三階線性自抗擾控制器的液壓伺服流量控制

趙 爽， 史紅偉， 劉小松， 李鵬程， 左 越

(1.長春理工大學電子信息工程學院,吉林長春 130022；2.長春水務集團城市排水有限公司西郊污水處理廠，吉林長春 130022)

引言

電液伺服系統(tǒng)由于具有功率質量比高、負載剛度大、有效載荷能力強、響應速度快等特點，被普遍應用在航空航天、武器裝備、能源冶金、海洋設備、礦山機械等方面[1-3]。然而電液伺服系統(tǒng)是一類具有大范圍復雜不確定性系統(tǒng)，本身存在多種非線性和時變因素[4]，導致電液伺服控制系統(tǒng)的動態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性很難達到較好的控制效果。如何抑制液壓伺服系統(tǒng)未知非線性擾動，提升系統(tǒng)跟蹤性能的同時抑制系統(tǒng)超調一直是研究人員關注的熱點。

目前電液伺服系統(tǒng)的控制方法主要有：以PID、變結構滑模控制、反步控制為主的經(jīng)典控制；以遺傳算法、模糊控制為代表的智能控制；以擴張狀態(tài)觀測器為手段的自抗擾控制，三大類算法單獨或相互配合控制。文獻[5]采用對輸入輸出同時跟蹤的雙跟蹤微分器，結合基于fal函數(shù)的非線性PID，解決了非對稱液壓缸在負載發(fā)生變化時產(chǎn)生的位移跌落和速度振蕩，但對于系統(tǒng)響應的超調并未給出合理的解決辦法。文獻[6]對電液伺服變量泵執(zhí)行機構采用 “大偏差大控制力，小偏差微控制力” 的分段非線性PI控制算法，解決了動態(tài)誤差與控制器參數(shù)不匹配問題，降低了系統(tǒng)超調，但沒有完全抑制，且動、靜態(tài)都存在于非線性擾動引起的響應波動。

為克服PID算法在液壓伺服系統(tǒng)上的控制局限，將其與神經(jīng)網(wǎng)絡[7]、模糊自適應[8-12]、遺傳算法[13]等智能控制算法聯(lián)合設計控制器，發(fā)揮PID控制優(yōu)勢的同時，配以智能控制算法彌補其不足。例如文獻[14]為抑制水上液壓電機的風速擾動引起的功率波動，采用模糊PID調節(jié)泵排量，從而得到最優(yōu)的液壓泵轉矩，以更快的速度和更小的穩(wěn)態(tài)振蕩提供了更好的跟蹤效果，抑制了來自風速擾動的功率波動。

滑模變結構控制由于在解決非線性參數(shù)攝動問題上具有獨特優(yōu)勢而被廣泛應用于液壓伺服系統(tǒng)控制中。文獻[15]通過設計一種光滑連續(xù)一階可導的滑模控制率并結合反步遞推控制算法，很好地解決了滑模與反步控制算法間的設計沖突，有效抑制了閥控電液伺服系統(tǒng)未知匹配干擾和輸出抖動；文獻[16]采用高階滑模微分器觀測系統(tǒng)未知狀態(tài)，在控制器中引入描述系統(tǒng)響應的指標函數(shù)，獲得較PID算法更快的跟蹤速度和更好的穩(wěn)態(tài)性能。然而滑動超平面的選取和等效控制率的設計增加了控制器的設計難度。

基于擾動觀測器對系統(tǒng)未知狀態(tài)的估計作用，將狀態(tài)觀測器與其他控制策略相結合，對液壓伺服系統(tǒng)取得了一定的控制效果。文獻[17]為解決液壓子系統(tǒng)間的強耦合作用，提出了基于反步滑膜魯棒控制和狀態(tài)觀測器的復合非線性解耦控制率，消除了位置跟蹤子系統(tǒng)和速度平滑子系統(tǒng)間耦合作用對系統(tǒng)響應的干擾，實現(xiàn)了系統(tǒng)的跟蹤控制和速度的平滑調節(jié)，提高了系統(tǒng)的魯棒性和協(xié)調性。文獻[18]為解決單桿電液伺服系統(tǒng)未知狀態(tài)較多，且能量利用率較低的問題，利用狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)未知狀態(tài)，提出了一種基于非線性擾動觀測器與輸出反饋相結合的控制器，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和能量利用率。文獻[19]為消除系統(tǒng)動力學非線性對輸出響應的干擾，利用泵控液壓系統(tǒng)的等效非自治模型，對動力學中影響控制性能的集總未知項作為擴張狀態(tài)，提出了一種先進的高階擾動觀測器，并進一步結合魯棒滑模控制，設計了先進位置控制器，使系統(tǒng)在有界時變干擾下，提升了系統(tǒng)響應的漸近跟蹤性能。

由于ADRC算法無需預知被控對象模型，能夠同時抑制被控系統(tǒng)內、外的線性或非線性未知干擾，被廣泛用于解決液壓伺服系統(tǒng)輸出擾動問題。文獻[20]為減小因擴張狀態(tài)觀測器產(chǎn)生的相位滯后，提高系統(tǒng)響應速度，設計了一階ADRC與位置反饋閉環(huán)相結合的控制器，提升系統(tǒng)響應速度的同時抑制了非線性擾動。文獻[21]為消除電液負載敏感伺服系統(tǒng)中閥控子系統(tǒng)與泵控子系統(tǒng)間的強耦合作用，設計二階位置ADRC和一階壓力ADRC，有效地消除子系統(tǒng)間的強耦合。然而由于ADRC涉及非線性函數(shù)，導致參數(shù)較多且整定復雜，難以單獨在工控領域得到廣泛應用，迫切需要一種能實現(xiàn)ADRC控制效果，且參數(shù)較少、整定辦法簡單的控制策略。

為解決ADRC參數(shù)整定困難，LADRC被廣泛研究與應用。文獻[22]推導并驗證了高階LADRC基于李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性，實現(xiàn)三階LADRC對非線性的一級倒立擺系統(tǒng)的控制，減少整定參數(shù)的同時獲得了較ADRC更快的跟蹤速度和超調抑制能力，為LADRC在非線性系統(tǒng)上的工控應用提供了理論支撐和算例驗證。

為進一步提高液壓伺服系統(tǒng)的控制性能，提出將高階LADRC控制策略應用于非線性的液壓伺服系統(tǒng)，基于三階LADRC結構和基于控制器帶寬的線性誤差反饋控制率參數(shù)整定辦法，通過將跟蹤誤差前饋與擾動估計反饋相分離的控制器結構，設計了一種改進的三階LADRC算法。通過對比傳統(tǒng)三階LADRC、PID算法和改進的三階LADRC對被控對象模型仿真分析，驗證了改進的三階LADRC算法在擾動抑制、克服超調等方面更具有優(yōu)勢，為一類三階大范圍不確定液壓伺服系統(tǒng)的控制研究提供了有力的參考。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

液壓伺服閥控系統(tǒng)組成如圖1 所示，主要包括控制器、電液伺服閥、液壓馬達、負載及進出口油液壓力傳感器，通過測量液壓馬達出口流量，構成閉環(huán)反饋。

圖1 液壓伺服閥控系統(tǒng)組成

閥控液壓馬達作為一種常用的液壓動力元件，建立滑閥的流量方程、 液壓馬達流量連續(xù)性方程及液壓馬達和負載的力平衡方程3個基本方程[23]，對應的3個拉氏變換分別如式(1)～式(3)：

QL=KqXv-KcpL

(1)

(2)

pLDm=Jts2θm+Bmsθm+Gθm+TL

(3)

式中,QL—— 伺服閥負載流量

Kq—— 伺服閥流量增益

Xv—— 伺服閥閥芯位移

Kc—— 伺服閥流量壓力系數(shù)

pL—— 液壓缸負載壓降

Dm—— 液壓馬達的排量

θm—— 液壓馬達的轉角

Ctm—— 液壓馬達的總泄漏系數(shù)

Vt—— 液壓馬達兩腔及連接管道總體積

βe—— 液壓油有效彈性模數(shù)

Jt—— 液壓馬達和負載折算到馬達軸上的總慣量

Bm—— 液壓馬達和負載的黏性阻尼系數(shù)

G—— 負載的扭轉彈簧的剛度

TL—— 作用在馬達上的任意外負載力矩

聯(lián)立式(1)和式(2)消掉QL得pL，如式(4)：

(4)

式中,Kce是總流量壓力系數(shù)，如式(5)：

Kce=Kc+Ctm

(5)

將式(5)帶入式(4)后，再帶入式(3)得到式(6)：

(6)

設液壓固有頻率ωh如式(7)，液壓阻尼比ξh如式(8):

(7)

(8)

基于被控系統(tǒng)的實際情況，給出以下合理假設：

(1) 負載的扭轉彈簧的剛度G=0；

(3) 負載黏性阻尼系數(shù)Bm很小。

將式(7)、式(8)帶入式(6),并經(jīng)合理化簡得到液壓馬達轉角方程式(9)：

(9)

進一步得到液壓馬達軸的轉角對外負載力矩的傳遞函數(shù)，如式(10)：

(10)

液壓馬達軸的轉角對閥芯位移的傳遞函數(shù)如式(11)：

(11)

帶入系統(tǒng)辨識參數(shù)得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如式(12)：

(12)

可見該液壓伺服流量開環(huán)系統(tǒng)是一個高增益，三階且不可降階，阻尼系數(shù)較小，同時包含一階積分與二階震蕩環(huán)節(jié)，且3個極點距離較遠的復雜被控對象。

2 三階LADRC設計

針對一類高階不確定非線性SISO系統(tǒng)，傳統(tǒng)LADRC方案，包含線性跟蹤微分環(huán)節(jié)(LTD)、線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)和線性誤差反饋控制率(LSEF)三部分。

2.1 線性跟蹤微分環(huán)節(jié)

該環(huán)節(jié)是對系統(tǒng)輸入的跟蹤及其一階、二階微分，即通過提取輸入信號的位置、速度和加速度等動態(tài)特征實現(xiàn)給定輸入的平滑過渡。本質上該環(huán)節(jié)也是一種擴張狀態(tài)觀測器，除對給定輸入的跟蹤、及其一階、二階微分這3個狀態(tài)外，還擴張了第4個狀態(tài)用于估計跟蹤微分器的誤差。對于頻繁改變給定輸入信號的被控系統(tǒng)，尤其是采用“利用偏差消除偏差”的控制策略時，跟蹤微分環(huán)節(jié)是抑制系統(tǒng)超調的有效方法。

三階線性跟蹤微分器如式(13)：

(13)

式中,v0為給定輸入信號；R為跟蹤速度調節(jié)因子，R值越大對輸入信號的跟蹤能力越強，在文獻[18]中給出了基于李雅普諾夫的系統(tǒng)收斂性的證明，R值并不能無限大，通常在(10,50)區(qū)間內進行參數(shù)調節(jié)即可滿足跟蹤性能要求。

2.2 線性擴張狀態(tài)觀測器

作為自抗擾控制算法的核心環(huán)節(jié)，擴張狀態(tài)觀測器結合現(xiàn)代控制理論中的觀測器與擾動估計技術，將開環(huán)系統(tǒng)響應中異于觀測標準型的部分全部視為擾動并反饋消除。

線性擴張狀態(tài)觀測器對非線性系統(tǒng)具有較好擾動估計和標準化改造效果，考慮控制器在工程實踐中的可實現(xiàn)性與參數(shù)整定的難易程度，本研究采用基于觀測器帶寬參數(shù)整定的LESO，算法如式(14)：

(14)

設ωo為觀測器帶寬，則根據(jù)極點配置法如式(15)：

(s+ωo)4=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4

(15)

則LESO的參數(shù)可由觀測器帶寬按式(16)給出：

(16)

2.3 線性誤差反饋控制率

在LADRC中，LESF最為常用的是基于控制器帶寬ωc進行參數(shù)整定的PD組合形式。在二階控制器中這種反饋控制率可以理解為：對輸入信號的跟蹤v1與對輸出信號的跟蹤z1間的偏差作為比例控制的輸入；通過輸入跟蹤信號的一階微分v2與輸出跟蹤信號的微分z2間的偏差，作為自帶微分作用的輸入信號，經(jīng)簡單的放大或縮小實現(xiàn)微分控制。然而在三階LADRC中，隨著控制器的階數(shù)提高，相對于二階LESO，三階LESO中增加了對輸出跟蹤信號的二階微分信號，該信號反映了系統(tǒng)輸出的變化趨勢，為與之相匹配，在2.1節(jié)LTD的設計中也包含了對輸入信號的二階微分v3。

大多LADRC設計并沒有引入TD的跟蹤誤差，這在給定輸入基本不發(fā)生大范圍變化時是可行的，但對于需要頻繁改變給定輸入流量的工程需求，引出輸入信號的跟蹤誤差是十分有必要的，因為LESO本質上觀測的是控制輸入u與系統(tǒng)輸出間異于標準型的總擾動，并不包含對輸入信號的跟蹤誤差，增設一路反饋匯總兩者作用，在控制輸入前抵消掉匯總后的擾動，實現(xiàn)真正意義上的總擾動補償。

線性誤差反饋控制率設計如式(17)：

u=a1e1+a2e2+a3e3+a4e4

(17)

式中，ei=vi-zi，i=1,2,3,4。

2.4 三階LADRC結構

綜合上述各環(huán)節(jié)設計，三階LADRC結構如圖2所示，其中b0為控制器增益。

圖2 三階LADRC結構

2.5 LESF參數(shù)整定方法

為使參數(shù)整定辦法具有普適性，在分析參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響時，應選擇較為典型且包含一階積分環(huán)節(jié)的三階系統(tǒng)，如式(18)：

(18)

按照本節(jié)的設計，在Simulink中構建如圖3所示的三階LADRC。

按文獻[22-24]給出的2種LESF參數(shù)整定辦法分別如式(19)和式(20)：

a1=a4=1，a2=a3=3

(19)

(20)

圖3 基于Simulink搭建的控制器仿真結構

并取ω0=300,b0=30,R=50，ωc=10，系統(tǒng)輸出響應如圖4所示。

圖4 LESF參數(shù)選取

2種反饋控制率都能夠很好的抑制未知擾動，盡管都存在一定的超調，但后者在跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)性能上較前者具有明顯優(yōu)勢。綜上，選擇基于控制器帶寬參數(shù)整定的誤差反饋控制率。

2.6 改進的LADRC擾動反饋結構

在2.1節(jié)中已明確指出LESF的第4個狀態(tài)v4是對跟蹤誤差的估計值，直接將其與系統(tǒng)總擾動估計值按1∶1比例在控制輸入前分別進行前饋、反饋補償。然而在仿真參數(shù)調節(jié)過程中發(fā)現(xiàn)v4前饋增益的大小對系統(tǒng)超調影響較大，可以緩解系統(tǒng)快速性和超調之間的矛盾。為了驗證該結論，先將跟蹤誤差的前饋和總擾動估計的反饋補償分離，構成如圖5所示的控制器結構，并通過改變a4值的大小改變跟蹤誤差的前饋增益，仿真結果如圖6所示。

當a4在[0.9,1.2]內逐漸遞增時，在保證系統(tǒng)跟蹤的快速性和靜態(tài)響應基本一致的同時，系統(tǒng)超調量逐漸下降。至此，三階LADRC改造完成。

圖5 改進的三階LADRC結構

圖6 跟蹤誤差前饋增益對系統(tǒng)響應的影響

3 仿真分析

在Simulink中搭建系統(tǒng)開環(huán)模型，分別采用PID控制、傳統(tǒng)的三階LADRC(結構如圖3所示)和改進的三階LADRC(結構如圖5所示)對其進行仿真分析。

傳統(tǒng)LADRC參數(shù)：a1=a4=1，a2=a3=3，w0=1000，b0=4.5988e5，R=30；改進LADRC仿真參數(shù)：wc=500，w0=1000，a4=1.1，b0=4.5988e5，R=30；PID控制器參數(shù)：KP=0.6,KI=0,KD=0。

實驗一：給定終值為1，起始時間為0.2 s的階躍信號，系統(tǒng)內部附加幅值范圍[-1,1]的隨機噪聲，添加位置如圖7所示，仿真結果如圖8所示。

圖7 隨機噪聲添加位置示意圖

針對該類高增益復雜被控對象，傳統(tǒng)的三階LADRC不能獲得滿意的控制效果，且針對內外擾動復雜、擾動幅度較大的欠阻尼系統(tǒng)，在跟蹤速度基本一致的情況下，PID算法將擾動抑制在20%范圍內，改進的三階LADRC算法有效的將擾動抑制在1%范圍內，驗證了改進的LADRC較PID算法具有更好的擾動抑制能力。

圖8 階躍輸入下的系統(tǒng)響應

實驗二：在0.2 s給定終值為1的階躍輸入，并在0.3，0.5，0.8，1.0 s增加終值分別為1，1，1，-2的階躍輸入，系統(tǒng)內附加噪聲同實驗一，仿真結果如圖9所示。

圖9 改變階躍輸入下的系統(tǒng)響應

在頻繁改變階躍輸入時，PID控制算法存在一定的震蕩、超調，尤其對于液壓馬達閥控系統(tǒng)這種開環(huán)增益較大的被控對象，超調會對系統(tǒng)造成一定的沖擊和負擔。在跟蹤速度基本一致情況下，改進的三階LADRC算法能夠平穩(wěn)無超調進入終值，驗證了改進的LADRC具有較PID更強的抑制超調能力。

實驗三：給定峰-峰值為1，頻率為5 rad/s的正弦信號，系統(tǒng)內附加噪聲同實驗一，仿真結果如圖10所示。

在給定正弦信號輸入時，PID算法控制下的系統(tǒng)響應在峰值附近超調現(xiàn)象比較嚴重；改進的LADRC算法能夠無超調、無靜差的平滑跟蹤給定的正弦信號，驗證了改進的LADRC具有較PID更平穩(wěn)的跟蹤能力。

4 結論

通過將高階線性自抗擾控制器的結構和傳統(tǒng)LADRC的參數(shù)整定辦法相結合，提出一種改進的三階自抗擾控制器，既突破了高階LESO對一類大范圍不確定性非線性系統(tǒng)的控制局限，有效抑制未知擾動的同時又克服了PID算法在突變輸入下產(chǎn)生的超調。經(jīng)仿真分析與驗證，針對液壓伺服流量控制模型，改進的LADRC具有更強的擾動抑制能力和克服系統(tǒng)超調能力。

圖10 正弦輸入下的系統(tǒng)響應