分析可以看出，本研究所提出的改進算法計算思路明確，綜合評價結果合理性高，具有較強的實用價值。