加速工況下滾動軸承動態(tài)載荷特性研究

涂文兵，梁 杰，羅 丫，周建民，周生通

(華東交通大學 機電與車輛工程學院，南昌 330013)

滾動軸承廣泛應用于各類旋轉(zhuǎn)機械中，其內(nèi)部載荷大小直接影響著滾動軸承的承載能力、潤滑、壽命和動態(tài)特性等，滾動軸承內(nèi)部載荷是關系到軸承設計和應用的一個重要基礎問題。

早在20世紀初，基于赫茲接觸理論，Stribeck[1]建立了滾動軸承受徑向載荷下的靜力學分析模型，并給出了滾動體最大載荷的計算式。Sjov?ll[2]通過靜力學分析研究了滾動軸承受徑向和軸向載荷作用下內(nèi)部載荷分布，并提出了相應的計算表達式。自此，許多學者對滾動軸承載荷分布展開了大量的研究。Jones[3]在軸承力學平衡方程中考慮了慣性力的影響，Harris等[4]在Jones的基礎上進一步引入了陀螺效應的影響，從而使?jié)L動軸承內(nèi)部載荷計算更加準確并適用于高速情況，然而，由于其計算公式多、迭代繁瑣及收斂速度慢等問題，盛夏等[5]提出了改進的數(shù)值計算模型，并研究了滾動軸承動態(tài)載荷分布規(guī)律及其算法。王燕霜等[6]建立了雙排四點接觸轉(zhuǎn)盤球軸承的靜力學模型，分析了聯(lián)合載荷作用下負游隙情況下軸承載荷分布特性。白曉波等[7]根據(jù)靜力學平衡方程確定滾針軸承的載荷分布，利用二次回歸正交法研究了載荷分布均勻性的影響因素。傅田等[8]考慮軸向、徑向負荷、離心力以及陀螺力矩的影響，研究了不同徑向、軸向負荷及轉(zhuǎn)速條件下滾動軸承接觸角和變形的變化規(guī)律。杜靜等[9]采用超單元法模擬滾珠-滾道接觸，用等效梁法模擬螺栓，建立大型雙排四點接觸球軸承的有限元模型，并分析了螺栓預緊力對軸承載荷分布的影響。侯光輝等[10]通過彈簧單元和桿單元模擬軸承滾動體與溝道間的接觸，研究了非均布預緊力對帶有螺栓的轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)部載荷分布的影響。汪久根等[11]考慮球軸承中同時承載的滾動體個數(shù)隨時間變化，提出了一種更為準確的載荷分布計算模型，并分析了不同游隙和轉(zhuǎn)速對內(nèi)部載荷的影響規(guī)律。張進華等[12]針對球-滾道非完全接觸狀態(tài)下的球軸承建模提出了新的初始位置假設，并分析了不同工況條件下球軸承內(nèi)部載荷分布及剛度變化特性。Daidié等[13]采用有限元法對回轉(zhuǎn)球軸承的內(nèi)部載荷和接觸角進行分析。Li等[14]考慮離心力和陀螺力矩建立了角接觸球軸承的載荷分析模型，分析了外圈故障軸承的內(nèi)部載荷分布特性及接觸角的變化規(guī)律。Olave等[15]考慮結構彈性通過有限元法分析了四點接觸回轉(zhuǎn)軸承的載荷分布特性。Jin等[16]分析了工作條件對滾珠絲杠支撐軸承的內(nèi)部載荷分布、接觸角和生熱率的影響。Heras等[17]考慮滾動體預載、制造誤差和套圈柔性，建立了點接觸回轉(zhuǎn)軸承載荷分布分析模型。Wang等[18]考慮離心力和陀螺力矩，擯棄套圈控制假設，研究了角接觸球軸承在受徑向、軸承和彎矩載荷作用下的接觸角、接觸載荷和滑滾比等特性參數(shù)的變化特性。Zhang等[19]建立了角接觸球軸承在任意預緊力作用下的準動態(tài)模型，研究了外載荷、轉(zhuǎn)速和預載荷對滾道接觸狀態(tài)的影響。Petersen等[20]考慮故障軸承不同故障大小，建立了滾動軸承載荷分布和時變剛度的分析模型，研究了故障尺寸對滾動軸承載荷分布的影響規(guī)律。

載荷分布特性已成為滾動軸承性能分析的重要前提和熱點問題，隨著滾動軸承向著高速、重載、精密等方向發(fā)展，其運行狀況變得愈發(fā)復雜和嚴苛，滾動軸承動力學問題日益突出。Moazen等[21]考慮軸承游隙和滾動單元尺寸，結合實驗提出了一種改進的滾動軸承非線性動力學模型，但未進一步對非穩(wěn)定工況下軸承接觸力和振動響應的變化規(guī)律展開分析。王云龍等[22]研究了潤滑油參數(shù)、保持架引導方式和軸向預緊力對軸承加、減速過程的影響，但未考慮變轉(zhuǎn)速工況下軸承載荷分布的變化特性。曹偉等[23]建立了加速工況下圓柱滾子軸承動力學模型，分析了加速度、載荷以及軸承間隙等參數(shù)對軸承運動特性的影響，但未研究對軸承載荷分布的影響。雖然上述文獻采用動力學方法對滾動軸承變工況下的動態(tài)特性進行了研究，但未涉及到軸承的載荷分布問題。

因此，現(xiàn)有的滾動軸承載荷研究主要集中在平穩(wěn)工況，載荷分布分析模型基本都是基于靜力學平衡方程建立，很少考慮滾動軸承運動部件動態(tài)效應對載荷分布的影響。然而，滾動軸承運動部件的動態(tài)效應將對滾動軸承的載荷分布及其性能產(chǎn)生重要作用，尤其加速等非穩(wěn)定工況下。因此，本文為了考慮滾動軸承運動部件的動態(tài)效應，采用動力學分析方法，考慮軸承游隙、滾動體離心力與重力、內(nèi)圈(含轉(zhuǎn)子)和滾動體的動態(tài)效應等，建立滾動軸承動力學分析模型，研究徑向力作用下滾動軸承加速運動過程中滾動體動態(tài)載荷分布特性，具有重要的理論價值和工程意義。

1 滾動軸承動力學模型

軸承內(nèi)部各元件之間的相互作用關系復雜，由于其內(nèi)部載荷分布主要是由滾動體及套圈之間的相互作用決定，因此本文為著重考慮滾動體和內(nèi)圈(含轉(zhuǎn)子)的動態(tài)特性下對軸承系統(tǒng)做出了如下合理的簡化假設：不考慮保持架與潤滑作用的影響，假設軸承各部件的質(zhì)心與幾何中心重合，假定滾動體按純滾動運動，忽略其打滑效應。

相比于動態(tài)分析下的滾動軸承，傳統(tǒng)力學模型中認為滾動體與滾道之間始終保持接觸，并且大多基于套圈平衡控制理論展開進一步研究。然而實際工程當中，游隙的存在使得滾動軸承在受到外加載荷作用時，內(nèi)圈(含轉(zhuǎn)子)中心產(chǎn)生偏移，部分滾動體會脫離滾道接觸，進而影響軸承內(nèi)部載荷分布。為此下面將對考慮軸承游隙下的滾動體與套圈之間接觸變形和接觸力進行詳細分析。

1.1 各元件位置關系與接觸變形

本文只考慮了軸承承受徑向載荷的情況，可近似 認為各元件作平面運動，徑向載荷作用下滾動軸承各元件受載前后的位置關系如圖1所示，假設軸承外圈固定，內(nèi)圈以角速度ωi旋轉(zhuǎn)并承受徑向力Fr，外圈固定在軸承座上。圖1中的虛線表示內(nèi)圈和滾動體受載前的初始位置，假定此時內(nèi)圈與外圈同心(o點)，滾動體位于內(nèi)圈滾道和外圈滾道正中間；實線為其受載后的位置，內(nèi)圈中心由o點移動至oi，其在豎直和水平方向的位移分別為x和y，滾動體中心由or1點移動至or2，其徑向位移為drj。

圖1 滾動軸承各元件的幾何關系Fig.1 Geometric relation of each component of rolling bearing

受載后滾動體中心(or2點)距離外圈中心(o點)間的距離可表示為

(1)

式中，dm表示軸承的節(jié)圓直徑。

滾動體中心(or2點)距離內(nèi)圈中心(oi點)間的距離可表示為

(2)

式中，Ψj表示滾動體的位置角，可表示為

(3)

式中:Z表示滾動體個數(shù);ωc表示保持架角速度。

滾動體與內(nèi)圈的接觸變形和滾動體與內(nèi)、外圈的相對位置關系及軸承徑向游隙有關，其表達式為

(4)

式中，Ud表示軸承徑向游隙。由于接觸變形只能為正，‘+’號表示當括號內(nèi)的值小于零時，令其等于零，表示兩者脫離接觸，無接觸變形。

滾動體與外圈的接觸變形取決于滾動體的徑向位移和徑向游隙，可表示為

(5)

1.2 接觸力

由Hertz接觸理論可知，滾動體與內(nèi)、外圈的接觸力取決于接觸變形和接觸剛度系數(shù)。

滾動體與內(nèi)、外圈的接觸力可表示為[24]

(6)

(7)

式中，ki和ko分別表示滾動體與內(nèi)、外圈間的接觸剛度系數(shù)。對于球軸承，滾動體與套圈接觸形式為點接觸，其接觸剛度系數(shù)可通過下式求得[25-26]

(8)

滾動體與內(nèi)圈接觸力的方向沿著滾動體中心與內(nèi)圈中心的連線(or2oi)，如圖1所示，其與水平方向的夾角可通過下式確定

(9)

因此，所有滾動體作用在內(nèi)圈上的合力可表示為

(10)

(11)

1.3 非線性運動微分方程組

為了綜合考慮多種因素對滾動軸承內(nèi)部動態(tài)載荷特性的影響，本文把軸承系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，如圖2所示。模型中考慮了內(nèi)圈質(zhì)量(此處及后文中所述內(nèi)圈質(zhì)量均已包含轉(zhuǎn)子質(zhì)量)mi和滾動體質(zhì)量mr的動態(tài)效應、阻尼以及滾動體離心力和重力的影響。

圖2 滾動軸承彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)Fig.2 Spring-mass-damping system of rolling bearing

保持架角速度可根據(jù)簡單運動學關系進行計算

(12)

由于假定滾動體純滾動運動，滾動體的公轉(zhuǎn)角速度即為保持架角速度ωc，故第j個滾動體的離心力Fωj可表示為

(13)

軸承內(nèi)圈考慮X、Y兩個方向的自由度，根據(jù)牛頓定律，其運動微分方程為

(14)

滾動體考慮沿軸承徑向的運動自由度，對于第j個滾動體，其運動微分方程為

(15)

式中，c為系統(tǒng)阻尼。

采用四階定步長Runge-Kutta法對上述動力學方程進行數(shù)值積分求解，初始積分步長Δt=5×10-6s，動力學求解流程如圖3所示。

圖3 動力學模型計算流程Fig.3 Flow chart of dynamic model calculation

2 模型驗證

本文以深溝球軸承為例研究滾動軸承動態(tài)載荷分布特性，軸承主要參數(shù)見表1。由于徑向游隙較小、轉(zhuǎn)速較低時滾動軸承運動部件的動態(tài)效應不明顯，為了驗證動力學模型的有效性，故采用小游隙(Ud=5 μm)、低轉(zhuǎn)速(ωi=200 r/min)、徑向載荷Fr為1 000 N、2 000 N、3 000 N的工況進行模型驗證。從仿真結果中獲取滾動體與套圈的載荷分布情況，并與靜力學計算得出的解析結果進行對比，如圖4、表2所示。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 Parameters of bearing

滾動軸承接觸載荷的靜力學計算公式為

(16)

式中，δr是Ψj=0°處套圈的徑向移動量。

由圖4、表2可以看出，不同徑向載荷下滾動體的仿真載荷分布曲線與解析載荷分布曲線相似，且最大接觸載荷值近似相等；隨著徑向載荷的增加，最大接觸載荷仿真解與解析解之間的誤差越來越小，這是因為動態(tài)載荷在大載荷下顯得不明顯。仿真結果與解析結果吻合較好，且誤差均在3%以下，驗證了本文所建立的動力學模型的有效性，為本文后續(xù)的分析奠定了良好的基礎。

圖4 不同徑向力下仿真和解析載荷分布曲線Fig.4 Simulation and analytical results of load distribution curves under different radial forces

表2 最大接觸載荷對比Tab.2 Comparison of maximum contact load

3 分析結果與討論

加速工況普遍存在于旋轉(zhuǎn)機械的啟動過程中，且較為常見的加速過程為線性增加。根據(jù)滾動軸承在啟動階段的實際運行狀況，假設加速過程中內(nèi)圈轉(zhuǎn)速按線性規(guī)律變化，角加速度為a，內(nèi)圈角速度ωi在t1內(nèi)由0加速至ω1后保持勻速轉(zhuǎn)動，整個過程內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ωi可表示為

(17)

取ω1=300 rad/s，t1=1.6 s，角加速度a分別為200 rad/s2、300 rad/s2、400 rad/s2，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速變化曲線如圖5所示。

圖5 內(nèi)圈轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.5 Rotational speed curve of inner race

3.1 加速過程滾動體動態(tài)載荷特性分析

由于滾動體與內(nèi)、外圈的接觸載荷基本相同，因此本文選擇單個滾動體與內(nèi)圈的接觸載荷曲線，分析加速過程中滾動體載荷變化規(guī)律。圖6給出了徑向載荷為1 000 N，徑向游隙為15 μm，角加速度為300 rad/s2，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ωi由0加速到300 rad/s時，滾動體接觸載荷隨時間的變化曲線。從圖中可以看出，轉(zhuǎn)速的增加使得滾動體和內(nèi)圈的運動狀態(tài)時刻發(fā)生改變，滾動體相鄰兩個周期的時間間隔逐漸減小；不同轉(zhuǎn)動周期中接觸載荷曲線出現(xiàn)了程度不同的波動，且最大接觸載荷發(fā)生改變。

圖6 仿真接觸載荷曲線Fig.6 Simulated contact load curve

為了更加清晰地觀察到接觸載荷波動程度的變化規(guī)律，圖7給出了不同轉(zhuǎn)動周期內(nèi)接觸載荷隨滾動體位置角的分布曲線。從圖中可以看出，受到動態(tài)效應和慣性力的影響，不同周期內(nèi)滾動體的承載區(qū)角范圍并不完全一樣，且載荷分布曲線不再沿0°位置角(載荷作用線)對稱分布。加速過程初期，由于轉(zhuǎn)速較低，滾動體與內(nèi)圈之間的作用力較小，接觸載荷曲線無明顯波動，如圖7(a)所示。隨著加速過程的進行，轉(zhuǎn)速的增加在一定程度上加劇了滾動體與內(nèi)圈的運動不穩(wěn)定性，接觸載荷曲線出現(xiàn)了程度較小的波動，如圖7(b)、(c)所示。在加速過程的后期，滾動體與套圈之間的相對穩(wěn)定狀態(tài)破壞，波動變得明顯，隨著轉(zhuǎn)動周期的增加波動程度顯著增加，如圖7(d)～(f)所示。

(a) 第1個周期

圖8為最大接觸載荷隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線。從圖中可以看出，在加速過程的初始階段，最大接觸載荷保持不變，說明此階段內(nèi)滾動體與套圈的運動整體上是相對平穩(wěn)的，轉(zhuǎn)速的改變對最大接觸載荷的影響較小；隨著轉(zhuǎn)速的上升，滾動體與套圈運動出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，最大接觸載荷波動上升，且在加速過程的后期急劇增加。

圖8 最大接觸載荷隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線Fig.8 Variation curve of maximum contact load with rotation period

為進一步探究上述現(xiàn)象產(chǎn)生的內(nèi)在原因，圖9給出了不同轉(zhuǎn)動周期內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡曲線。從圖中可以看出，加速初期內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡相對光滑，局部產(chǎn)生小幅度波動，說明在加速的初始階段內(nèi)圈的運動整體上保持相對穩(wěn)定，局部發(fā)生了晃動，由于轉(zhuǎn)速較低，晃動對滾動體接觸載荷的影響較小，如圖9(a)所示。隨著加速過程的進行，轉(zhuǎn)速的增加以及慣性力對內(nèi)圈的不穩(wěn)定運動起到一定的抑制作用，如圖9(b)、(c)所示。當加速進入后期，轉(zhuǎn)速過快導致內(nèi)圈整體的穩(wěn)定運動被破壞，內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡形狀變得無規(guī)則，且隨著時間的增加不穩(wěn)定程度加劇，如圖9(d)～(f)所示。此外，內(nèi)圈質(zhì)心在Y方向產(chǎn)生了動態(tài)位移，使得載荷作用線不關于中心對稱。內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡的變化規(guī)律與接觸載荷的變化趨勢基本一致，一定程度上說明了加速過程中內(nèi)圈的不穩(wěn)定運動是導致滾動體接觸載荷發(fā)生變化的主要原因。

(a) 第1個周期

3.2 角加速度對滾動體動態(tài)載荷特性的影響

為了描述不同工況下滾動軸承動態(tài)載荷變化特性，定義動載系數(shù)

(18)

式中:Nimax為動態(tài)最大接觸載荷;Qmax為解析最大接觸載荷。

不同角加速度下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線如圖10所示。從圖10可以看出，加速過程中動載系數(shù)隨著隨轉(zhuǎn)動周期的增加先保持不變?nèi)缓蟛▌釉黾樱瑒蛩俎D(zhuǎn)動過程中則不發(fā)生改變；加速過程前期由于轉(zhuǎn)速較低，動態(tài)效應較弱，動載系數(shù)低于勻速過程下的動載系數(shù)。在加速轉(zhuǎn)變?yōu)閯蛩龠\動的過程中，動載系數(shù)急劇下降。當徑向力(Fr=1 000 N)、徑向游隙(Ud=15 μm)與內(nèi)圈質(zhì)量(mi=0.4 kg)保持不變時，加速過程前期不同角加速度下的動載系數(shù)基本相同，說明角加速度大小對加速前期動態(tài)效應的影響不大；加速過程后期隨著角加速度的增大，波動變化的幅度增加，這是由于角加速的增大加快了滾動體進出承載區(qū)及內(nèi)圈不穩(wěn)定運動的進程，使得動態(tài)效應更加明顯。

圖10 不同角加速度工況下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線Fig.10 Curves of dynamic load factor κ with rotation period under different angular acceleration conditions

3.3 徑向游隙對滾動體動態(tài)載荷特性的影響

圖11為徑向載荷Fr=1 000 N、內(nèi)圈質(zhì)量mi=0.4 kg、角加速度a2=300 rad/s2時在不同徑向游隙下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線。

圖11 不同徑向游隙工況下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線Fig.11 Curves of dynamic load coefficient κ with rotation period under different radial clearance conditions

從圖11可以看出，徑向游隙較小時，動載系數(shù)趨近于1，加速過程中波動變化幅度較小，此時仿真結果與解析結果較為接近，動態(tài)效應影響較小；隨著徑向游隙的增大，動載系數(shù)隨之增加，且軸承運轉(zhuǎn)過程中的波動越明顯。這是由于徑向游隙的增大使得軸承內(nèi)部的承載范圍縮小，滾動體所受最大接觸載荷增加。且內(nèi)圈和滾動體的不穩(wěn)定運動隨徑向游隙的增大而增強，動態(tài)效應明顯增強。因此，對于預測滾動軸承內(nèi)部的載荷分布，解析方法只適用于徑向游隙較小的情況，在徑向游隙較大的情況下存在較大誤差，此時有必要采用動力學方法進行計算。

3.4 內(nèi)圈質(zhì)量對滾動體動態(tài)載荷特性的影響

圖12給出了徑向載荷為1 000 N，徑向游隙為15 μm，角加速度為300 rad/s2時，不同內(nèi)圈質(zhì)量下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線，從圖中可以看出，當角加速度與徑向游隙保持不變時，隨著內(nèi)圈質(zhì)量的增加，加速過程中動載系數(shù)波動變化的幅度顯著增加，這是由于內(nèi)圈質(zhì)量的增大加劇了內(nèi)圈所產(chǎn)生的動態(tài)效應，而內(nèi)圈質(zhì)量對勻速過程的動態(tài)系數(shù)影響不大。

圖12 不同內(nèi)圈質(zhì)量下動載系數(shù)κ隨轉(zhuǎn)動周期變化曲線Fig.12 Curves of dynamic load coefficient κ with rotation period under different inner race mass

4 結 論

本文以深溝球軸承為研究對象，采用動力學分析方法，考慮滾動軸承運動部件的動態(tài)效應建立了滾動軸承動力學模型，研究了徑向載荷作用下滾動軸承在加速工況中的動態(tài)載荷分布特性及徑向游隙、角加速度、內(nèi)圈質(zhì)量的影響，為滾動軸承的設計與使用提供理論依據(jù)。主要結論如下：

(1) 加速工況中滾動體的載荷分布呈現(xiàn)一定的非對稱性，且在加速過程的后期出現(xiàn)較為明顯的波動；滾動體最大接觸載荷在加速過程初期基本不變，而在后期抖動上升。

(2) 內(nèi)圈質(zhì)心運動軌跡與滾動體接觸載荷的變化趨勢基本一致，加速過程中內(nèi)圈的不穩(wěn)定運動是導致滾動體接觸載荷發(fā)生變化的主要原因。

(3) 角加速度的改變對加速過程初期滾動體動態(tài)載荷的影響較小。但在加速過程后期，隨著角加速度的增加，滾動體動態(tài)載荷變化愈加劇烈。

(4) 滾動軸承動態(tài)載荷的變化程度隨著徑向游隙和內(nèi)圈質(zhì)量的增加而增大，在游隙或內(nèi)圈質(zhì)量(含轉(zhuǎn)子)較大的情況下進行軸承內(nèi)部載荷計算時，有必要采用考慮軸承運動部件動態(tài)效應的動力學分析方法。