大概念下章節起始課的設計與反思

高建成 ?林文芝

【摘 要】章節起始課，是指每一章教學內容的第一節課。大概念下的章節起始課要基于數學的邏輯系統思考，整體設計。結合銳角三角函數的教學，教師要做到：讀懂教材，梳理重組;讀懂學生，優化設計;讀懂課堂，啟發引導。大概念教學更注重概念產生的情境，更注重學生的數學現實。概念變式是深化理解概念的有效途徑。

【關鍵詞】大概念 章節起始課 銳角三角函數

初中數學每一章的起始課通常是一節概念課。概念教學一般從數學概念的引入、形成（圖象、符號、語言）、本質（內涵、外延、關鍵詞）、鞏固轉化、遷移應用等幾個方面展開。它的課堂教學一般模式是：情境引入—探究概念—呈現概念—辨析概念—深化概念—應用概念—數學聯結。教師在課前設計教學時，一般會從學生的現有認知及學情出發去考慮、設計各環節，課堂上拘泥于單課時的內容，就課講課，缺少整體上對數學知識的系統認知和把握，缺少大概念下對各種教學要素的選擇和應用。

數學教學要展現如何得到數學活動結果的思維過程。基于此，大概念下的教學，教師一方面要做好解構，要對整個模塊、整章知識的結構都有很清楚的認識，對教材進行選擇和重組，將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，在進行意義解構的同時，嘗試多元化解讀，整理符合學生現有認知水平的素材和資源;另一方面要做好建構，設計更利于概念理解的情境，借助觀察、實驗、猜想、證明等教學活動，讓學生經歷知識的形成及思維的鍛造過程，在動作圖式、圖象圖式、符號圖式及相關變式中，完成學生個體的意義建構。

下面以浙教版九年級下冊“1.1銳角三角函數”第1課時為例，具體闡述如何在大概念下設計和實施教學。

一、讀懂教材，梳理重組

函數是數學教學中非常重要的一部分內容。初中階段它包含了一次函數、反比例函數、二次函數和銳角三角函數。研究銳角三角函數，我們應基于函數這個大概念，分別從概念、定義域、值域、圖象（高中內容）、性質、變式、應用等方面逐一探究，主要學習內容有：銳角三角函數的定義，確定銳角三角函數的取值范圍，銳角三角函數的增減性，推導互余兩角三角函數間的關系和同角三角函數之間的基本恒等關系，解決直角三角形邊角之間的關系等。

讀懂教材，是基于大概念設計教學的前提。教師應多角度、高站位地解讀教材中的教學內容，縱向比較同一版本教材各冊的相關內容，厘清教材中數學知識的邏輯結構順序，以及教材依據的學生認知心理順序，系統感知本課時處于單元整體中的位置，以及本課時與前后知識的聯系。當然，教師也可以橫向比較研究不同版本教材的相同內容，深入解讀編者的編、教師的教、學生的學。

二、讀懂學生，優化設計

在前面的學習中，學生已掌握直角三角形中兩銳角之間的關系、三邊之間的關系，以及含30°和45°特殊角的直角三角形的邊角關系。學生能理解函數的概念，初步了解研究函數的一般方法，在發生認知沖突時，渴望通過學習新知識和新方法來分析問題，在問題的引導下，能嘗試去觀察、分析、猜想和證明。

讀懂學生，是基于大概念設計教學的關鍵。學生在接受新知識時，新舊知識之間出現了斷裂，可能是因為已有知識儲備不夠，也可能是因為在思維銜接的過程中未找到關聯之處。因此，教師在預設教學過程時，應結合學生的實際情況，充分考慮學生現有的認知水平和學習能力，引導學生的認知走向，讓學生在數學課堂活動中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，逐步形成數形結合思想、建模思想、類比思想等更高層次的思想觀念。

三、讀懂課堂，啟發引導

1. 前測反饋，創設情境

前測：如圖1，在△AOB中，∠O=90°。

①若OA=2，OB=3，

則AB=________。

②若∠B=25°，

則∠A =______。

③若∠B=30°，AB=8，則OA=____________。

④若AB=，OA=，則∠B=___________。

提問：

①若∠B為任意角度，能根據∠B，AB的值直接求OA嗎？

②若AB≠2OA，能根據AB，OA的值直接求∠B嗎？

探究目標：直角三角形邊角之間的關系。

【設計說明】學生前測完成的正確率較高，學生在對問題的求解過程中，復習了兩銳角之間的關系：∠A+∠B=90°，三邊之間的關系：a2+b2=c2，以及特殊角的邊角關系。在提出新問題后，學生發現現有的知識儲備無法分析解決不含特殊角的直角三角形的邊角關系問題，從而產生認知沖突。教師明確本節課的學習方向，激發學生的探究興趣。

2. 數形結合，辨析概念

（1）觀察思考

觀察圖2中的Rt△ABC，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2。

圖2

思考：

①三個直角三角形有什么變換關系？

②填空并證明：=__________=__________。

證明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠AC1B1，

∴△ACB∽△AC1B1。

∴=。

同理可得=。

∴==。

幾何畫板演示：改變BC的位置，的比值不改變。

結論：在Rt△ABC中，對于銳角∠A的每一個確定的值，其對邊與鄰邊的比值是唯一確定的。

想一想：對于銳角∠A的每一個確定的值，其對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？

幾何畫板演示：改變BC的位置，BC，AC，AB的長度都在改變，但，，的比值都不改變;但改變∠A的大小，，，的比值都在改變。

（2）定義概念

對于銳角∠A的每一個確定的值，，，的比值唯一確定，因此，，的比值與銳角∠A之間存在某種函數關系。

練習2：如圖15，在邊長相同的小正方形網格中，點A，B，C，D都在格點上，AB，CD相交于點P，則=______，tan∠APD=______。

練習3：在Rt△ABC中，若2AB=AC，則銳角∠C的余弦cos C=______。

【設計說明】在大概念下，要求拓展提升的練習涉及的知識與方法更多，思維更深刻。練習1關聯了圓中的垂徑定理，練習2關聯了相似三角形，繼續深入探究圓中、網格中的三角函數問題。練習3是2019年杭州的一道中考題，學生在無圖的情況下嘗試自己去畫圖，從哪一個角是直角出發去分類討論。學生在分析問題、解決問題的過程中，逐漸形成數形結合思想、建模思想、類比思想等，讓認知向縱深發展，思維向高階邁進。

四、設計反思

1. 大概念教學更加注重概念產生的情境

情境認知理論認為學習是基于情境的，創建有意義的情境背景，有利于概念的建構，并促進知識、技能和經驗的連接。初中數學教學的情境創設，可以來源于生活中的真實背景，從具體事例、實物模型引入，通過小視頻、微課、音樂、故事、游戲等手段展開;也可以著眼于數學本身發展的需要，創設問題情境，用問題串聯已學知識和將學知識。

我們在研究反比例函數、一次函數、二次函數時，通常采用生活情境或問題情境，本文研究的銳角三角函數教材中是以兩個物體在兩個坡角不同的斜面上向上運動為背景引入課題，教師也可以設計學生熟悉的問題情境，如山坡、屋頂的斜面，或用木板現場搭建斜面等，但這些生活情境的創設缺乏數學知識本身的前后邏輯聯系，因此本案例基于函數大概念，通過問題前測，從學生已有的經驗—直角三角形的三邊關系、兩銳角之間的關系、特殊直角三角形的邊角關系出發繼續探究，提出的新問題使學生產生了認知沖突，發現現有的知識儲備無法解決問題，從而激發學生對直角三角形邊角關系的繼續研究。

斯皮羅認為，結構良好領域的有關某一主題的概念，它們之間是以一定的層次結構組織在一起的。基于大概念設計概念產生的背景，并不拘泥于生活中的具體情境，可以根據教學內容和本質，從數學內部的問題出發，結合教學內容所在的大概念單元內的知識點以及各知識點之間的結構、走向和邏輯鏈，從特殊到一般，產生認知沖突，走向升華，這也反映了基于大概念設計教學寬廣的角度。

2. 大概念教學更加注重學生的數學現實

“數學現實”指的是學生已有的知識經驗、思維方式、解題策略以及有關的數學知識結構。數學學習是新知識與學生已有數學現實相互交融的過程，有效的課堂教學設計應從學生已有的認知水平和經驗出發，因此，基于大概念下預設的問題和探究都要符合大多數學生的知識基礎和認知規律。在此基礎上學生積極、主動地參與到課堂教學活動中來，親歷觀察分析、猜測驗證等活動與體驗，學習構建新的知識，并很好地將知識遷移到新的情境中，提高思維層次，提升數學素養。

學生在學習銳角三角函數前，已經學習了勾股定理、特殊直角三角形的邊角關系、函數的概念、相似三角形等，通過學習研究反比例函數、一次函數、二次函數，學生還在一定程度上具備了研究函數的經驗，因此，在設計銳角三角函數的教學過程中，教師可以基于函數這個大概念，從概念、圖象（高中內容）、性質和應用幾個方面去研究銳角三角函數。通過問題情境，學生從已學直角三角形的邊邊關系、角角關系自然過渡到要學習的邊角關系;在學習了銳角三角函數的概念后，學生又基于概念探究了銳角三角函數的值域、增減性、互余兩角及同角三角函數之間的一些簡單的恒等關系、sin A與cos A的大小比較等。

了解學生的數學現實，既要了解學生學習該概念時已有的知識背景（包括知識技能和方法），也要了解學生學習該概念的生活經驗和學習經驗，還要關注學生學習的興趣、積極性、學習習慣和方法，更要考慮學生學習該概念可能遇到的困難和困惑。總之，教師若能讀懂學生認知、讀懂課堂生成、讀懂學生“困惑”，就能更好地處理“學”與“教”的關系，課堂中也會碰撞出更多精彩“意外”的知識生成，使教學更有實效，學生也會更樂于思考、勤于思考、善于思考。

3. 大概念下的變式是理解概念的有效途徑

顧泠沅教授在系統地分析和綜合了變式教學的概念后，確認和說明了兩種變式：“概念性變式”和“過程性變式”。概念性變式旨在對概念的多角度理解，本質不變，形式改變，著眼于概念形成以后的深度學習，使學生通過對概念多角度、全方位、廣層次的理解，深層把握概念的本質。過程性變式重在數學活動的有層次性推進，促進學生分步解決問題，積累多種活動經驗。

本節課的設計多次采用了概念性變式和過程性變式，學生在學習了銳角三角函數的概念后，在辨析概念時，通過求正放、斜放、倒放的直角三角形中角的正弦、余弦及正切值，多角度地理解銳角三角函數的概念，然后通過求網格、平面直角坐標系、圓等不同圖形中的銳角三角函數，全方位地理解銳角三角函數的概念。在例題解析后，通過變式遷移銳角三角函數在不同圖形和不同條件下的應用，學生同時經歷“有圖—半圖—無圖”的解題變遷，自然地想到去構造直角三角形，廣層次地理解銳角三角函數的概念。拓展提升練習中的條件和圖形都更加復雜，學生繼續深入探究圓中、網格中的三角函數問題，且問題關聯了圓中的垂徑定理、相似三角形等。

數學學習對象是復雜而抽象的，僅用單一的表征形式闡釋概念，學生往往難以理解。概念性變式及過程性變式則能多元表征、多角度闡釋數學對象，將各種表征形式的優點融合，抽象的數學概念或對象就會變得淺顯易懂，深入人心。

本文系浙江省教師教育重點課題“凝練教學主張—名師培訓的理論建構與實踐創新”（課題編號：ZD2019001）階段性研究成果。

（作者單位：1.浙江省杭州市余杭區教育發展研究學院;2.浙江省杭州市余杭區臨平第五中學）

責任編輯：趙繼瑩

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