薄壁箱梁約束扭轉二次剪力流的分解計算方法研究

張元海，周鵬杰，林麗霞

(蘭州交通大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730070)

在實際工程結構中，薄壁箱梁的扭轉問題幾乎都表現為約束扭轉，約束扭轉分析是薄壁箱梁理論研究的重要內容之一。多年來，許多學者針對薄壁箱梁的約束扭轉問題，開展了大量研究工作。鮑永方等[1]結合純閉口截面懸臂箱梁算例，對比分析了烏曼斯基理論、瑞斯勒理論及廣義坐標法計算約束扭轉翹曲正應力的精度，并對烏曼斯基理論中的翹曲約束系數表達式提出了改進建議。徐勛等[2]基于廣義坐標法原理和混合變分原理，建立了薄壁箱梁約束扭轉和畸變效應分析的控制微分方程，結合數值算例，分析了截面翹曲幾何特性及翹曲正應力隨箱梁懸臂板寬度與箱室寬度之比的變化規律。Wang等[3]將薄壁箱梁約束扭轉時橫截面的總扭轉角分解為自由翹曲扭轉角和無翹曲變形的約束剪切扭轉角兩部分，通過約束剪切扭轉角表達約束扭矩，建立了控制微分方程并用初參數法求解，結合數值算例，分析了純閉口截面懸臂箱梁的扭轉角和廣義內力分布。胡啟平等[4]、任揚志等[5]分析了在自由端作用集中扭矩荷載的懸臂箱梁和跨中偏心荷載作用的簡支箱梁的扭轉角、翹曲位移和翹曲正應力，所分析箱梁的橫截面也為無懸臂板的純閉口截面。周履[6]針對帶懸臂板的單室薄壁箱梁，通過扣除截面上因懸臂板的二次剪力流合成的扭矩，建立了按相應的純閉口截面箱梁進行約束扭轉分析的微分方程。張元海等[7]針對帶懸臂板的單室矩形箱梁，研究了偏心軸向荷載作用下的約束扭轉翹曲正應力隨箱室高寬比、翼緣板寬度比等幾何參數變化的影響規律，但沒有涉及二次剪應力的分析。朱德榮等[8-10]分析了特殊支承箱梁及曲線箱梁的約束扭轉性能，結合數值算例，給出了廣義內力分布及翹曲正應力計算結果，但沒有給出二次剪應力的相關結果。Shin等[11]提出了一個分析變截面箱梁約束扭轉性能的變截面箱梁單元，通過計算變截面懸臂箱梁算例的扭轉角和翹曲位移并與板殼單元和鐵木辛柯梁單元計算結果對比，驗證了單元的有效性。楊綠峰等[12]、Kermani等[13]及Kim等[14]也用一維梁段有限元法開展了薄壁箱梁的約束扭轉分析，其中Kermani的箱梁單元還考慮了畸變效應。喬朋等[15]用Ansys建立單箱雙室及三室波形鋼腹板組合箱梁的三維有限元模型，引入單個腹板彎扭剪應力與全部腹板平均剪應力的比例系數，以反映偏心荷載作用下箱梁腹板剪應力的非均勻分布程度，結果表明，腹板剪應力非均勻分布系數可達到4.5以上。馬磊等[16]推導了單箱雙室波形鋼腹板組合箱梁的約束扭轉和畸變翹曲微分方程，結合縮尺箱梁模型，分析了寬跨比、高跨比、波形鋼腹板的波長及波折角度等參數變化對翹曲正應力的影響，但沒有涉及二次剪應力的參數影響分析。楊丙文等[17]根據薄壁箱梁約束扭轉分析的烏曼斯基理論，對波形鋼腹板單室箱梁在偏載作用下的約束扭轉翹曲正應力和剪應力進行了計算分析，然而，計算的箱梁橫截面剪應力分布圖形表明，在懸臂板的懸臂端部不僅出現了剪應力，而且其值比根部的剪應力更大，這顯然不符合實際。在項海帆等[18]和郭金瓊等[19]主編的研究生教材中，也給出了類似的在箱梁懸臂板端部有二次剪應力的算例。這說明對于帶懸臂板的箱梁，所采用的約束扭轉二次剪應力計算方法是不合理的。綜上所述，在已有的薄壁箱梁約束扭轉分析的相關文獻中，更多關注的是約束扭轉翹曲正應力和扭轉角等，很少涉及二次剪應力計算，而且不少文獻中的分析對象為無懸臂板的純閉口箱梁，這就避開了因懸臂板的存在對箱梁橫截面二次剪力流分布的影響問題。事實上，由于主應力受剪應力的影響很敏感，因此，合理計算薄壁箱梁約束扭轉二次剪應力也是很重要的，特別是對主拉應力驗算。徐棟等[20]針對目前薄壁箱梁上下翼緣板存在斜裂縫的情況，指出現行橋梁設計規范在驗算體系上的缺失，薄壁箱梁翼緣板面內剪應力的合理計算是主拉應力驗算的基礎。

為了克服已有文獻中計算二次剪力流時的不合理性，本文在薄壁箱梁經典理論基礎上，提出一種適用于約束扭轉二次剪力流的分解計算方法，建立二次剪力流的實用計算公式，并揭示懸臂板寬度變化對二次剪力流和二次扭矩的影響規律。

1 懸臂板上的二次剪力流分析

圖1(a)所示為具有豎向對稱軸的單箱單室梯形箱梁橫截面簡圖，O為截面扭轉中心，x軸為過扭轉中心的水平軸，y軸為豎向對稱軸，z軸為過扭轉中心的箱梁縱軸。箱室頂板、底板及懸臂板的寬度分別為b、a、c，梁高為h；tu、tb、tw分別為箱梁頂板和懸臂板、底板、腹板的厚度。A和A′為懸臂板厚度中心線上對稱于y軸的任意兩點，其位置由s坐標確定，s坐標的原點位于懸臂板自由端。圖1(b)和圖1(c)中示出了A和A′處的微元體位置及受力簡圖。

圖1 箱梁截面及微元體受力圖

由A點處微元體的縱向平衡條件，可得

(1)

式中：σωc為約束扭轉翹曲正應力；qωc為約束扭轉二次剪力流。

根據薄壁箱梁的約束扭轉理論[19]，懸臂板上A點處的縱向翹曲位移wA為

wA(z,s)=-β′(z)ωA(s)

(2)

式中：β′(z)為橫截面的廣義翹曲位移；ωA(s)為懸臂板A點處的廣義主扇性坐標，根據薄壁箱梁廣義主扇性坐標計算原理，ωA(s)可按下列公式計算

ωA(s)=ωF+ρc(c-s)

(3)

式中：ρc為扭轉中心至A點處板厚中心線的垂直距離；ωF為懸臂板根部(腹板與上翼緣板交點處)的廣義主扇性坐標。

由式(2)可知，A點處的翹曲正應力為

(4)

式中：E為彈性模量。

將式(4)代入式(1)并對s進行積分，由于懸臂板自由端處的二次剪力流為零，則A點處的二次剪力流為

(5)

在式(5)中，令s=c，可得A點所在懸臂板根部的二次剪力流qωF為

(6)

本文在描述懸臂板上A點處二次剪力流的方向時，均是針對箱梁正橫截面(即其外法線方向與z軸正向一致的橫截面)而言的，故在圖1(a)所示橫截面上，當A點處的二次剪力流方向與s方向一致時為正，反之為負。若按式(5)求得的A點處二次剪力流為負值，則表明該點的二次剪力流方向向左，即指向自由端。

(7)

綜上分析，本文論證了箱梁兩側懸臂板上對稱于y軸的任意兩點A和A′處的二次剪力流大小相等，方向也相同(都指向左側或右側)，在一側懸臂板根部流入箱室的二次剪力流必然等于從另一側流出箱室的二次剪力流，其大小按式(6)計算。

2 閉合箱室上的二次剪力流分析

閉合箱室壁厚中心線上任一點處的二次剪力流qωb由兩部分組成，一部分是由于懸臂板根部的二次剪力流qωF流入箱室并重分布后所引起的二次剪力流qωb1，另一部分是由于閉合箱室上的翹曲正應力沿縱向變化所引起的二次剪力流qωb2。

圖2 懸臂板二次剪力流進入箱室后的分布

(8)

(9)

在腹板和底板上產生的二次剪力流為qωb10。

閉合箱室上的第二部分剪力流qωb2同樣可通過分析微元體的縱向平衡求得

(10)

(11)

(12)

(13)

本文建立的閉合箱室二次剪力流分解計算公式已考慮了懸臂板的影響，具有物理意義明確且計算不易出錯的特點。具體計算時，只需考慮閉合箱室部分，不受懸臂板的干擾，有助于克服對二次剪力流的計算錯誤。

3 二次扭矩分析

箱梁橫截面上的二次扭矩Mω同樣由兩部分組成，即Mω=Mωc+Mωb，其中Mωc為懸臂板提供的二次扭矩，Mωb為閉合箱室提供的二次扭矩。Mωc又由兩部分組成，即Mωc=Mωc1+Mωc2，其中Mωc1是由兩側懸臂板上的二次剪力流合成的扭矩，而Mωc2是由懸臂板根部的二次剪力流qωF流入閉合箱室后，在閉合箱室內引起的二次剪力流所合成的扭矩。

兩側懸臂板上的二次剪力流合成的二次扭矩Mωc1為

(14)

將式(5)代入式(14)，經積分并整理后，可得

(15)

由圖2可知，經懸臂板根部流入閉合箱室的二次剪力流在閉合箱室內重分布后所合成的二次扭矩Mωc2為

Mωc2=∮qωb10ρds-qωFρcb

(16)

式中：ρ為扭轉中心至閉合箱室壁厚中心線上任一點處切線的垂直距離。

將式(6)和式(8)代入式(16)，可得

(17)

式中：Ω為閉合箱室壁厚中心線所包圍面積的2倍。

由薄壁箱梁的廣義主扇性幾何特性可知

(18)

由式(17)和式(18)，可得

Mωc2=-Eβ?ωFctu(2ωF+ρcc)

(19)

將式(15)與式(19)相加，即得懸臂板提供的二次扭矩為

(20)

由閉合箱室上翹曲正應力沿縱向變化所引起的二次剪力流所合成的二次扭矩Mωb為

(21)

對式(21)中的積分進行分部積分并整理，可得

(22)

將式(20)與式(22)相加，可得箱梁全截面上的二次扭矩為

Mω=Mωc+Mωb=-EIωβ?

(23)

式中：Iω為箱梁全截面的廣義主扇性慣性矩，Iω=Iωc+Iωb。

至此，已分別推演了箱梁懸臂板和閉合箱室上的二次剪力流和二次扭矩表達式，可以看出，它們都依賴于β?，β?必須通過建立微分方程進行求解。

4 約束扭轉微分方程及其初參數解

根據薄壁箱梁的約束扭轉理論，可建立關于扭轉角φ的微分方程如下

(24)

廣義翹曲位移β′與扭轉角φ之間的關系為

(25)

式中：Mz為箱梁截面總扭矩，它由自由扭轉扭矩Md及二次扭矩Mω兩部分組成；Iρ為極慣性矩。

(26)

(27)

(28)

Mz(z)=M0

(29)

圖3 跨中作用集中扭矩荷載的簡支箱梁

(30)

從而可得箱梁任一截面的廣義位移和廣義內力為

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式中：帶有符號‖l/2的項表示對于z>l/2的截面才需計入該項。將式(32)對z微分兩次即得β?。

5 數值算例分析

圖4 箱梁橫截面尺寸(單位：m)

按本文建立的公式求得跨中左截面的二次扭矩Mω=159 kN·m，自由扭轉扭矩Md=371 kN·m。求得相應的剪力流后再除以壁厚，即得相應剪應力。圖5所示為箱梁跨中左截面(正面)上的總剪應力、二次剪應力及自由扭轉剪應力的分布曲線，其中總剪應力由二次剪應力與自由扭轉剪應力疊加而得。圖5中箭頭方向為剪應力的方向。

由圖5可知：由于腹板上的二次剪應力和自由扭轉剪應力方向相同，疊加后在腹板上產生的最大剪應力為128.4 kPa，其值約為腹板上自由扭轉剪應力的2.1倍；由于在箱梁頂板和底板根部的二次剪應力與自由扭轉剪應力方向相同，故疊加后在箱梁腹板與頂板和底板交界處產生的總剪應力也比自由扭轉剪應力大得多；盡管在箱梁懸臂板厚度中心線上不產生自由扭轉剪應力，但懸臂板上的二次剪應力仍不可忽視，箱梁橫截面上的二次扭矩主要由懸臂板與腹板上的二次剪應力合成。

圖5 箱梁跨中左截面剪應力分布(單位：kPa)

為驗證計算結果的正確性，用本文建立的公式及有限元軟件Ansys中的SHELL63殼單元計算該簡支箱梁距跨中2 m處橫截面上各板件中點處的剪應力，計算結果見表1中。用Ansys有限元計算時，集中扭矩荷載按照沿閉合箱室壁厚中心線均勻分布的剪力流形式，等效施加于跨中截面閉合箱室上各單元的相應節點處。為了消除跨中截面加載時的局部應力影響，故計算截面并未選在跨中截面，而是距離跨中2 m處的截面(該截面距跨中約為一倍梁高)。表1中的相對誤差由本文解與Ansys解的差除以Ansys解得出。由表1可知，除了懸臂板中點處的計算值與Ansys結果誤差稍大外，本文計算結果與Ansys結果總體上吻合良好。

表1 距跨中2 m處橫截面的剪應力比較

為考察懸臂板寬度變化對不同梁高的箱梁二次扭矩的影響，分別選取梁高h為2.12、3.06 m，亦即梁高與箱室寬度之比h/b=0.45、0.65，懸臂板寬度c=0～5.64 m，亦即懸臂板相對寬度比c/b=0～1.2，計算跨中左截面上懸臂板和閉合箱室的二次扭矩比Mωc/Mωb。圖6為二次扭矩比Mωc/Mωb隨懸臂板相對寬度比c/b的變化曲線，由圖6可知：當懸臂板相對寬度比c/b=0.3～0.8時，箱室高寬比相對較大的箱梁的懸臂板承受相對更大的二次扭矩；對于箱室高寬比h/b=0.65的箱梁，當懸臂板相對寬度比c/b>0.55時，二次扭矩比Mωc/Mωb>1.0，但當c/b>0.8后，二次扭矩比Mωc/Mωb<1.0，當c/b=0.65時，二次扭矩比Mωc/Mωb達到最大值1.06，此時，懸臂板在箱梁抗扭中的作用得到充分發揮；對于箱室高寬比h/b=0.45的箱梁，要使二次扭矩比Mωc/Mωb>1.0，則要求懸臂板相對寬度比c/b>0.95，亦即需要寬度更大的懸臂板。

圖6 二次扭矩比Mωc/Mωb隨懸臂板相對寬度比變化曲線

為了考察二次剪應力對總剪應力的貢獻，并在自由扭轉剪應力基礎上計算總剪應力，引入剪應力系數η，其定義為截面上任一點處的總剪應力與自由扭轉剪應力之比。圖7為箱梁的懸臂板相對寬度比c/b分別為0、0.4、0.8時，跨中左截面腹板上的剪應力系數η沿梁高的分布曲線，圖中的橫坐標為腹板上任一點的豎向坐標yw與梁高h之比，yw的原點位于腹板頂端。

圖7 腹板剪應力系數沿腹板高度的分布曲線

由圖7可知：當懸臂板相對寬度比c/b=0.4時，腹板剪應力系數的最大值達到2.3，比無懸臂板和長懸臂板時腹板的剪應力系數都要大；隨著懸臂板相對寬度比c/b的增大，腹板剪應力系數最大的點位趨近于腹板底部；當懸臂板相對寬度比很大時，例如c/b=0.8時，腹板底部與頂部的剪應力系數相差也很大。

6 結論

(1) 以薄壁箱梁約束扭轉分析的經典理論為基礎，從分析微元體的縱向平衡出發，提出了約束扭轉二次剪力流的分解計算方法，導出了計算懸臂板及閉合箱室上的二次剪力流和二次扭矩的實用公式，通過數值算例，驗證了本文方法的合理性。

(2) 與純閉口截面薄壁箱梁不同，帶懸臂板的薄壁箱梁在閉合箱室內除產生因翹曲正應力沿縱向變化引起的二次剪力流外，還有從懸臂板根部流入閉合箱室內并經重分布后產生的二次剪力流。建立的閉合箱室二次剪力流分解計算公式具有物理意義明確且計算簡便的特點，有助于克服目前二次剪力流計算方法的不合理性。

(3) 盡管懸臂板在箱梁自由扭轉中承受的扭矩很小，但在約束扭轉中承受的二次扭矩相當可觀，甚至會超過閉合箱室承受的二次扭矩。對于箱室高寬比h/b較大的箱梁，當懸臂板寬度與閉合箱室寬度之比為0.65時，懸臂板承受二次扭矩的作用可得到充分發揮。

(4) 受二次剪力流的影響，箱梁全截面上的最大剪應力發生在腹板內。當懸臂板寬度與箱室寬度之比為0.4時，腹板上剪應力系數的最大值可達到2.3。隨著懸臂板寬度與箱室寬度之比的增大，腹板上剪應力系數最大的點位逐漸趨近于腹板底部。

(5) 本文分析中采用了薄壁箱梁約束扭轉經典理論中的剛周邊假設，即梁體橫截面扭轉后在固有截面內的投影形狀不變。對于懸臂翼緣板寬度很大的箱梁如展翅梁，懸臂板是否作為整個梁截面的有效組成部分按剛周邊假設工作，尚需進一步開展研究。