尋“核”覓“心”，讓計算學習有理有根

付春紅

我與孫佳威老師認識已經將近20年了。20年的風風雨雨，我們一同經歷了教學改革的洗禮，一起走過了實踐創新的磨礪。在北師大項目學習中的每一次爭論、研討，在吳正憲導師帶教團隊中的每一次實踐、辯論，在教學研究現場會上的每一次攜手、互助，都使我們之間的感情越來越深厚。我們既是師徒，又是無話不談的朋友。孫老師對教育的執著和熱愛深深地影響著我，激勵著我不斷前行。

近年來，孫老師一直致力于“抓核心概念，構建知識結構”的研究，尤其是在數的認識和計算教學上，她已經梳理出了行之有效的策略和方法，并在課堂教學實施與展示的過程中給了教育同行們很多啟發。“分數的簡單計算”這節課就是孫老師的一個典型課例，整個教學過程為我們充分展示了抓“核心概念”進行計算教學的重要性和可行性。

認識這節課，我們可以先從“核心”這個詞說起。核，核果中心的堅硬部分，有“核”，才有繼續繁衍生息下去的可能;心，血液循環的重要器官，也指事物的中心，有“心”，血液的流動才能有目標和方向，機體才能充滿生機活力。“核心”，即中心，是事物之間關系的主要部分。在豐富多彩的自然界中，事物之間是有聯系、有核心的，數學知識之間也是有聯系、有核心的。

眾所周知，數學知識的基本細胞是數學概念，沒有概念就無法構成數學知識體系。因此，只有找到數學概念的“核心”，才能構建知識體系，讓知識在遷移運用中循環往復，在“認識—重識—前行”中，不斷補充新鮮的血液，完善知識體系，也才能打通數學知識的任督二脈，讓學習的發生“活”起來。那什么是數學的核心概念呢？就是諸多數學概念中那些最基本的概念。這些概念在反映事物的內在聯系方面，更具有本質性和概括性。把握了核心概念，知識的大樹就有了根基，數學知識才能有結構地生長。

下面，我們結合孫佳威老師的課例“分數的簡單計算”，來具體說說怎樣在計算教學中幫助學生尋“核”覓“心”，讓計算變得有理有根。

培養運算能力是計算教學的一個重要目標。運算能力的培養離不開算理的理解、算法的掌握以及合理運算途徑的尋求。而小學階段數的運算中一個非常重要的算理就是數的意義。數的意義的理解離不開計數單位的理解和運用。培養學生的運算能力，也同樣離不開計數單位。在“分數的簡單計算”課堂教學的設計中，孫老師始終把計數單位作為計算教學的核心概念，并在環節設計中層層深入，通過重識、理解、抽象、應用等環節來凸顯這一核心概念的作用，并以核心概念為核心，溝通知識的內在聯系，使分數的加減法計算算理清晰透徹，為學生的遷移運用打下堅實的基礎。

一、再識分數“尋”根，凸顯核心概念

“分數的簡單計算”是三年級學生在初步認識分數之后安排的計算課，是分數加減法計算的起始課。教材這樣編排，除了要讓學生掌握簡單的算法外，還有一個重要的目的，那就是讓學生在理解算理的過程中，深化對分數意義的理解。我們知道，數的意義的理解和計算算理的理解密不可分，而計數單位在這密不可分中又承擔著重要的角色。因此，通過理解運算來深化對分數意義的理解，這一目標的實現離不開“計數單位”這一核心概念。

本節課用核心概念勾連數的意義及運算，這是孫老師的高站位思考。正因為有了這樣高站位的思考，才使得簡單的教學內容實現了學習理解的不簡單。課堂教學一開始，孫老師就創設了一個分西瓜的情境，讓學生在有趣的動畫視頻中感受“分”的意義和過程。這看似不經意的操作，卻為后面理解“計數單位（幾分之一）”的含義做了直觀的鋪墊。在此基礎上，孫老師通過核心問題“這里的你是怎么理解的？呢”，引領學生把思維聚焦于“核心概念”—計數單位。

在“分數的初步認識”的學習中，對于和，學生只是借助直觀圖來理解分數的含義，但在探究“分數比大小”方法的過程中，學生已經嘗試著借助計數單位個數的比較來進行判斷了。所以，再識分數，孫老師引領學生不僅借助圖直觀理解分數的含義，還從計數單位個數的角度來抽象解釋分數的意義。這樣，就為分數加減法簡單計算的算理理解和方法歸納做了鋪墊，為以核心概念“計數單位”為核心的知識體系的建立打下了基礎，也為學生理解算理的根（計數單位個數的累加和遞減）提供了可能，促進了學生遷移學習的發生。

二、數形結合“見”根，感受運算本質

“計數單位”這一核心概念本身是抽象的，學生必須依托于具體的實物模型來描述和理解。因此，在計算的學習中，孫老師充分運用直觀的模型，讓學生感受分數加減法運算的本質—相同計數單位個數的累加和遞減，直觀凸顯核心概念作用的過程，讓計算的“根”可見。

孫老師的這一想法我們從“探究同分母分數加法計算的算理，掌握計算方法”的教學環節中可以明顯感受出來。加法的教學環節孫老師用了這樣的教學方式，減法的教學環節也出現了類似的方法。數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”孫老師借助直觀圖形幫助學生理解“計數單位個數累加和遞減”這一分數計算的本質，使學生在擺一擺、畫一畫、說一說的活動中，由圖形語言到符號語言，最終理解算理;由符號語言對應圖形語言，主動尋求表象支撐。雙向溝通，幫助學生多層次理解分數加減法計算的算理，感受運算本質。

我們可以看出，孫老師的巧妙設計讓學生運用圖來表達計數單位、計數單位個數累加（遞減）的過程，再用語言進行表達，使抽象的運算本質在學生眼前可見、腦中可想、手中可觸摸。由“根”而發的知識在學生頭腦中不再抽象而遙遠，而是很近、很直觀。

三、題組歸納“立”根，抽象運算方法

人類認識事物是有著一定的心理過程的，學生的學習也是這樣。讓學生明辨加減法運算本質，教師必須為他們提供一個豐富的感知過程。在豐富感知的支撐下，學生的抽象思考和表達才能達成。依據這一基本的學習心理特征，孫老師在設計中增加了題組練習，拉長學生感知運算本質的時間，讓學生在題組中找相同點，感受運算本質支撐下的算式運算過程和方法的外在形式。

對分數加法計算方法的提煉，孫老師在第二部分“借助直觀，明理知法”中設計了“鞏固練習，提煉算法”環節。 表面上看，這只是簡單的題組訓練，但是對于學生感知計算本質卻是不可或缺的一步。在前面的環節中，學生只是在教師的引領下初步感知，而此時的題組練習豐富了學生的感知，如4個加1個是5個，4個加2個是6個……學生用“計數單位”這一核心概念詮釋著每個算式的計算過程和方法。在拉長的學習過程中，在豐富學生的感知后，再歸納同分母分數加減的計算方法，就水到渠成了。此時教師提問：“它們在計算的過程中有什么相同的地方？”“分母不動、分子相加”實際是學生對計數單位相加的這一抽象本質直觀的感受和表達。雖然學生不能把目光一下子聚焦于計數單位的個數累加，但是在豐富的感知下，運算本質的“根”已經呼之欲出了。

四、前后溝通“歸”根，抽象運算本質

小學階段的所有計算教學其實都是在研究“計數單位”個數的變化。對這一運算本質的精準理解和把握，使得孫老師在本課例設計中加入了“歸”根這一環節，從而實現了學習內容的溝通，為學生的學習構建了體系。整個教學過程顯現了設計者的智慧，成就了學生理解和表達的精彩。

學生對計算的過程和方法有了初步的抽象概括之后，孫老師在第三部分“抽象提升，明理通法”再次以題組的形式呈現學習內容，讓學生尋找不同表象下的相同之處。在新舊知識的對比溝通中，幫助學生梳理計算的本質—相同計數單位個數的累加和遞減。

當學生通過題組訓練有了充分的認知后，教師加以提煉總結。在這個環節中，教師引導學生在題組間進行對比，溝通整數加減法計算和分數加減法計算間的內在關系。通過溝通關系，學生找到了計算本質的“根”—相同計數單位個數的累加和遞減。歸“根”后，學生對于計算的本質有了更加清晰的認識和把握。而這一認識的形成，對于學生后續研究大數、小數、分數的加減法計算乃至乘除法計算都將起到重要的作用。可見核心概念是學生把握知識本質的“根”，學生的遷移學習和知識體系建構是由“根”而發，有“根”生長的。孫老師用自己有思考的教學設計詮釋了什么叫“簡單”背后的“不簡單”。

認識事物的本質，就是要循“根”而上，建立事物之間的內在聯系。孫老師的這節數學課，很好地踐行了馬芯蘭數學教育思想—給核心概念以核心地位，引領學生在溝通中遷移，在遷移中前行，使學生的學習有根有據、有理有力。

（作者單位：北京明遠教育書院實驗小學）

責任編輯：趙繼瑩

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