星形四面體型索穹頂構形和預應力分析方法

張愛林,朱莉娜,張艷霞1,,文 聞,林海鵬

(1.北京建筑大學 北京未來城市設計高精尖創新中心，北京 100044；2.北京建筑大學 土木與交通工程學院，北京 100044；3.北京工業大學 北京市高層和大跨度預應力鋼結構工程技術研究中心，北京 100124)

索穹頂結構是20世紀末興起的一種新型大跨度空間結構形式，屬于全張力、自平衡體系。該結構由預應力鋼索及少量的壓桿組成，能充分利用鋼材的抗拉強度，結構效率高，隨著結構跨度的增加其自重不會明顯增加，是一種極具應用前景的大跨度空間結構形式。

索穹頂結構最早源于Fuller[1]提出的張拉整體體系，即在結構中盡可能的減少受壓狀態而使結構處于連續的張拉狀態。在此理論基礎上，美國工程師Geiger[2]于1986年提出了Geiger型索穹頂,并在漢城奧運會場館中采用，這是世界上首次在大跨度結構中采用索穹頂結構。雖然該結構簡單，施工難度低，對施工誤差不敏感，但由于其上弦索之間無聯系，抗側剛度低，當荷載達到一定程度時容易失穩。因此在1996年Levy[3]對Geiger型索穹頂進行改進，改善了脊索的布置方式，提出了Levy型索穹頂，并運用于亞特蘭大奧運會體育館中。Levy型索穹頂解決了Geiger型索穹頂環向剛度不足的問題，但其網格分布不均，施工復雜。之后我國學者提出了一系列索穹頂結構形式如：肋環人字型[4-5]、鳥巢型[6-7]、凱威特型[8-9]、聯方雙撐桿型[10]、蜂窩四撐桿型[11]、新型脊桿環撐索穹頂，并對結構進行可靜動力性能分析。但這些索穹頂結構形式均沒有改善上弦脊索網格分布不均的問題。為了優化索穹頂結構形式，改善上弦脊索網格質量，文章提出了一種星形四面體型索穹頂，并針對該索穹頂結構給出了在理想狀態下各索桿初始預應力計算公式，同時給出了在不同矢跨比和不同撐桿高度下各索桿內力計算用表，推導了適合該結構的矢跨比以及撐桿高度，并對該結構的靜力性能及自振特性進行了分析，用以說明該索穹頂結構索桿預應力分布規律，驗證理論的正確性，以及結構力學性能，為后續研究提供參考。

1 星形四面體型索穹頂結構形態及構造特點

星形四面體型索穹頂三維示意圖如圖1所示，該結構由單斜索、雙斜索、單撐桿、雙撐桿、環索、脊索、剛性環梁和上內環索組成。與傳統肋環型和葵花型索穹頂相比，其將豎直的撐桿變為斜向撐桿，且在同一空間高度上雙撐桿與單撐桿交錯布置，單斜索與雙斜索交錯布置，脊索在環向上連續布置。其中斜索、脊索和撐桿組成一個四面體，并且在四面體中由脊索形成的三角形在水平面上的投影長度相等，然后由六個四面體組成星形單體(如圖2(b))且該單體在平面圖上(如圖2(a))的投影面積相同。星形四面體型索穹頂是由數個星形單體組成，且由內圈向外圈以6的倍數增加，從而保證了結構網格的均勻性，使結構整體性更好。相較于傳統的索穹頂結構而言，該結構不僅避免了Gerger型索穹頂在環向上無聯系，導致結構環向剛度不足的情況，同時也避免了Levy型索穹頂由于結構構件數量多，施工工作量增大和節點設計難度增加的問題。

1.雙斜索；2.單斜索；3.雙撐桿；4.單撐桿；5.脊索；6.環索；7.上內環索；8.剛性環梁圖1 星形四面體型索穹頂結構三維圖Fig.1 3D model of star-tetrahedron typed cable dome

(a) 平面示意

2 星形四面體型索穹頂預應力的簡捷分析

星形四面體型索穹頂結構為沿角對稱結構，中心孔為正六邊形，對稱面上有著相同的索桿布置，預應力以及外荷載，因此僅需研究其1/6結構的半榀即可,其示意圖如圖3(a)所示。索穹頂外圍設置有足夠大剛度的剛性環梁，其與索穹頂的連接可以按不動鉸支座考慮，所以該結構為一次超靜定結構，計算簡圖如圖3(b)所示。

(a) 示意圖

(a) 平面圖

索穹頂初始預應力分析計算時所需平面圖與剖面圖如圖4所示，a、b、c、d為環索、撐桿和斜索的交點,將其統一用m表示，rx為平面投影中交點到六邊形中心o的距離；H1為上內環索，Vmi、Ti+1、Bi+1、Hm分別為撐桿、脊索、斜索和環索內力，i代表不同的節點；αi代表斜索與水平面的夾角，其中α53與α54分別為節點53與節點54形成的脊索與水平面的夾角；βi為斜索與水平面的夾角，ξm為經過交點的撐桿與水平面形成的夾角，ξc3與ξc4為由節點c3與節點c5形成的撐桿與水平面的夾角；φi,i+1為由節點i與節點i+1形成的撐桿與對稱軸線的夾角；hαi為節點i與節點i+1在剖面圖上的垂直長度，hβi為節點i與其相連交點的垂直長度與hαi的差值。

根據圖4所示的幾何關系，可求得各索桿與水平面夾角，以及與對稱軸線之間的夾角等。以索穹頂內環雙撐桿的實際內力Va1為基準，利用節點平衡法推導1、2、a和b節點對應的各索桿的內力，如式(1)～(4)所示：

節點1：

(1)

節點a：

(2)

節點b:

(3)

節點2:

(4)

(5)

F3x,F3y，F3z分別為節點3上的已知外力在x，y，z方向上的分量，其計算式如式(6)

F3x=T3cosα3+B3cosβ3cos(ψb3-π/6)

F3y=B3cosβ3sin(π/6+ψb3)

F3z=T3sinα3+B3sinβ3

(6)

由于結構在成形后剛度足夠大，節點3在外力作用下產生的節點位移較小，可忽略當x(y,z)方向產生位移時對y(x,z)或者z(x,y)方向的影響，即kx(y,z)=ky(x,z)=kz(x,y)=0。然后由式(5)、(6)即可求出節點3在兩個方向上的位移，如式(7)所示，其中為斜索與對稱軸線之間的夾角。將節點3的位移轉換到各索桿軸線上，然后根據各索桿剛度即可求出各索桿內力，見式(8)，式中ω為節點3與4在水平面夾角。

因節點5在平面豎直方向沒有分量，也即F5y=0，Δ5y=0,因此只需求兩個方向的位移即可。同節點3可求得節點5在x，z兩個方向的位移，以及節點5上各索桿內力見式(9)、(10)

(7)

節點3：

(8)

節點5：

(9)

(10)

節點c，由于Vc3和B5內力已知，僅有兩個未知力，則可利用節點平衡法求解，如式(11)

(11)

節點d:

(12)

3 預應力態索桿內力參數分析

設星形四面體型索穹頂跨度L0=78 m，內孔半徑L1=Δ，矢高為f，穹頂半徑為R，索穹頂結構半榀平面桁架簡化圖如圖5 所示。各徑向脊索在對稱平面的投影再投影到水平面的長度均為Δ，撐桿下節點在水平面的投影分別在脊索水平面投影的1/3和2/3處并交替布置，各環索在水平面投影的間距相等均為Δ，為簡化計算令hα=hβ。由幾何關系可求得R,ra,αi,βi等，具體計算如下式(13)，式中L為脊索在水平投影上三角形邊長。將式(13)代入式(1)～(12)可得到各索桿內力，當f/L0取值為1/12.5、1/10、1/8.5、1/6，Va1取值為-20.00，求得各索桿內力的計算結果如表1所示。

圖5 結構簡化半榀平面桁架圖Fig.5 Simplified semi-structure of plane truss

固定結構矢跨比，研究撐桿高度對索穹頂結構內力分布的影響。保持脊索在對稱平面的投影再投影到水平面的長度為Δ，矢跨比為1/10和1/8.5，其他幾何參數與不同矢跨比下的參數保持一致。對于矢高且形狀確定的索穹頂結構，hα已由式(13)求出，則撐桿的高度由hβ控制。分別取hβ=Δtan 10°、hβ=Δtan 15°、hβ=Δtan 20°、hβ=Δtan 25°和hβ=Δtan 30°，Va1=-25.00，由式(1)～(13)可得各索桿預應力分布情況，其計算結果如表2所示。

(13)

由表1可看出，對于星形四面體型索穹頂結構，隨著結構矢跨比的增加，各索桿內力逐漸減小，內圈索桿內力變化相對較小，外圈索桿內力變化較大。同時從表中可以看出矢跨比在1/12.5時，各索桿內力最大，環索內力最大值達到4 223 kN，相對于1/10跨度時，差值達到35%，此時環索內力過大不利于現場張拉，不建議采用此矢跨比。而當結構矢跨比為1/6時，結構起拱大，而索桿內力又相對較小，在外荷載作用下索容易發生松弛，所以也不建議采用。因此對于該結構而言，建議矢跨比取值在1/10～1/8.5，此時索桿內力分布均勻，索力大小合適，利于實際張拉，。

表1 不同矢跨比時星形四面體型索穹頂索桿內力Tab.1 Prestressing force distribution and struts’internal forces of star-tetrahedron type cable dome with different rise-span ratios

表2與表3分別為矢跨比為1/10和1/8.5時，不同撐桿高度所對應的結構索桿內力，從表中可發現，在這兩種矢跨比下結構索桿內力變化趨勢相近，當撐桿高度變化Δtan 5°時，索桿內力變化最高可達64%，說明改變撐桿高度比改變矢跨比對結構內力影響更大。同時可看出，當矢跨比分別為1/10和1/8.5，撐桿高度hβ=Δtan 10°時，索力最大值分別達到5 931 kN和6 130 kN，索力值過大，不利于實際施工張拉。而當撐桿高度hβ=Δtan 30°時，此時結構實際撐桿高度為10.68 m，且結構索桿內力小，因此在外荷載作用下，索容易發生松弛。當撐桿高度在Δtan 15°、Δtan 20°和Δtan 25°時，索內力和撐桿內力均均勻變化，且索內力最大值僅為2 168 kN，便于結構張拉。

表2 1/10矢跨比時不同撐桿高度對星形四面體型索穹頂索桿內力Tab.2 The internal force of each cable rod of star tetrahedron cable dome with different strut height under 1 / 10 rise span ratio

表3 1/8.5矢跨比時不同撐桿高度對星形四面體型索穹頂索桿內力Tab.3 The internal force of each cable rod of star tetrahedron cable dome with different strut height under 1 / 8.5 rise span ratio

綜上所述可得，對于該星形四面體型索穹頂結構，矢跨比宜為1/10～1/8.5，對應的撐桿高度宜在Δtan 15°～Δtan 25°。

4 星形四面體型索穹頂結構關鍵性能分析

4.1 靜力性能分析

根據前面理論分析，利用MIDAS軟件對結構進行全跨均布荷載作用下的靜力性能分析，結構跨度取為78 m，矢跨比為1/10，撐桿高度hβ=Δtan 25°，研究結構在1.3倍恒荷載與1.5倍活荷載(活荷載大小為0.5 kN/mm2，恒荷載僅為膜的重量，其值為0.1 kN/mm2)作用下結構索桿內力變化與無外荷載時的預應力態進行對比，忽略膜材對結構剛度的影響。外荷載先以均布荷載的方式施加到結構上，然后轉換為等效集中質量作用在結構的上弦節點，荷載布置位置以及構件編號如圖6所示。

從表4可看出，在全跨均布荷載作用下撐桿內力和環索內力與無外荷載的預應力態相比較均有所增加，斜索內力與脊索內力逐漸減小，內圈索桿內力值變化較大，外圈內力變化相對較小。在外荷載作用下，相較于其他桿件，結構脊索相對容易松弛，最內圈脊索T1預應力值為71 kN，相對于無外荷載的預應力態，脊索初始內力損失達到66.1%，但依舊處于張拉狀態，未發生脊索松弛的現象，說明結構具有較強的初始剛度與承載能力。

表4 結構有荷載態與無荷載態索桿內力對比Tab.4 Comparison of internal forces of cable strut in loaded and unloaded state

4.2 自振特性分析

采用與靜力分析相同的計算模型，在計算中將1倍恒荷載與1倍活荷載(共計0.6 kN/mm2)施加在結構上，同樣將均布荷載轉換成等效節點荷載施加在結構上弦節點，提取結構前50階自振頻率和模態振型進行分析。

結構前50階自振頻率如圖7所示，從圖中可看出結構前15階自振頻率相對集中，結構第2、3、11、12以及13階自振頻率均相差不大，這是因為索穹頂結構具有對稱性，但由于建模時存在微小誤差，導致結構自振頻率存在微小誤差。結構不存在明顯的跳躍點，說明結構剛度分布均勻，不存在明顯的薄弱部位。表5為結構前5階振型及對應的自振頻率，結構第1階Z向振型方向因子占比最多，結構第2階X、Y向振型方向因子占比較多，第3～5階分別為Y向變形、環向變形以及X向變形，且變形均由內圈開始。從前5階的變形狀態來看，結構豎向剛度弱與結構環向剛度，結構環向剛度較好，且結構內圈剛度弱與結構外圈剛度，這是因為內圈脊索、斜索以及撐桿數量相對較小，對結構內圈約束不足，內圈剛度小。

表5 結構前5階振型及頻率Tab.5 First 5 modes and frequencies of structure

圖7 結構前50階自振頻率Fig.7 First 50 natural frequencies of structure

5 結 論

本文提出了一種新型索穹頂結構形式即星形四面體型索穹頂，相對于傳統的索穹頂結構而言，由于在環向上通過脊索聯系，增加了結構抗側剛度和對抗非對稱荷載能力，同時上弦脊索網格布置均勻，結構整體穩定性增加。

另外提出利用節點平衡法和位移法推導結構在成形狀態下的初始預應力計算公式，并給出算例，得到在不同矢跨比和不同撐桿高度下各索桿內力計算表，并給出了該結構的合適矢跨比以及撐桿高度，為后續進一步研究和力學性能分析提供依據。在此基礎上分析了結構在全跨均布豎向荷載作用下的靜力性能以及自振特性分析。其結果表明：

(1) 隨著矢跨比和撐桿高度的增加，各索桿初始預應力由內圈到外圈均呈減小趨勢，且相較于改變結構矢跨比，改變撐桿高度對各索桿預應力分布影響明顯。

(2) 對于該結構而言，矢跨比宜為1/10～1/8.5，所對應的撐桿高度宜在Δtan 15°～Δtan 25°，此時結構索桿內力變化均勻，方便實際張拉施工。

(3) 結構在全跨均布豎向荷載作用下，脊索、環索與斜索均未出現索松弛的現象，說明結構具有較強的承載能力，具有優越的力學性能。

(4) 結構自振頻率分布密集，無明顯跳躍點，結構豎向剛度弱與環向剛度，結構環向剛度大。