種子課：深度學習顯現本真趣味

俞正強

數學是有樂趣的。有些樂趣是屬于功用的，比如學了數學可以計算從甲地到乙地的時間;有些樂趣是功利的，比如學了數學可以升入高一級的學校，或者說學了數學可以得到一些肯定。這些功用也好，功利也罷，都不屬于數學的本真樂趣。作為一名數學老師，真正在乎的是學生對數學本真樂趣的體驗。這種本真樂趣是來自數學深處的、與人的內心抑制不住的認知沖突相聯的，是讓學生喜歡上數學的原因所在。

本文以“面積的認識”為例，談談什么是數學的本真樂趣，如何顯現數學的本真樂趣，同時討論本真樂趣之于數學學習的意義。

一、案例：“面積的認識”通常是這樣教的

“面積的認識”是一節概念課。概念課都是枯燥無味的，其上課流程基本是：

1.定義：什么是面積？（物體表面或封閉圖形的大小叫面積）

2.理解：什么是物體表面？什么是封閉圖形？什么是大小？

3.練習：①判斷題。

②其他類型題。

具體展開基本是這樣的：

環節一：認識面積，達成對面積概念的理解

師：同學們，大家知道什么是面積嗎？

生：物體表面或封閉圖形的大小叫面積。

師：什么是物體表面？物體表面在哪里？

（操作：學生摸一摸）

師：什么是封閉圖形？有哪些封閉圖形？

（討論：各種圖形）

師：大小指什么？

（操作：給各種圖形涂上顏色）

環節二：鞏固認識，厘清面積概念與相關概念的區別

（過程略）

老師們在教“面積的認識”這一課時，通常精力都花在練習設計與批改上，教授面積概念本身花的時間是不多的。環節一用六七分鐘即可結束。

二、討論：面積該如何認識

小學數學中，圖形的周長與面積的辨析是一個難點。因為學生極易混淆，所以老師很頭痛，于是會增加許多練習，以為學生練習多了，混淆便清晰了。

而事實是，練習再多，學生依然會產生混淆。最后，老師會教一個訣竅：凡是單位帶平方的，是面積;凡是單位不帶平方的，是周長。這個訣竅對有單位的題目是有效的，但對于不帶單位的題目，學生又抓狂了，毫無樂趣可言，唯留苦痛在心間。

面積與周長的混淆，其根本原因在于學生認識不清晰。認識模糊才是發生混淆的根本原因。所謂認識到位，行為正確。行為發生偏差的根本在于認識沒有到位。

以面積的定義為例：物體表面或封閉圖形的大小叫作面積。我們思考一下：學生讀到“物體表面”這四個字的時候，腦中浮現的與之對應的表象應該是“體”;讀到“封閉圖形”這四個字的時候，腦中浮現的與之對應的表象應該是“線”。也就是說，在讀面積定義的時候，學生腦中顯現的與文字匹配的表象沒有“面”。

須知，“面”是面積的主角啊！主角都沒有出場，與主角相連的那些元素豈非成了流沙上的建筑？

所以我們在認識面積的時候，首先要認識的是“面”這個對象。認識這個對象主要有兩方面內容：特征與屬性。面的特征與屬性都認識了，定義便寓于其中了。那么“面積的認識”該如何展開呢？

三、實踐：如何認識面的特征與屬性

如何認識面的特征與屬性，進而形成面積的定義呢？我的做法基本是如下流程。

環節一：認識“面”的特征

（1）將“面”對象化

在黑板上寫下“一個面”三個字。“一個”兩字寫得比較小，“面”字寫得比較大。

任務：請同學們給大家介紹一個自己非常熟悉的面。

【分析】因為“面”的前面寫了“一個”兩字，學生就不會講方便面之類的事物，但介紹“一個面”這件事，卻十分困難。大部分學生會說沒有，個別學生會說長方形、正方形之類的。在長方形里涂面這件事的結果就是長方形、正方形上有面，此外便沒有了。這個困難，充分顯現了“面”作為對象的重要性。

教師可以啟發學生：請同學們拿起書，書有個面叫什么面？

生：封面。

師：封面大家熟悉嗎？這么熟悉為什么說不上來？你還能說出自己熟悉的面嗎？

生：墻面、地面、臉面、水面、床面……

【分析】一旦打開生活庫，關于面的說法便不勝枚舉了。從開始時的愕然到現在的坦然，學生經歷了“面”的對象化的過程，體會到原來我們就生活在“面”的世界里。“面”在學生熟悉而不知的世界里作為對象凸顯出來。這個凸顯的過程帶給學生們極強的心理體驗，這種心理體驗便是樂趣的來源。

（2）厘清“面”與“形”的關系

師：這么多同學都回答了自己熟悉的面，讓每個人都說，時間來不及，我想請大家把熟悉的面畫下來。

（學生畫）

師：（投影一位學生的畫）請同學們猜一猜，他畫的是一個什么面？

生：水面、墻面、地面……

師：這位同學畫的面，為什么在不同的同學看來是如此不同呢？

生：這位同學畫了一個長方形，而那些面都可能是長方形的。

（略過其他形狀）

師：同學們在畫面的過程中有什么體會要跟大家分享？

生：把面畫下來就是一個一個的形。

師：這個世界是先有面還是先有形？

生：先有面。

【分析】“面”是一個對象，“面”是一個存在。“形”是我們對“面”的存在的一種區分。先有“面”而后有“形”，這一認識非常重要，這個認識顛覆了學生在課外學習班中經歷的在“形”上找“面”的認識。從“形”上找“面”，學生就會形成先有“形”而后有“面”的認識，這樣就把“形”作為對象了。這種顛覆給學生們帶來的體驗可以描述為“撥亂反正”的舒適感，這種舒適感正是認識的樂趣所在。

（3）厘清“面”與“體”的關系

師：同學們，你們認為這些“面”都可以撕下來嗎？

生：地面不行，墻面不行，封面行。

師：同學們，封面能撕下來嗎？

生：能撕下來。（學生撕下封面）

師：一本書有幾個封面？

生：一個。

師：（請同學們仔細觀察撕下的封頁）這張有幾個面？

生：兩個。

師：一個面能撕下來嗎？

生：撕的永遠是一張紙，撕不下一個面。

結論：面是撕不下來的。

【分析】關于面能否撕下的討論是反常識的，因為反常識，所以學生的情緒體驗十分生動。他們一直以為封面是能撕下來的，討論的結果是封面是撕不下來的。“面”是一種存在，卻不是獨立存在，只是“體”存在的一種方式。

（4）“面”的分類討論

師：黑板上記錄了同學們列舉的熟悉的面，請問這些面中哪個面最特別？特別之處在哪里？

結論：臉面最特別。

【分析】這是對面的分類的討論。臉面為曲面，其他面為平面。從情緒節奏上來看，是為撕面的討論所引起的激烈情緒做一個平復的過渡，因為后面有關于面的屬性的討論，也是十分糾結的。

環節二：認識“面”的屬性

（1）關于輕重

教師板書：輕重

師：請同學們討論：面有輕重嗎？或者說面有重量嗎？觀點一：面有輕重。觀點二：面無輕重。請同學們說明面無輕重的理由。

生：因為面是撕不下來的，既然撕不下來，怎么稱得出重量呢？

（2）關于大小

教師板書：長短 大小

師：請同學們說一說，兩個面比較的時候，我們通常是比較大小還是長短呢？觀點一：比長短。觀點二：比大小。請大家說說自己的理由。

結論：面的屬性是大小。

教師板書：輕重×

長短×

大小√

【分析】如果說認識面的特征是逐步抽象的認識過程，那么認識面的屬性就是去偽存真的過程。面沒有重量，就把“面”與“體”區分開;面不論長短，就把“面”與“線”區分開。面是論大小的，大小是面的屬性。這個認識是在辨析中完成的。因為在生活中面與體有時很難分開，所以學生會很自然地認為面有輕重。當學生們明白面無輕重的時候，會感到驚詫，而這種驚詫，正是數學認識世界的本真樂趣。

四、辨析：什么是數學的本真樂趣

前文基本呈現了兩個不同認識的版本。現在我們作一比較，從中體會二者的差別。

類別 一般性學習 深度學習

流程 一、定義：物體表面與封閉圖形的大小叫面積

二、解釋理解

1.物體表面

2.封閉圖形

3.大小

三、練習鞏固 一、面的特征

1.找面

2.畫面

3.撕面

4.面的分類

二、面的屬性

1.無輕重

2.不論長短，只論大小

三、定義：面的大小叫面積

學習類型 由外而內的接受性學習

概念內化的過程 由內而外的生成性學習

經驗概念化的過程

什么是數學的本真樂趣？

本真樂趣，就像吃飯時的米香、吃面時的麥香，來自人類利用數學這一工具認識世界時所產生的情緒體驗。體驗若無，自然是無樂趣;體驗越豐富，樂趣越濃郁。

本真樂趣的顯現，就是將學生們帶入真實的學習中，而真實的學習，往往是簡單的、有深度的、充滿樂趣的。

（作者系浙江省金華師范學校附屬小學校長）

責任編輯：胡玉敏

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