基于AR-GP模型的結構損傷識別方法

唐啟智，辛景舟，周建庭，付 雷，周濱楓

(1.重慶交通大學 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；2.貴州橋梁建設集團有限責任公司，貴陽 550000；3.重慶大學 土木工程學院，重慶 400074)

隨著服役年限的增加，工程結構物在運營過程中由于荷載效應、材料劣化、環境侵蝕等因素的作用，其使用性能不斷惡化。識別結構的早期損傷，掌握其健康狀況，有著重要的科學研究意義與工程實用價值[1]。

結構損傷將導致結構固有特性的改變，從而引起結構響應的變化。結構損傷識別從結構響應出發，以期獲得結構的損傷狀態，其核心環節即是損傷敏感性特征(damage sensitive feature,DSF)的提取[2]，常用的提取方法[3]包括頻域方法和時域方法。頻域方法通過實驗模態分析，以頻率變化率[4]、模態曲率[5]、模態應變能[6]等作為DSF進行損傷識別。時域方法在時間域上對測試數據進行分析，結合時間序列分析[7]、經驗模態分解[8]等方法來提取DSF。與頻域方法相比，時域方法由于不需要進行繁瑣的頻譜分析，越來越受到廣泛關注[9～10]。

自回歸(autoregressive,AR)模型作為時域方法中的重要組成部分，常被用于回歸擬合結構加速度響應數據，并從中提取DSF。Lynch[11]通過對AR模型方程進行Z變換，證明了AR模型系數與結構固有特性相關。Nair等[12]以AR模型前三階系數構造DSF，使用t檢驗進行了損傷識別及定位。Datteo等[13]通過全局敏感性分析和不確定分析，得出了AR模型系數對結構剛度與質量變化較為敏感，對阻尼與荷載的變化不敏感。杜永峰等以結構損傷前后AR模型殘差方差之比作為損傷指標，通過數值算例定性的實現了結構損傷識別及定位。朱軍華等[14]以AR模型殘差的偏度和峰度作為DSF，取得了一定的識別效果。可見，將AR模型用于DSF的提取展現出了極大的應用潛力與科研價值。

獲取DSF后，結構損傷識別就歸結為模式識別的問題。機器學習作為模式識別的主要方法，包括神經網絡[15]、支持向量機[16]、高斯過程等。高斯過程(Gaussian process,GP)是一種常用的監督學習方法，旨在解決回歸問題和概率分類問題，包括高斯過程分類(Gaussian process classification,GPC)和高斯過程回歸(Gaussian process regression,GPR)。Sawant等[17]基于GP提出了一種分層算法，實現了人臉年齡估計。舒堅等[18]利用GPR進行了鏈路質量預測，取得了比動態貝葉斯網絡更精確的結果。朱彬等[19]提出了一種基于GPR的響應面擬合方法，并實現了邊坡可靠度分析。程虎等[20]利用GPR實現了成像系統參數的在線優化。由此可以看出，GP在生物識別、狀態預測、參數優化等方面有較多應用，但在損傷識別領域卻很少見。損傷識別分三個階段：一是識別損傷；二是定位損傷；三是識別損傷程度。實際過程中由于建模誤差、測量噪聲的影響，觀測值近似隨機過程，結合GP具有概率意義的輸出特性，將GPC用于損傷定位、GPR用于識別損傷程度，能使輸出結果更具信服力，因此將GP運用于損傷識別凸顯了巨大的工程實用價值。

考慮到損傷識別的復雜性與既有方法的不足，本文提出了一種基于AR-GP模型的損傷識別方法。首先，利用AR模型回歸擬合結構加速度響應數據；然后，根據AR模型的殘差、系數分別構造DSF；最后，借助GPC與GPR分別識別結構損傷位置與損傷程度。通過某鋼筋混凝土模型拱的數值算例，驗證了所提出的損傷識別方法。

1 自回歸模型

1.1 建模方法

如果一個隨機過程中的觀測量Yt可以表示為

Yt=c+φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt

(1)

AR模型建模步驟如下：(1)數據平穩性檢驗；(2)數據標準化處理；(3)模型識別；(4)參數估計。

數據平穩性檢驗即為單位根檢驗，本文采用ADF檢驗法[21]。ADF檢驗包括三個檢驗模型

(2)

三個檢驗模型中α、β、δ為最小二乘回歸系數。實際檢驗過程中從模型3～模型1依次檢驗，若有任何一個模型拒絕零假設，則認為序列不存在單位根，即序列平穩。各個模型原假設如下

(3)

數據標準化處理的目的是為了消除噪聲及荷載對測試數據的影響，計算公式如下

(4)

式中，u、σ分別為響應數據的均值和標準差。

模型識別即確定AR模型滯后階數p，根據AR(p)模型偏自相關函數p階截尾的特點，可通過計算偏自相關函數來確定p。但實際過程中理論偏自相關函數難以獲取，故本文采用樣本偏自相關函數[22]與AIC準則[23]聯合來確定p。

(5)

(6)

(7)

確定好AR模型的滯后階數p之后，選取最小二乘法進行模型參數估計，基本思想為尋找使得模型殘差平方和最小的一組參數值，即：

(8)

1.2 基于殘差的損傷敏感性特征

建立好AR模型之后，即可提取DSF進行損傷識別工作。綜合國內外研究成果，常用的DSF大致分兩類：基于殘差的DSF和基于自回歸系數的DSF。本文分別建立了基于殘差和自回歸系數的DSF，并對其預測結果進行了對比分析。

針對損傷識別過程中，定位損傷位置困難、多損傷狀態不易識別的問題，引入了表征結構損傷位置信息與損傷狀態信息的參數L1、L2

(9)

(10)

式中：i代表傳感器編號，i=1,2,…,d；DSFi表示第i個傳感器的DSF。

結構發生損傷后，對應AR模型殘差標準差(residual standard deviation,RSD)會發生變化，于是構造基于殘差標準差的DSF

DSFi=σεi

式中,σεi表示第i個傳感器處殘差標準差，i=1,2,…,d。

在損傷定位時，引入參數L1、L2，定義基于殘差標準差的GPC輸入向量RSD1

RSD1=(σε1,σε2,…,σεd,L1,L2)

在識別損傷程度時，定義基于殘差標準差的GPR輸入向量RSD2

RSD2=(σε1,σε2,…,σεd)

1.3 基于自回歸系數的損傷敏感性特征

根據文獻[11]，AR模型系數與結構固有特性存在一定的聯系，因此基于自回歸系數(autoregressive coefficient,ARC)的DSF表述如下

其中，φj,j=1,2,…,p為AR(p)模型系數；φi為第i個傳感器處的DSF，i=1,2,…,d。

同樣在損傷定位時，引入參數L1、L2，定義基于自回歸系數的GPC輸入向量ARC1

ARC1=(φ1,φ2,…,φd,L1,L2)

在識別損傷程度時，定義基于自回歸系數的GPR輸入向量ARC2

ARC2=(φ1,φ2,…,φd)

2 高斯過程

2.1 高斯過程回歸

GP是符合多維聯合正態分布隨機過程的總稱。對于給定的訓練數據集

D={(X,y)|X={x1,x2,…,xN}T∈RN×d,y∈RN}

其中X、y分別為輸入和輸出變量，且N、d分別為輸入變量個數及輸入變量維數，y用于描述輸入變量的隨機過程，且服從GP，其性質由均值函數E(y)、協方差函數K決定：

y～N(E(y),K)

其中K也叫做格拉姆矩陣，其元素為：

Kij=K(xi,xj),(i,j=1,2,…N)

高斯過程回歸(GPR)是基于貝葉斯理論和統計學習理論發展起來的一種新的機器學習方法，適用于處理高維數、小樣本、非線性等復雜回歸問題，近幾年來在國內外發展迅速[25]，其本質是基于貝葉斯推斷，在給定輸入的情況下，給出輸出的條件分布，其基本步驟包括訓練與預測。

(11)

GPR的關鍵是協方差函數K，即核函數的選取，包括線性核、多項式核等，使用頻率最高的是平方指數核，即：

(12)

(13)

其中k是K(xi,x*)(i=1,2,…,N)的N×1維向量，r=K(x*,x*)。

根據貝葉斯推斷，可得預測值y*的后驗分布為

2.2 高斯過程分類

當GPR中的連續型輸出變量變為離散的類別向量時，GPR就演化為高斯過程分類(Gaussian process classification,GPC)。

GPC的基本思想是首先賦予隱函數f(x)的高斯過程先驗分布；然后引入反應函數獲取先驗分布π(x)=p(y=1|x)=σ(f(x))；最后輸出類別概率最高的分類結果。

對于給定的輸入x*，f*=f(x*)的分布以及類別預測概率分別按式(14)、(15)計算：

(14)

(15)

由于輸入變量非連續，似然函數p(y|f)服從非高斯分布，式(14)、(15)無法獲取解析解，常采用拉普拉斯近似方法求解[26]。

2.3 損傷識別流程

基于AR-GP模型的損傷識別方法的大致流程為：

(1) 獲取結構在各個測點的加速度響應數據；

(2) 根據1.1節所提建模方法，建立AR模型；

(3) 構造DSF：計算RSD1、RSD2，ARC1、ARC2；

(4) 損傷識別：首先，以RSD1、ARC1為輸入向量，損傷位置為分類標簽，利用GPC實現損傷定位。然后，以RSD2、ARC2為輸入向量，損傷程度為輸出，利用GPR識別損傷程度。算法流程如圖1所示。

圖1 AR-GP算法流程圖Fig.1 Flow chart of AR-GP algorithm

3 實例驗證

3.1 鋼筋混凝土拱模型

本文所采用的數值模擬對象為某鋼筋混凝土模型試驗拱，拱肋沿跨徑方向劃分成9個節段，共布置了7個加速度測點，其具體尺寸參數如圖2所示。

圖2 模型拱基本構造Fig.2 Basic structure of model arch

利用ANSYS通用有限元軟件建立結構有限元模型，采用分離式建模方法。混凝土采用SOLID65單元，加載塊采用SOLID45單元，鋼筋采用LINK8單元。有限元模型共劃分為2 888個單元，如圖3所示。

圖3 ANSYS有限元模型Fig.3 Finite element model of ANSYS

邊界條件以面約束的形式施加，約束兩拱腳所有平動及轉動位移；配重通過加載塊的自重來施加，并根據其實際重量及加載塊體積換算等效密度。隨后，進行了瞬態分析。

瞬態分析采用完全法，結構阻尼采用瑞利阻尼，質量阻尼系數α與剛度阻尼系數β按下式計算

(16)

式中:ωi和ωj分別為結構第i和第j階固有頻率，可通過模態分析獲取；ξi和ξj為相對應于第i和第j階振型的阻尼比；一般取i=1，j=2，ξi=ξj=0.05。

在拱肋7L/16處施加白噪聲激勵，采樣頻率為1 000 Hz，采樣時間為0.5 s。

3.2 損傷工況

結構損傷顯著影響結構的剛度，剛度退化通過彈性模量的折減來實現。本文考慮了36種損傷工況，包括單損傷、多損傷，以及不同損傷程度的情況，其中有24種(A1～A24)訓練工況以及12種(B1～B12)測試工況，損傷工況見表1。

表1 損傷工況Tab.1 Damage scenarios

為模擬實際的測試環境，對有限元提取的加速度響應數據施加了一定程度的白噪聲干擾，按下式計算[27]

anoise=a+RMS(a)×Nlevel×Nunit

(17)

式中：anoise、a分別為含有噪聲與未含噪聲的加速度響應數據；RMS(a)為a的均方根；Nunit為高斯白噪聲；Nlevel為所施加的噪聲水平，本文選為5%和10%。

3.3 結果分析

根據加速度響應建立AR模型，然后計算各個工況、各個測點所對應的RSD1、RSD2、ARC1、ARC2，核函數采用平方指數函數與白噪聲函數相加的形式，基于訓練樣本，利用sklearn機器學習庫對GPC、GPR進行訓練，然后將測試樣本送入已經訓練好的GPC、GPR進行損傷定位及識別損傷程度。

3.3.1 損傷定位結果

基于殘差標準差和自回歸系數的損傷定位結果見表2。

從表2的損傷定位結果可知，隨著噪聲水平的增加，識別精度逐漸降低，但總體而言，基于殘差標準差的識別方法具有較好的識別精度以及抗噪性，且對于單損傷和多損傷狀態有較好的區分能力；而基于自回歸系數的識別方法則表現出較差的識別精度與抗噪性。

表2 損傷定位結果Tab.2 Results of damage localization

3.3.2 損傷程度識別結果

基于殘差標準差和自回歸系數的損傷程度識別結果分別見表3、表4。表中:u表示識別結果的均值；σ表示識別結果的標準差；RE表示識別結果的相對誤差；DC表示識別結果的離散系數。

表4 基于自回歸系數的損傷程度識別結果Tab.4 Results of damage severity identification based on autoregressive coefficient

從表3的損傷程度識別結果可以看出，隨著噪聲水平的增加，RE與DC的均值變化不大，且處于較低的水準，在10%噪聲污染的情況下，識別結果的RE與DC值也僅僅為6.52%和0.19。DC越接近于0，表明識別結果波動性越小、越可靠，故可以認為基于殘差標準差的方法有很高的識別精度及可靠度，且抗噪性能好。

表3 基于殘差標準差的損傷程度識別結果Tab.3 Results of damage severity identification based on residual standard deviation

從表4可知，與基于殘差標準差的識別結果相比，基于自回歸系數的識別精度及可靠度則相對較低，抗噪性能差。

圖4是所有識別結果的RE與DC散點圖，從圖中可以看出RE與DC呈現出較強的正相關性。在實際的監測過程中，由于無法知曉預測結果的真值，也就不能獲取預測結果的RE。此時，可以根據DC判斷預測結果的精確度以及波動程度，由此做出預測結果是否可接受的判斷，從而提高了識別可信度。

圖4 RE與DC關系Fig.4 The relationship between RE and DC

另外，利用GPR輸出結果概率分布的特點，在實際結構的監測過程中可以實現損傷預警，如圖5所示，其基本思想為：如果預測結果有1-α的概率超過給定的損傷程度，則發出預警。圖中:η為損傷程度;ηt為損傷閾值;ηα為根據特定問題所規定的下α分位點。

圖5 損傷預警Fig.5 Damage alarming

4 結 論

本文提出了一種基于AR-GP模型的全新的結構損傷識別方法。該方法利用AR模型回歸擬合結構加速度響應數據，并從中提取DSF，首次引入損傷位置信息與損傷狀態信息參數L1、L2，基于GPC實現了結構多損傷定位，借助于GPR實現了損傷程度的概率結果輸出。通過36種不同損傷工況的數值算例，驗證了所提方法，并對基于殘差標準差和自回歸系數的識別結果進行了對比分析，得出了以下結論：

(1) 在損傷定位方面，所提識別方法能夠較好的區分單損傷和多損傷狀態，同時基于殘差標準差的定位結果較基于自回歸系數的結果有更好的識別精度與抗噪性能。在識別損傷程度方面，基于殘差標準差的識別結果表現出了良好的識別精度、可靠度與抗噪能力，在10%噪聲污染的情況下，識別結果的RE與DC值僅為6.52%和0.19，而基于自回歸系數的識別結果的精度與抗噪能力則較差。

(2) 損傷程度識別結果的RE與DC展示出了較強的正相關性，在實際的監測過程中，可以由DC判斷預測結果的精確度以及波動程度，能夠提高識別可靠性。

(3) 利用GPR輸出預測結果均值與方差的特性，建立相應的損傷閾值，從而可以實現損傷預警。值得一提的是，可通過可靠度理論，按一定的失效概率構造損傷閾值，這也是未來的研究方向。