GeoGebra 軟件在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用舉例

閆永芳

(晉中師范高等專科學(xué)校,晉中 030600)

隨著互聯(lián)網(wǎng)信息化的發(fā)展和應(yīng)用,整個世界、整個社會都在悄悄地發(fā)生著巨大的變化,傳統(tǒng)的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)難以滿足新時期大學(xué)生的需求。 特別是各類教學(xué)軟件的出現(xiàn),給課堂教學(xué)帶來了很多方便,給學(xué)生帶來更多自主學(xué)習(xí)的機(jī)會與更多的學(xué)習(xí)內(nèi)容,同時也給教師提出了更高的要求。 各類教學(xué)平臺的出現(xiàn),給學(xué)生提供了更多的選擇機(jī)會與更多學(xué)習(xí)的機(jī)會,同時也給教師帶來了更多競爭對手。 作為新時期的教師,要接受各類不同的教學(xué)軟件給自己帶來的便利,要接受各類不同的教育平臺給自己提出的更高的要求,同時也要駕馭互聯(lián)網(wǎng)信息化時代給予的各類挑戰(zhàn)。 時代在發(fā)展,學(xué)校也在發(fā)生著翻天覆地的變化,以前需要多媒體教室要提前申請、排隊(duì)等待,現(xiàn)在每個學(xué)校幾乎每個教室都裝有多媒體,從小學(xué)到大學(xué)無一例外,這就要求每個教師都要會使用多媒體教學(xué),要會使用現(xiàn)代化軟件備課,會利用教學(xué)平臺給學(xué)生授課。

作為高校數(shù)學(xué)教師,各類數(shù)學(xué)軟件給我們帶來了很多方便。 數(shù)學(xué)離不開圖形,數(shù)形結(jié)合能夠解決很多數(shù)學(xué)問題,對于數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生而言,數(shù)學(xué)分析中的問題經(jīng)常很抽象,有些復(fù)雜的函數(shù)難以想象出圖象是什么樣子的,而用GeoGebra 軟件能幫助學(xué)生的解決這樣的問題。 用GeoGebra 軟件做數(shù)學(xué)圖形不僅形象而且直觀,還能在教學(xué)過程中顯示同類函數(shù)變化時圖形的變化過程,讓同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中隨著圖形的變化掌握函數(shù)的性質(zhì),從而解決函數(shù)中遇到的各類不同的問題。 GeoGebra 軟件不僅有電腦版還有手機(jī)版,同學(xué)們遇到問題可以隨時隨地用手機(jī)版GeoGebra 軟件作圖解決。 Geo-Gebra 軟件在數(shù)學(xué)分析教學(xué)和學(xué)習(xí)中起著很重要的作用。

在上數(shù)學(xué)分析課程時同學(xué)們經(jīng)常會遇到如下問題:對初等函數(shù)的性質(zhì)沒有完全掌握,對初等函數(shù)中隨著自變量的變化函數(shù)如何變化分析不清楚;當(dāng)初等函數(shù)系數(shù)變化時函數(shù)圖象又如何變化有混亂;求函數(shù)凸凹性拐點(diǎn)、描繪函數(shù)圖象時搞不清楚函數(shù)走向、三角函數(shù)反函數(shù)的圖象畫不出來;不能理解為什么無限接近怎么不相交等問題。 借助于GeoGebra 軟件輔助數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)會起到意想不到的效果,下面舉例介紹GeoGebra 軟件在高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、GeoGebra 軟件在“反三角函數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用

高中課改后,高中數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)三個三角函數(shù),但是考入數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生在微積分中會經(jīng)常遇到余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)三個三角函數(shù),也會經(jīng)常遇到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、切函數(shù)和余切函數(shù)的反函數(shù)。我們在教學(xué)過程中首先要把這些空缺補(bǔ)上,學(xué)習(xí)反函數(shù)要和原函數(shù)對應(yīng)起來,不然三角函數(shù)反函數(shù)的性質(zhì)很難掌握。 下面我們用原函數(shù)的定義域是它的反函數(shù)的值域作三角函數(shù)和對應(yīng)的反三角函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象來看反三角函數(shù)的性質(zhì)。

(一)正弦函數(shù)y=sinx 和反正弦函數(shù)y=arcsinx

由于反函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)必須是單調(diào)的,那么我們?nèi)≌液瘮?shù)y=sinx離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的(- π/2,π/2)這個單調(diào)區(qū)間,它的反函數(shù)寫作y=arcsinx(-1,1),讀作反正弦函數(shù)。 根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)的關(guān)系,我們知道函數(shù)y=sinx的定義域是它的反函數(shù)y=arcsinx的值域,函數(shù)y=sinx的值域是它的反函數(shù)y=arcsinx的定義域。 它們的圖象關(guān)于y=x對稱,同是增函數(shù)(或同是減函數(shù))。知道這些性質(zhì)后,我們能想象反正弦函數(shù)的圖象,但是我們的學(xué)生很難畫出來,那么我們用GeoGebra 軟件輸入y=arcsinx,函數(shù)會出現(xiàn),學(xué)生也會恍然大悟。 我們再在同一坐標(biāo)系中畫出y=sinx的圖象(如圖1)。 根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)比較,同學(xué)們會對反正弦函數(shù)有更新的認(rèn)識,并且能夠記在自己的頭腦中。

圖1

圖2

(二)余弦函數(shù)y=cosx 和反余弦函數(shù)y=arccosx

圖3

同理,我們?nèi)∮嘞液瘮?shù)y=cosx離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的(0,π)這個單調(diào)區(qū)間,它的反函數(shù)寫作y=arccosx(-1,1),讀作反余弦函數(shù)。 用GeoGebra 軟件做出圖象(如圖2),根據(jù)圖象我們來學(xué)習(xí)反余弦函數(shù)的性質(zhì)。

(三)正切函數(shù)y=tanx 和反正切函數(shù)y=arctanx

取正切函數(shù)y=tanx在坐標(biāo)軸附近的一個單調(diào)區(qū)間(- π/2,π/2),它的反三角函數(shù)寫作y=arctanx(-∞,+∞),讀作反正切函數(shù)。 用GeoGebra軟件做出圖象(如圖3),根據(jù)圖象我們來學(xué)習(xí)反正切函數(shù)的性質(zhì)。

(四)余切函數(shù)y=cotx 和反余切函數(shù)y=arccotx

取余切函數(shù)y=cotx在坐標(biāo)軸附近的一個單調(diào)區(qū)間(0,π),它的反三角函數(shù)寫作y=arccotx(-∞,+∞),讀作反余切函數(shù)。 用GeoGebra 軟件做出圖象(如圖4),根據(jù)圖象我們來學(xué)習(xí)反余切函數(shù)的性質(zhì)。

圖4

同理,我們可以用GeoGebra 軟件做出另外兩個三角函數(shù)及它們的反三角函數(shù)的圖象,再按照圖象分析、學(xué)習(xí)它們的性質(zhì)。 在利用GeoGebra 軟件做出的圖象時,要注意講清楚在定義域范圍內(nèi)取函數(shù)圖象,不在定義域范圍內(nèi)的圖象,自己作圖時要舍棄。 結(jié)合GeoGebra 軟件圖象同學(xué)們能很快做出理想的函數(shù)或反函數(shù)的圖象,很好地理解和掌握反三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)。 這樣學(xué)習(xí)不會使同學(xué)們感覺枯燥,如果忘記圖象,還可以用手機(jī)版的Geo-Gebra 軟件畫出圖象,隨時隨地學(xué)習(xí)。

二、GeoGebra 軟件在“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用”教學(xué)中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)我們可以求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值、求函數(shù)的凹凸性,結(jié)合函數(shù)的漸近線,進(jìn)而描繪函數(shù)的圖象。 例如,討論函數(shù)y=e-xsinx的凸凹性和拐點(diǎn),并描繪出函數(shù)的圖象。 按照步驟來分析:

1.函數(shù)y=e-xsinx的定義域是R;

2.函數(shù)y=e-xsinx不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),也不是周期函數(shù),沒有漸進(jìn)線;

3.分別求出函數(shù)y=e-xsinx的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。y′=e-x(cosx-sinx),y〞=-2e-xcosx,確定單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性、拐點(diǎn),令一階導(dǎo)數(shù)y′=0,解得x=kπ+π/4(k∈Z),用他們可求出函數(shù)的極值點(diǎn),令二階導(dǎo)數(shù)y〞=0,解得x=kπ+π/2(k∈Z),將R分為無窮個區(qū)間:…(-3π/2,-π/2),(-π/2,π/2),(π/2, 3π/2),…;

4.列表見表1、表2;

表1 凸凹區(qū)間和拐點(diǎn)表

表2 增減區(qū)間和極值點(diǎn)表

根據(jù)表格可以找到極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、增區(qū)間、減區(qū)間,大致畫出函數(shù)的圖象,但是圖象復(fù)雜,很多同學(xué)還是不能準(zhǔn)確畫出,所以可以用GeoGebra 軟件,直接輸入函數(shù)得到圖象(如圖5),然后對比自己找出的關(guān)鍵點(diǎn)和圖象,放大y軸,確定自己做出的圖象是否正確。

圖5

三、GeoGebra 軟件在“多元函數(shù)微分學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用

我們在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)時經(jīng)常會遇見這樣的問題,如描繪平面區(qū)域的圖象、描繪空間區(qū)域的圖象等。 對于平面區(qū)域圖象,我們能夠想到,但是空間區(qū)域就沒那么好想了,如函數(shù)z=1-x2-y2(如圖6),z=xy(如圖7)(如圖8)等,看似是我們常用的函數(shù),但做它們的圖象也是很不容易的,而借助GeoGebra 軟件,這些函數(shù)的圖象就很容易畫出來了,然后根據(jù)軟件做出的圖象,自己再做就容易多了。

圖6

GeoGebra 軟件在數(shù)學(xué)分析中的求極限、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、求面積等教學(xué)中也起到了很重要的作用,不僅有助于教師教學(xué),更有助于學(xué)生學(xué)習(xí),還能在課后起到很好的輔助作用。 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,可以利用GeoGebra 軟件作圖輔助理解;學(xué)生在做作業(yè)時做不出圖象的,可以通過GeoGebra 軟件做出圖象,便于去理解、體會;教師經(jīng)常用GeoGebra 軟件輔助教學(xué),使同學(xué)們不會再覺得數(shù)學(xué)課堂枯燥無味;學(xué)生經(jīng)常用GeoGebra 軟件輔助學(xué)習(xí),不僅能解決數(shù)學(xué)問題,還能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

圖7

圖8

總之,GeoGebra 軟件在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中能起到很好的輔助作用。 數(shù)學(xué)離不開圖形,有了Geo-Gebra 軟件輔助作圖,凡是數(shù)學(xué)中由于圖形引起的難解之題,都會迎刃而解;凡是圖象和性質(zhì)之類難理解的問題,也都不費(fèi)吹灰之力就能掌握。 在教學(xué)和學(xué)習(xí)中,我們能積極地應(yīng)用GeoGebra 軟件,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣,那么我們的數(shù)學(xué)課堂也會趣味無窮。