星形四面體型索穹頂構(gòu)形和預(yù)應(yīng)力分析方法

張愛(ài)林,朱莉娜,張艷霞1,,文 聞,林海鵬

(1.北京建筑大學(xué) 北京未來(lái)城市設(shè)計(jì)高精尖創(chuàng)新中心，北京 100044；2.北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 100044；3.北京工業(yè)大學(xué) 北京市高層和大跨度預(yù)應(yīng)力鋼結(jié)構(gòu)工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

索穹頂結(jié)構(gòu)是20世紀(jì)末興起的一種新型大跨度空間結(jié)構(gòu)形式，屬于全張力、自平衡體系。該結(jié)構(gòu)由預(yù)應(yīng)力鋼索及少量的壓桿組成，能充分利用鋼材的抗拉強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)效率高，隨著結(jié)構(gòu)跨度的增加其自重不會(huì)明顯增加，是一種極具應(yīng)用前景的大跨度空間結(jié)構(gòu)形式。

索穹頂結(jié)構(gòu)最早源于Fuller[1]提出的張拉整體體系，即在結(jié)構(gòu)中盡可能的減少受壓狀態(tài)而使結(jié)構(gòu)處于連續(xù)的張拉狀態(tài)。在此理論基礎(chǔ)上，美國(guó)工程師Geiger[2]于1986年提出了Geiger型索穹頂,并在漢城奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館中采用，這是世界上首次在大跨度結(jié)構(gòu)中采用索穹頂結(jié)構(gòu)。雖然該結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，施工難度低，對(duì)施工誤差不敏感，但由于其上弦索之間無(wú)聯(lián)系，抗側(cè)剛度低，當(dāng)荷載達(dá)到一定程度時(shí)容易失穩(wěn)。因此在1996年Levy[3]對(duì)Geiger型索穹頂進(jìn)行改進(jìn)，改善了脊索的布置方式，提出了Levy型索穹頂，并運(yùn)用于亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)體育館中。Levy型索穹頂解決了Geiger型索穹頂環(huán)向剛度不足的問(wèn)題，但其網(wǎng)格分布不均，施工復(fù)雜。之后我國(guó)學(xué)者提出了一系列索穹頂結(jié)構(gòu)形式如：肋環(huán)人字型[4-5]、鳥(niǎo)巢型[6-7]、凱威特型[8-9]、聯(lián)方雙撐桿型[10]、蜂窩四撐桿型[11]、新型脊桿環(huán)撐索穹頂，并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靜動(dòng)力性能分析。但這些索穹頂結(jié)構(gòu)形式均沒(méi)有改善上弦脊索網(wǎng)格分布不均的問(wèn)題。為了優(yōu)化索穹頂結(jié)構(gòu)形式，改善上弦脊索網(wǎng)格質(zhì)量，文章提出了一種星形四面體型索穹頂，并針對(duì)該索穹頂結(jié)構(gòu)給出了在理想狀態(tài)下各索桿初始預(yù)應(yīng)力計(jì)算公式，同時(shí)給出了在不同矢跨比和不同撐桿高度下各索桿內(nèi)力計(jì)算用表，推導(dǎo)了適合該結(jié)構(gòu)的矢跨比以及撐桿高度，并對(duì)該結(jié)構(gòu)的靜力性能及自振特性進(jìn)行了分析，用以說(shuō)明該索穹頂結(jié)構(gòu)索桿預(yù)應(yīng)力分布規(guī)律，驗(yàn)證理論的正確性，以及結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，為后續(xù)研究提供參考。

1 星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)形態(tài)及構(gòu)造特點(diǎn)

星形四面體型索穹頂三維示意圖如圖1所示，該結(jié)構(gòu)由單斜索、雙斜索、單撐桿、雙撐桿、環(huán)索、脊索、剛性環(huán)梁和上內(nèi)環(huán)索組成。與傳統(tǒng)肋環(huán)型和葵花型索穹頂相比，其將豎直的撐桿變?yōu)樾毕驌螚U，且在同一空間高度上雙撐桿與單撐桿交錯(cuò)布置，單斜索與雙斜索交錯(cuò)布置，脊索在環(huán)向上連續(xù)布置。其中斜索、脊索和撐桿組成一個(gè)四面體，并且在四面體中由脊索形成的三角形在水平面上的投影長(zhǎng)度相等，然后由六個(gè)四面體組成星形單體(如圖2(b))且該單體在平面圖上(如圖2(a))的投影面積相同。星形四面體型索穹頂是由數(shù)個(gè)星形單體組成，且由內(nèi)圈向外圈以6的倍數(shù)增加，從而保證了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的均勻性，使結(jié)構(gòu)整體性更好。相較于傳統(tǒng)的索穹頂結(jié)構(gòu)而言，該結(jié)構(gòu)不僅避免了Gerger型索穹頂在環(huán)向上無(wú)聯(lián)系，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)環(huán)向剛度不足的情況，同時(shí)也避免了Levy型索穹頂由于結(jié)構(gòu)構(gòu)件數(shù)量多，施工工作量增大和節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)難度增加的問(wèn)題。

1.雙斜索；2.單斜索；3.雙撐桿；4.單撐桿；5.脊索；6.環(huán)索；7.上內(nèi)環(huán)索；8.剛性環(huán)梁圖1 星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)三維圖Fig.1 3D model of star-tetrahedron typed cable dome

(a) 平面示意

2 星形四面體型索穹頂預(yù)應(yīng)力的簡(jiǎn)捷分析

星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)為沿角對(duì)稱結(jié)構(gòu)，中心孔為正六邊形，對(duì)稱面上有著相同的索桿布置，預(yù)應(yīng)力以及外荷載，因此僅需研究其1/6結(jié)構(gòu)的半榀即可,其示意圖如圖3(a)所示。索穹頂外圍設(shè)置有足夠大剛度的剛性環(huán)梁，其與索穹頂?shù)倪B接可以按不動(dòng)鉸支座考慮，所以該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3(b)所示。

(a) 示意圖

(a) 平面圖

索穹頂初始預(yù)應(yīng)力分析計(jì)算時(shí)所需平面圖與剖面圖如圖4所示，a、b、c、d為環(huán)索、撐桿和斜索的交點(diǎn),將其統(tǒng)一用m表示，rx為平面投影中交點(diǎn)到六邊形中心o的距離；H1為上內(nèi)環(huán)索，Vmi、Ti+1、Bi+1、Hm分別為撐桿、脊索、斜索和環(huán)索內(nèi)力，i代表不同的節(jié)點(diǎn)；αi代表斜索與水平面的夾角，其中α53與α54分別為節(jié)點(diǎn)53與節(jié)點(diǎn)54形成的脊索與水平面的夾角；βi為斜索與水平面的夾角，ξm為經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的撐桿與水平面形成的夾角，ξc3與ξc4為由節(jié)點(diǎn)c3與節(jié)點(diǎn)c5形成的撐桿與水平面的夾角；φi,i+1為由節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)i+1形成的撐桿與對(duì)稱軸線的夾角；hαi為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)i+1在剖面圖上的垂直長(zhǎng)度，hβi為節(jié)點(diǎn)i與其相連交點(diǎn)的垂直長(zhǎng)度與hαi的差值。

根據(jù)圖4所示的幾何關(guān)系，可求得各索桿與水平面夾角，以及與對(duì)稱軸線之間的夾角等。以索穹頂內(nèi)環(huán)雙撐桿的實(shí)際內(nèi)力Va1為基準(zhǔn)，利用節(jié)點(diǎn)平衡法推導(dǎo)1、2、a和b節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各索桿的內(nèi)力，如式(1)～(4)所示：

節(jié)點(diǎn)1：

(1)

節(jié)點(diǎn)a：

(2)

節(jié)點(diǎn)b:

(3)

節(jié)點(diǎn)2:

(4)

(5)

F3x,F3y，F(xiàn)3z分別為節(jié)點(diǎn)3上的已知外力在x，y，z方向上的分量，其計(jì)算式如式(6)

F3x=T3cosα3+B3cosβ3cos(ψb3-π/6)

F3y=B3cosβ3sin(π/6+ψb3)

F3z=T3sinα3+B3sinβ3

(6)

由于結(jié)構(gòu)在成形后剛度足夠大，節(jié)點(diǎn)3在外力作用下產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)位移較小，可忽略當(dāng)x(y,z)方向產(chǎn)生位移時(shí)對(duì)y(x,z)或者z(x,y)方向的影響，即kx(y,z)=ky(x,z)=kz(x,y)=0。然后由式(5)、(6)即可求出節(jié)點(diǎn)3在兩個(gè)方向上的位移，如式(7)所示，其中為斜索與對(duì)稱軸線之間的夾角。將節(jié)點(diǎn)3的位移轉(zhuǎn)換到各索桿軸線上，然后根據(jù)各索桿剛度即可求出各索桿內(nèi)力，見(jiàn)式(8)，式中ω為節(jié)點(diǎn)3與4在水平面夾角。

因節(jié)點(diǎn)5在平面豎直方向沒(méi)有分量，也即F5y=0，Δ5y=0,因此只需求兩個(gè)方向的位移即可。同節(jié)點(diǎn)3可求得節(jié)點(diǎn)5在x，z兩個(gè)方向的位移，以及節(jié)點(diǎn)5上各索桿內(nèi)力見(jiàn)式(9)、(10)

(7)

節(jié)點(diǎn)3：

(8)

節(jié)點(diǎn)5：

(9)

(10)

節(jié)點(diǎn)c，由于Vc3和B5內(nèi)力已知，僅有兩個(gè)未知力，則可利用節(jié)點(diǎn)平衡法求解，如式(11)

(11)

節(jié)點(diǎn)d:

(12)

3 預(yù)應(yīng)力態(tài)索桿內(nèi)力參數(shù)分析

設(shè)星形四面體型索穹頂跨度L0=78 m，內(nèi)孔半徑L1=Δ，矢高為f，穹頂半徑為R，索穹頂結(jié)構(gòu)半榀平面桁架簡(jiǎn)化圖如圖5 所示。各徑向脊索在對(duì)稱平面的投影再投影到水平面的長(zhǎng)度均為Δ，撐桿下節(jié)點(diǎn)在水平面的投影分別在脊索水平面投影的1/3和2/3處并交替布置，各環(huán)索在水平面投影的間距相等均為Δ，為簡(jiǎn)化計(jì)算令hα=hβ。由幾何關(guān)系可求得R,ra,αi,βi等，具體計(jì)算如下式(13)，式中L為脊索在水平投影上三角形邊長(zhǎng)。將式(13)代入式(1)～(12)可得到各索桿內(nèi)力，當(dāng)f/L0取值為1/12.5、1/10、1/8.5、1/6，Va1取值為-20.00，求得各索桿內(nèi)力的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖5 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化半榀平面桁架圖Fig.5 Simplified semi-structure of plane truss

固定結(jié)構(gòu)矢跨比，研究撐桿高度對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布的影響。保持脊索在對(duì)稱平面的投影再投影到水平面的長(zhǎng)度為Δ，矢跨比為1/10和1/8.5，其他幾何參數(shù)與不同矢跨比下的參數(shù)保持一致。對(duì)于矢高且形狀確定的索穹頂結(jié)構(gòu)，hα已由式(13)求出，則撐桿的高度由hβ控制。分別取hβ=Δtan 10°、hβ=Δtan 15°、hβ=Δtan 20°、hβ=Δtan 25°和hβ=Δtan 30°，Va1=-25.00，由式(1)～(13)可得各索桿預(yù)應(yīng)力分布情況，其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

(13)

由表1可看出，對(duì)于星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)，隨著結(jié)構(gòu)矢跨比的增加，各索桿內(nèi)力逐漸減小，內(nèi)圈索桿內(nèi)力變化相對(duì)較小，外圈索桿內(nèi)力變化較大。同時(shí)從表中可以看出矢跨比在1/12.5時(shí)，各索桿內(nèi)力最大，環(huán)索內(nèi)力最大值達(dá)到4 223 kN，相對(duì)于1/10跨度時(shí)，差值達(dá)到35%，此時(shí)環(huán)索內(nèi)力過(guò)大不利于現(xiàn)場(chǎng)張拉，不建議采用此矢跨比。而當(dāng)結(jié)構(gòu)矢跨比為1/6時(shí)，結(jié)構(gòu)起拱大，而索桿內(nèi)力又相對(duì)較小，在外荷載作用下索容易發(fā)生松弛，所以也不建議采用。因此對(duì)于該結(jié)構(gòu)而言，建議矢跨比取值在1/10～1/8.5，此時(shí)索桿內(nèi)力分布均勻，索力大小合適，利于實(shí)際張拉，。

表1 不同矢跨比時(shí)星形四面體型索穹頂索桿內(nèi)力Tab.1 Prestressing force distribution and struts’internal forces of star-tetrahedron type cable dome with different rise-span ratios

表2與表3分別為矢跨比為1/10和1/8.5時(shí)，不同撐桿高度所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)索桿內(nèi)力，從表中可發(fā)現(xiàn)，在這兩種矢跨比下結(jié)構(gòu)索桿內(nèi)力變化趨勢(shì)相近，當(dāng)撐桿高度變化Δtan 5°時(shí)，索桿內(nèi)力變化最高可達(dá)64%，說(shuō)明改變撐桿高度比改變矢跨比對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響更大。同時(shí)可看出，當(dāng)矢跨比分別為1/10和1/8.5，撐桿高度hβ=Δtan 10°時(shí)，索力最大值分別達(dá)到5 931 kN和6 130 kN，索力值過(guò)大，不利于實(shí)際施工張拉。而當(dāng)撐桿高度hβ=Δtan 30°時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)實(shí)際撐桿高度為10.68 m，且結(jié)構(gòu)索桿內(nèi)力小，因此在外荷載作用下，索容易發(fā)生松弛。當(dāng)撐桿高度在Δtan 15°、Δtan 20°和Δtan 25°時(shí)，索內(nèi)力和撐桿內(nèi)力均均勻變化，且索內(nèi)力最大值僅為2 168 kN，便于結(jié)構(gòu)張拉。

表2 1/10矢跨比時(shí)不同撐桿高度對(duì)星形四面體型索穹頂索桿內(nèi)力Tab.2 The internal force of each cable rod of star tetrahedron cable dome with different strut height under 1 / 10 rise span ratio

表3 1/8.5矢跨比時(shí)不同撐桿高度對(duì)星形四面體型索穹頂索桿內(nèi)力Tab.3 The internal force of each cable rod of star tetrahedron cable dome with different strut height under 1 / 8.5 rise span ratio

綜上所述可得，對(duì)于該星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)，矢跨比宜為1/10～1/8.5，對(duì)應(yīng)的撐桿高度宜在Δtan 15°～Δtan 25°。

4 星形四面體型索穹頂結(jié)構(gòu)關(guān)鍵性能分析

4.1 靜力性能分析

根據(jù)前面理論分析，利用MIDAS軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全跨均布荷載作用下的靜力性能分析，結(jié)構(gòu)跨度取為78 m，矢跨比為1/10，撐桿高度hβ=Δtan 25°，研究結(jié)構(gòu)在1.3倍恒荷載與1.5倍活荷載(活荷載大小為0.5 kN/mm2，恒荷載僅為膜的重量，其值為0.1 kN/mm2)作用下結(jié)構(gòu)索桿內(nèi)力變化與無(wú)外荷載時(shí)的預(yù)應(yīng)力態(tài)進(jìn)行對(duì)比，忽略膜材對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響。外荷載先以均布荷載的方式施加到結(jié)構(gòu)上，然后轉(zhuǎn)換為等效集中質(zhì)量作用在結(jié)構(gòu)的上弦節(jié)點(diǎn)，荷載布置位置以及構(gòu)件編號(hào)如圖6所示。

從表4可看出，在全跨均布荷載作用下?lián)螚U內(nèi)力和環(huán)索內(nèi)力與無(wú)外荷載的預(yù)應(yīng)力態(tài)相比較均有所增加，斜索內(nèi)力與脊索內(nèi)力逐漸減小，內(nèi)圈索桿內(nèi)力值變化較大，外圈內(nèi)力變化相對(duì)較小。在外荷載作用下，相較于其他桿件，結(jié)構(gòu)脊索相對(duì)容易松弛，最內(nèi)圈脊索T1預(yù)應(yīng)力值為71 kN，相對(duì)于無(wú)外荷載的預(yù)應(yīng)力態(tài)，脊索初始內(nèi)力損失達(dá)到66.1%，但依舊處于張拉狀態(tài)，未發(fā)生脊索松弛的現(xiàn)象，說(shuō)明結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的初始剛度與承載能力。

表4 結(jié)構(gòu)有荷載態(tài)與無(wú)荷載態(tài)索桿內(nèi)力對(duì)比Tab.4 Comparison of internal forces of cable strut in loaded and unloaded state

4.2 自振特性分析

采用與靜力分析相同的計(jì)算模型，在計(jì)算中將1倍恒荷載與1倍活荷載(共計(jì)0.6 kN/mm2)施加在結(jié)構(gòu)上，同樣將均布荷載轉(zhuǎn)換成等效節(jié)點(diǎn)荷載施加在結(jié)構(gòu)上弦節(jié)點(diǎn)，提取結(jié)構(gòu)前50階自振頻率和模態(tài)振型進(jìn)行分析。

結(jié)構(gòu)前50階自振頻率如圖7所示，從圖中可看出結(jié)構(gòu)前15階自振頻率相對(duì)集中，結(jié)構(gòu)第2、3、11、12以及13階自振頻率均相差不大，這是因?yàn)樗黢讽斀Y(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，但由于建模時(shí)存在微小誤差，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)自振頻率存在微小誤差。結(jié)構(gòu)不存在明顯的跳躍點(diǎn)，說(shuō)明結(jié)構(gòu)剛度分布均勻，不存在明顯的薄弱部位。表5為結(jié)構(gòu)前5階振型及對(duì)應(yīng)的自振頻率，結(jié)構(gòu)第1階Z向振型方向因子占比最多，結(jié)構(gòu)第2階X、Y向振型方向因子占比較多，第3～5階分別為Y向變形、環(huán)向變形以及X向變形，且變形均由內(nèi)圈開(kāi)始。從前5階的變形狀態(tài)來(lái)看，結(jié)構(gòu)豎向剛度弱與結(jié)構(gòu)環(huán)向剛度，結(jié)構(gòu)環(huán)向剛度較好，且結(jié)構(gòu)內(nèi)圈剛度弱與結(jié)構(gòu)外圈剛度，這是因?yàn)閮?nèi)圈脊索、斜索以及撐桿數(shù)量相對(duì)較小，對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)圈約束不足，內(nèi)圈剛度小。

表5 結(jié)構(gòu)前5階振型及頻率Tab.5 First 5 modes and frequencies of structure

圖7 結(jié)構(gòu)前50階自振頻率Fig.7 First 50 natural frequencies of structure

5 結(jié) 論

本文提出了一種新型索穹頂結(jié)構(gòu)形式即星形四面體型索穹頂，相對(duì)于傳統(tǒng)的索穹頂結(jié)構(gòu)而言，由于在環(huán)向上通過(guò)脊索聯(lián)系，增加了結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度和對(duì)抗非對(duì)稱荷載能力，同時(shí)上弦脊索網(wǎng)格布置均勻，結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性增加。

另外提出利用節(jié)點(diǎn)平衡法和位移法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)在成形狀態(tài)下的初始預(yù)應(yīng)力計(jì)算公式，并給出算例，得到在不同矢跨比和不同撐桿高度下各索桿內(nèi)力計(jì)算表，并給出了該結(jié)構(gòu)的合適矢跨比以及撐桿高度，為后續(xù)進(jìn)一步研究和力學(xué)性能分析提供依據(jù)。在此基礎(chǔ)上分析了結(jié)構(gòu)在全跨均布豎向荷載作用下的靜力性能以及自振特性分析。其結(jié)果表明：

(1) 隨著矢跨比和撐桿高度的增加，各索桿初始預(yù)應(yīng)力由內(nèi)圈到外圈均呈減小趨勢(shì)，且相較于改變結(jié)構(gòu)矢跨比，改變撐桿高度對(duì)各索桿預(yù)應(yīng)力分布影響明顯。

(2) 對(duì)于該結(jié)構(gòu)而言，矢跨比宜為1/10～1/8.5，所對(duì)應(yīng)的撐桿高度宜在Δtan 15°～Δtan 25°，此時(shí)結(jié)構(gòu)索桿內(nèi)力變化均勻，方便實(shí)際張拉施工。

(3) 結(jié)構(gòu)在全跨均布豎向荷載作用下，脊索、環(huán)索與斜索均未出現(xiàn)索松弛的現(xiàn)象，說(shuō)明結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的承載能力，具有優(yōu)越的力學(xué)性能。

(4) 結(jié)構(gòu)自振頻率分布密集，無(wú)明顯跳躍點(diǎn)，結(jié)構(gòu)豎向剛度弱與環(huán)向剛度，結(jié)構(gòu)環(huán)向剛度大。