基于改進經驗傅里葉分解的工作模態分析

周 偉，馮仲仁，王雄江

(武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070)

隨著大跨橋梁和超高層建筑的興建，近年來健康監測系統在此類大型土木結構中得到廣泛應用。健康監測系統主要目的為對結構的狀態進行實時監測和評估，實現損傷預警，而其基礎為結構的模態參數識別。由于工作模態分析實用且成本低廉，越來越多的研究人員正在探索環境激勵下的模態識別技術[1-5]。

自經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)被運用在模態識別中以來，各地學者致力于將各種非平穩信號分解方法運用至結構模態識別。Perez等利用同步擠壓小波變換(synchrosqueezed wavelet transform，SST)，結合隨機減量技術、Hilbert變換(Hilbert transform，HT)及Kalman濾波，對環境激勵下的四層benchmark框架和實橋進行模態識別[6]。Amezquita-Sanchez等[7]和Xin等[8]分別利用多重信號分類算法和標準自回歸功率譜改進經驗小波變換(empirical wavelet transform，EWT)，并將改進EWT應用于結構的模態識別。Bagheri等[9]將變分模態分解(variational mode decomposition，VMD)應用于結構模態分析中，并使用實驗框架和人行天橋檢驗該方法。上述各種信號分解算法盡管在模態識別中取得一定成績，但也存在一些困難。例如，EMD沒有數學理論基礎，分解的信號分量存在端部效應和模態混淆；SST母小波無自適應性；EWT中濾波器的過渡帶導致密集模態信號分解分量產生混淆；VMD同樣不適用于含密集模態的信號。

近日，為了減輕上述困難，一種新的非平穩信號分解方法被提出，即經驗傅里葉分解(empirical Fourier decomposition，EFD)[10]。該方法結合EWT和傅里葉分解法[11]的思想，具有自適應、數學理論完備和處理密集模態等特點，是一種有應用前景的信號分解方法。然而，與EWT相同，基于傅里葉頻譜峰值進行頻帶分割是EFD的關鍵。對于低信噪比信號，頻譜的毛刺極大地影響了頻帶分割的準確度，這使得EFD無法直接處理環境激勵下結構的振動信號。基于此，本文提出自回歸(auto regression，AR)功率譜對EFD改進,得到改進EFD(improved empirical Fourier decomposition，IEFD)，并對四層模擬框架和某人行斜拉橋進行工作模態分析。此外，利用協方差驅動的隨機子空間(covariance-driven stochastic subspace identification,SSI-cov)分析以對比結果。

1 經驗傅里葉分解及改進

1.1 原始經驗傅里葉分解

經驗傅里葉分解(EFD)通過對原信號的傅里葉譜進行分割，再對每個分割區間進行逆向傅里葉變換，從原信號中提取出不同頻率分量的信號。首先，將原信號傅里葉譜歸一化到區間[0,π]，假定劃分成N個連續的區間，每個區間表示為Ω= [ωi,ωi+1]。確定分割區間后，定義解析傅里葉固有頻帶函數。

將x[n]設置為長度為K的離散時間序列信號，并將離散傅里葉變換應用于x[n]

(1)

(2)

式中：Re{v[n]}表示v[n]的實部；v[n]和v*[n]是復共軛的。v[n]廣義傅里葉級數展開為

(3)

式中：N表示頻譜分割區數。最終，依據頻譜分割區間[ωi,ωi+1]，得解析傅里葉固有頻帶函數

(4)

1.2 改進經驗傅里葉分解

當一個信號被顯著的噪聲或非平穩分量污染時，利用傅里葉頻譜來分割區間是不理想的。針對此問題，本文提出利用AR模型的功率譜進行頻帶分割，以確定解析傅里葉固有頻帶函數的上下限。

假設存在平穩隨機信號序列x(m)為一個AR(p)過程,則該序列有差分方程

(5)

式中，ω(m)是方差為σ2，均值為零的白噪聲激勵信號。AR模型的自相關函數可以用矩陣形式表示為

(6)

式中，rxx()為自相關函數。式(6)描述的線性方程稱為Yule-Walker方程，系數ak和σ2可通過使用Levinson-Durbin遞歸算法求解。該隨機過程的功率譜密度可表示為

(7)

確定AR功率譜之后，本文利用EFD中相同的方法確定分割邊界，進行AR功率譜分割。首先，將AR功率譜歸一化至區間[0,π]，假定將功率譜劃分為N個連續的區間，共需確定N+1個邊界。其次，在功率譜中尋找M個控制點，即初值和極大值。其中，分段數N與控制點數M有如下關系

(1)當M≥N時，功率譜有多余的控制點來確定N個分段，固只保留按降序排列的前N個控制點。

(2)當M

然后，記錄控制點的位置ωn(其中1 ≤n≤N，ω0= 0，ωN+1=π)。前N個邊界定義為區間[ωn-1,ωn]中功率譜最小值ωn，并將這些最小值的集合表示為Ωn，而第N+1個邊界則由ωN和ωN+1的中點確定。AR功率譜分段邊界可描述為

(8)

基于AR功率譜改進的EFD主要分為兩個步驟，IEFD的框架如圖1所示。由圖1可知：第一步，計算處理信號的AR功率譜，確定分割邊界；第二步，根據確定的分割邊界，利用EFD將振動信號分解成若干分量。

圖1 改進經驗傅里葉分解流程圖Fig.1 Flow chart of IEFD

1.3 IEFD與EFD對比

為了對比IEFD和EFD在信號處理中的效果，對加噪的三自由度結構自由振動響應S進行分解。該模擬信號由式(9)給出。

(9)

式中：Ai為幅值；ζi為阻尼比；fi為頻率；R(t)為高斯噪聲；θi為第i階頻率的相位角。本例各參數如表1所示。

表1 含噪合成信號參數Tab.1 Parameters of the synthetic signal

IEFD和EFD對含噪信號S處理的分割區結果如圖2所示。其中，為了提高分割效果的辨識度，將含噪信號S去除噪聲的頻率譜和分割邊界組成圖2。由圖2可知，IEFD相對于EFD，劃分的頻率區間更加合理，每個頻帶只包含一個頻率峰值，即IEFD在處理含噪信號時比EFD有較大優勢。

(a) EFD

2 基于IEFD的模態參數識別

2.1 隨機減量技術

隨機減量技術(random decrement technique，RDT)是一種利用環境激勵下結構響應信號提取自由振動響應的技術。

(10)

設固定值A截取響應u(t)，交于不同時刻tk，u(tk)=A(k=1,2,…,n)。從每個tk開始，截取足夠長的樣本u(t-tk)，并將樣本u(t-tk)的時間起點tk平移至原點，可得初始值為A的隨機子樣本函數yi(t)

(11)

(12)

式中：N為截取的樣本數量；y(t)是初始速度為零、初始位移為A的自由振動響應。

2.2 Hilbert變換

希爾伯特變換(Hilbert transform，HT)由Hilbert提出，即為時間系列u(t)和1/πt的卷積，可表示為

(13)

(14)

式中：A(t)和φ(t)分別為z(t)的瞬時幅值和瞬時相位，各表示為

(15)

(16)

2.3 模態參數識別

基于IEFD的模態識別由圖3所示的步驟組成。第一步，利用IEFD對結構振動信號進行分解，得到振動信號分量及它們的頻率值。第二步，利用RDT提取分量的自由振動響應，并利用多個測點的各階自由振動提取模態振型。第三步，使用HT求得各階自由振動的瞬時幅度。第四步，通過瞬時幅度自然對數值的最小二乘擬合，由式(17)得到各階模態阻尼比。

圖3 基于IEFD的模態識別方法Fig.3 Modal identification method based on IEFD

(17)

式中：ak為阻尼比ζk與角頻率ωk的乘積，可通過最小二乘擬合瞬時幅度自然對數值得到。

為了驗證模態振型的可靠性，引入模態置信準則(modal assurance criterion，MAC)

(18)

式中：φa,j為使用方法a估計的第j階振型向量；φb,j為利用方法b估計的第j階振型向量。

3 四層框架模擬驗證

3.1 框架基本參數

本節采用四層框架結構模型以驗證提出方法的有效性，該結構如圖4所示。結構每層的質量、剛度和阻尼分別為m=100×[20,30,15,30] kg、k=10 000×[15,20,20,30] N/m和c=250×[1,1,1,1] N/(ms)。利用狀態空間法得到四層框架模態參數理論值及隨機激勵下各層振動響應。其中，振動響應的采樣頻率為50 Hz，采樣持續時間為500 s。

圖4 四層框架結構Fig.4 Four layers frame structure

3.2 框架參數識別

利用2.3節描述的步驟，對四層框架進行模態識別。IEFD分解的框架第4層振動響應結果如圖5所示。利用RDT得到圖5中各分量的自由振動響應，如圖6所示。并對其他三層的振動響應同樣進行基于IEFD的模態識別，得到的頻率和阻尼比平均值如表2所示，模態振型如圖7所示。另外，使用SSI-cov對該結構進行模態參數識別，結果同匯總于表2。

(a) 模態1

(a) 模態1

圖7 基于IEFD識別的四層框架模態振型Fig.7 Modal shape of four-story frame identified by IEFD

表2 四層框架模態參數識別結果對比Tab.2 Comparison of modal parameter results for the four-story frame

結果表明，基于IEFD的模態識別方法能夠準確識別四層框架的模態參數。對于固有頻率，SSI-cov和IEFD的結果與理論值基本一致。對于阻尼比，IEFD的結果準確度高于SSI-cov。對于模態振型，以理論值作為計算MAC的參考值，四階模態振型中最小MAC值為0.996，振型識別準確。

4 實橋測試驗證

4.1 測試概況

試驗橋為一座跨度為109 m的人行斜拉橋。該橋橋塔為單A型塔，42 m高，橋面由錨碇在塔頂的七對拉索支撐。加速度傳感器布置如圖8所示，從右到左編號為D1～D4。該測試以128 Hz的頻率進行了1 h的采樣[12]。

圖8 全橋立面及傳感器布置圖Fig.8 Elevation and sensor layout of the test bridge

4.2 參數識別

為了減少激勵噪聲的影響和計算量，本文選取了該測試中1 000 s～2 000 s段的加速度時程作為處理信號，并利用[0.5,3.5]Hz的帶通濾波處理。同樣，采用IEFD和SSI-cov對該斜拉橋進行模態識別，并利用快速傅里葉變換(FFT)識別各測點振動響應的頻率，四測點平均值如表3所示。圖9和圖10分別為IEFD處理D4采集振動信號的分量及各分量的自由振動響應。同時對其他三個測點進行識別，表3匯總各測點識別固有頻率和阻尼比的均值。其中，采用文獻[12]識別的模態振型作為計算MAC值中的參考模態振型。各階模態振型如圖11所示，圖中實線為文獻[12]的識別結果。

(a) 模態1

表3 斜拉橋模態參數識別結果對比Tab.3 Comparison of modal parameter results for the cable-stayed bridge

(a) 模態1

圖11 基于IEFD識別的使用試驗橋模態振型Fig.11 Modal shape of the test bridge identified by IEFD

結果表明，IEFD能夠識別該斜拉橋的模態參數。對于固有頻率，除了SSI-cov第三和第四階模態有差別外，文獻[12]、FFT、SSI-cov和IEFD的結果基本一致。對于阻尼比，文獻[12]和IEFD的結果基本在同一數量級別，而SSI-cov的第三和第四階的結果有一定偏差。對于模態振型，IEFD與文獻[12]相近，同樣，SSI-cov第三和第四階的結果較差。由于該斜拉橋第三和第四階模態較為密集，造成SSI-cov產生虛假的第三階模態，而沒識別出自然頻率為2.24 Hz的模態。因此，針對該含密集模態的斜拉橋，IEFD較SSI-cov更可靠。

5 結 論

基于EFD無法處理低信噪比信號的缺陷，本文利用AR功率譜魯棒性強、分辨率高等特點，對EFD進行改進。通過四層框架和人行斜拉橋的模態分析，得到基于IEFD的模態參數識別如下結論：

(1) 基于AR功率譜分割的EFD能夠處理類似結構環境振動的低信噪比信號，比EFD有較大優勢。

(2) 基于IEFD的模態識別方法能夠較為精確地識別結構模態參數。

(3) 針對含有密集模態的結構，IEFD方法識別的模態參數較為準確，具有一定優勢。