基于遺傳算法的分支管路系統動力學優化設計

曹銀行，柳貢民，張 龍

(1.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱 150001；2.海裝駐哈爾濱地區第二軍事代表室，哈爾濱 150001)

遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳機制，在計算機上模擬生物進化的搜索尋優算法，被廣泛應用于各個領域[1-4]，如在振動主動控制領域，文獻[5-7]將遺傳算法用于柔性結構傳感器/作動器的位置優化，取得了較好的效果，證明了遺傳算法的高效性和較好的全局收斂性。分支管路作為一個復雜的結構系統，分支數量較多,設計變量較多，適于采用遺傳算法這種直接以目標函數值作為搜索信息，且可以同時搜索多個點優化算法。目前已有文章將遺傳算法用于分支管路路徑尋優問題，但未涉及分支管路動力學優化設計。

本文首先借鑒吸收傳遞矩陣法[8-9，20,22]的基本思想，給出了考慮內部流體時直管場傳遞矩陣和任意管路分支元件點傳遞矩陣的推導、應用和實驗證明過程(見附錄)；之后基于選定的分支管路設計基礎模型，參考均勻設計原則[21]選取計算樣本，利用吸收傳遞矩陣法對樣本的固有頻率、某一點的振動響應加速度級等動力學指標進行快速計算，最后利用二階多項式響應面函數逼近回歸模型并應用遺傳算法對分支管路系統進行優化設計。

1 直管動力學模型

輸流管路動力學研究中常采用基于一維梁理論及流體平面波理論的四方程模型[10]、八方程模型[11]及十四方程模型[12-14，22]等，其中十四方程模型是目前較為完善的輸流管路動力學模型。

1.1 直管簡化模型和基本假設

輸流直管簡化模型如圖1所示，同時管路動力學研究滿足下列基本假設：

圖1 直管簡化模型Fig.1 Simplified model of straight pipeline

① 管路為等截面、純彈性、均質、各向同性的圓型管；

② 流體壓力和流速在同一管道截面內是恒值；

③ 管道與流體之間的摩擦耦合可以忽略[15]；

④ 管內不存在充液管道的空穴現象[16]；

⑤ 用一維運動描述管內流體低頻壓力波是可行的[17,18]；

⑥ 忽略管路徑向變形引起的流體徑向運動及流體繞管軸的旋轉運動；

⑦ 管路的橫向彎曲振動符合Timoshenko梁模型的運動形式[19]，即彎曲力和位移滿足胡克定律描述的線性關系。

1.2 直管十四方程模型

本文選取參考文獻[22]中的十四方程模型展開研究，十四方程模型如下，包括四個軸向方程，八個橫向方程及兩個扭轉方程：

(1) 軸向方程

(2)y-z平面方程

(3)x-z平面方程

(4) 扭轉方程

其中：

m=ρpAp+ρfAf,B=ρpIp+ρfIf,

2 直管動力學問題的傳遞矩陣算法

2.1 直管場傳遞矩陣

引入包含各向運動變量的時域狀態向量[14,22]

則直管十四方程模型可寫成矩陣方程的形式

(1)

(2)

式(2)兩邊同時左乘A-1

(3)

求解矩陣A-1B的特征值矩陣T(s)和特征向量矩陣V(s)，可以推出：

V-1A-1BV=T

T(s)=diag{λ1(s)，λ2(s)，…，λ14(s)}

令v(z,s)=V-1(s)Y(z,s)，式(3)兩端同時左乘矩陣V-1(s)

(4)

式(4)的形式解為

v(z,s)=E(z,s)v0(s)

(5)

其中，

v(z,s)=[v1(z,s),v2(z,s),…,v14(z,s)]T

v0(s)為未定的積分常數，其值取決于邊界條件，而

由式(5)及E(0,s)=I14×14(14階單位陣)可得

Y(0,s)=V(s)E-1(L,s)V-1(s)Y(L,s)

(6)

即：

Φs=V(s)E-1(L,s)V-1(s)Φe

Φs,Φe分別為長度為L的直管始末端頻域狀態向量，Φs=Y(0,s),Φe=Y(L,s)。

因此可得直管場傳遞矩陣U

U=V(s)E-1(L,s)V-1(s)

(7)

2.2 傳遞矩陣法計算管路動力學問題的一般步驟

結合傳遞矩陣法的基本思想以及管路邊界條件矩陣，管路振動整體方程可用矩陣的形式表示為[14]

(8)

式中：Ds、De均為7行14列的矩陣，分別表示管路始末端邊界條件，具體形式見參考文獻[20];Fs、Fe分別為管路始末端頻域下的外部激勵列向量。

式(8)可簡寫為

DtotΦtot=Ftot

(9)

式中,Dtot、Φtot、Ftot分別表示整體傳遞矩陣、整體狀態向量以及整體邊界激勵向量。

變換式(9)，可以得到

由Φtot=[ΦsΦe]T可知，Φtot的前部分為直管始端狀態向量，結合直管場傳遞矩陣(7)，則可得管路任意一點的狀態向量Φ(z,s)。

當研究的問題是系統固有特性時，則可令整體外部激勵向量Ftot=0。式(9)簡化為

DtotΦtot=0

(10)

式中，Φtot具有非零解的條件是系數矩陣Φtot的行列式等于0，由此可以求得管路的固有頻率。

3 分支管路動力學計算的吸收傳遞矩陣法

3.1 分支元件點傳遞矩陣的推導

分支元件是管路系統中非常常見的管路元件，分支間的夾角會根據實際工程需求而復雜多樣。

圖2為包含N個子分支的分支元件，第n個子分支與第一個子分支間的夾角(順時針)用αn表示，第n個子分支在分支點處的狀態向量用Φn表示。取主傳遞路徑為通過子分支1傳至子分支2。

圖2 包含N個子分支的分支管路Fig.2 Branch pipeline containing N sub-branches

參考文獻[9,22]，考慮內含流體的分支元件，得到流體連續方程及分支點處的力與力矩的平衡方程

{Fz+AfP}1+…+{Fz+AfP}NcosαN-

{Fy}NsinαN=0

{Fy}1+…+{Fy}NcosαN+{Fz+AfP}NsinαN=0

{Mx}1-{Mx}2…-{Mx}N=0

{Fx}1-{Fx}2-…-{Fx}N=0

{My}1+{My}2cosα2+{Mz}2sinα2+…+

{My}NcosαN+{Mz}NsinαN=0

{Mz}1+{Mz}2cosα2-{My}2sinα2+…+

{Mz}NcosαN-{My}NsinαN=0

(11)

子分支1子與分支2在分支點處存在如下連續及平衡條件[22]

{P}1={P}2

(12)

同時在分支點處，第2個子分支與第n(3≤n≤N)個子分支存在連續和平衡條件[22]

{P}n={P}2

{Fx}1-{Fx}2-…-{Fx}N=0

(13)

經過拉普拉斯變換后，由式(11)和式(12)容易得到

P1Φ1=P2Φ2+P3Φ3+…+PNΦN

(14)

P1,P2,…,PN為與α2,α3,…,αn有關的14×14的系數矩陣。

式(13)可寫成如下矩陣方程形式

AnΦn=A2Φ2

(15)

其中矩陣An為7×14的系數矩陣。

第n(3≤n≤N)個子分支(即除主路徑外的所有子分支)自分支點至邊界端的狀態向量傳遞關系為

Φn=UnΦn,b

其中Φn,b為第n個子分支邊界端的狀態向量，同時任意邊界激勵條件下在第n個子分支滿足

DnΦn,b=Fn

因此可得

(16)

由式(15)及(16)可得

HnΦn=TΦ2+Fnn

其中，

容易驗證，矩陣H2與T均為14階方陣，故有：

(17)

將式(17)代入式(14)，有

Up+Mp

(18)

3.2 吸收傳遞矩陣法的應用及證明

對于包含t個分支元件的管路系統，在求解管路系統動力學問題時，只需將Dtot中的U,Ftot中的0分別進行替換

在利用吸收傳遞矩陣方法計算分支管路動力學特性時，分支元件和直管段管路可以獨立地分塊計算，并且分支數目的增加或減少并不影響分支管路系統的總體傳遞矩陣維數，因此吸收傳遞矩陣方法有利于編制通用程序，且計算量相對穩定，計算效率也較高。

結合2.2和3.1可得吸收傳遞矩陣法計算分支管路動力學特性流程圖，如圖3所示。

圖3 吸收傳遞矩陣法動力學計算流程Fig.3 Flow chart of dynamic calculation by absorbing transfer matrix method

4 基于遺傳算法的分支管路動力學設計

4.1 分支管路遺傳算法動力學設計基本原理

4.1.1 遺傳算法的基本原理和結構

遺傳算法是通過提取生物進化主要的內在因素和外在因素來模擬生物進化過程的一種數學模型，它的構造遵循達爾文的進化論和現代遺傳學原理。標準遺傳算法提供了一種求解復雜系統優化問題的通用框架。對于一個需要優化的實際應用問題，一般可按圖4基本步驟構造遺傳算法。

圖4 簡單遺傳算法流程圖Fig.4 Flow chart of simple genetic algorithm

4.1.2 分支管路遺傳算法動力學設計基本結構

本文擬基于選定的分支管路設計基礎模型，應用吸收傳遞矩陣數值計算方法和遺傳算法對分支管路進行優化設計。首先根據優化變量的參數變化空間，參考均勻原則[21]選擇計算樣本；然后應用吸收傳遞矩陣法進行樣本計算，并利用二階多項式響應面函數逼近回歸模型；最后應用遺傳算法尋優，獲得動力學性能優越的分支管路設計方案。分支管路遺傳算法優化設計方案流程圖，如圖5所示。

圖5 分支管路動力學優化設計流程圖Fig.5 Flow chart for dynamic optimization design of branch pipeline

4.2 分支管路遺傳算法動力學設計實例

以往的研究經驗表明，由于輸流泵額定轉速、最高或最低轉速等條件的限制，正常工作的管路系統內流體速度都有一定的范圍，且在該范圍內流體速度對分支管路動力學計算結果的影響很小，影響更大的是輸送流體的密度、體積模量等屬性參數，因此在以下的兩個算例中都暫時假設管路中流體的為靜止狀態。

4.2.1 雙分支管路分支點位置的優化選擇

圖6為以管路中心線描述的雙分支管路系統設計基礎模型，管路設計的目的為在主路徑AB段和BC段分別選取分支點F和G建立分支管段DF和EG，組成雙分支管路，同時保證該雙分支管路系統的第一階固有頻率最低。

圖6 雙分支管路設計基礎模型Fig.6 Basic model of double branch pipeline design

各直管段均滿足內半徑R=0.025 m；壁厚e=0.004 m；管路材料的泊松比ν=0.29；密度ρ=7 800 kg/m3，楊氏模量E=168 GPa，管內流體為空氣。

D、E兩點到管段AC的垂直距離均為1 m；D點到A點，E點到B點的水平距離也均為1 m。

① 優化模型的建立(基礎模型)

優化模型的形式如下：

MinF=F(x1,x2)

其中，F為優化目標即雙分支管路的第一階固有頻率，x1,x2為自變量，本設計實例里選定為AF和BG段的長度。考慮管口、分支點和管路半徑的影響，設優化變量的變化空間，即x1,x2滿足：

0.1≤x1,x2≤1.9

② 二階響應面模型的建立(回歸模型)

利用實際可用的回歸模型或關系表達式來替代詳細的模擬分析，可以大大降低模擬計算的次數。本文采用二階多項式響應面模型作為回歸模型來搜索最優設計方案。二階響應面模型的基本方程如下

其中，N為變量數，(x1,x2,…,xN)為模型的輸入變量集合，a0,bi,ci,cij(i=1,…,N;j=1,…,N)為方程的多項式系數。

對于雙分支管路設計問題，其變量個數N=2。將上式展開，則回歸模型即為含有6個系數的二階響應面函數

(19)

參考均勻設計原則[21]生成了19個計算樣本見表1，利用吸收傳遞矩陣法對表1中的計算樣本進行計算，得到每個計算樣本的第一階固有頻率見表2。

表1 雙分支管路計算樣本Tab.1 Computational sample of double branch pipeline

表2 吸收傳遞矩陣法計算結果 Tab.2 Calculation results of absorption transfer matrix method Hz

利用Matlab軟件非線性擬合程序擬合表2中的計算結果得到二階響應面模型的具體表達式如下

③ 遺傳算法尋優

根據二階響應面函數的特點，應用Matlab遺傳算法程序，以雙分支管一階固有頻率F最小為優化目標進行尋優。

④ 優化設計結果

遺傳算法到的最優解如表3所示，之后將最優解代入吸收傳遞矩陣法進行計算，并建立有限元模型進行仿真，得到的雙分支管路系統一階固有頻率分別為20.0 Hz和20.1 Hz，理論優化目標與吸收傳遞矩陣法計算結果相差6%，與仿真結果差6.48%。這主要是因為在遺傳算法中沒有加入損失模型模塊，造成數值模擬的結果與理論優化目標有一定偏差。同時可以看出此時管路系統為對稱布置，與分支管路對稱布置時固有頻率更低的研究經驗相符。

表3 遺傳算法優化結果Tab.3 Optimization result of genetic algorithm

4.2.2 分支管路支撐位置的優化設計

圖7為以管路中心線描述的平面Y型分支水管路設計基礎模型，管路設計的目的為在直管BC段和兩分支的EF及HI段分別選取一點施加管路彈性支撐，使得在A點受到大小為80 kN,作用時間為0.002 s的x向的瞬態激勵力時，G點在某一頻率下的振動響應加速度級最小(算例里選定為50 Hz)。

圖7 支撐位置設計基礎模型Fig.7 Basic model for design of support positions

由參考文獻[22]可知彈性支撐點左、右兩側狀態向量的傳遞關系滿足ΦL=PΦR，其中彈性支撐點傳遞矩陣為

假設彈性支撐各向線性和扭轉剛度為

kx=1×106;ky=1×106;kz=1×106;

kx,ky,kz表示線性剛度，單位：N/m

kax=1×106;kay=1×106;kaz=1×106；

kax，kay，kaz表示扭轉剛度，單位：N/m

圖7中，各段長度滿足AB=CD=DE=DH=FG=IJ=0.5 m；BC=2 m；EF=HI=1 m；管內充滿壓力為0.2 MPa的靜止的水；管路系統A、G兩端自由、J端固支，其它參數與4.2.1雙分支管路系統相同。

① 優化模型的建立

優化模型的形式如下

MinF=F(x1,x2,x3)

其中，F為優化目標即G點在50 Hz下的振動加速度級，x1,x2,x3為自變量，該設計實例里選定為支撐1到B點、支撐2到E點、支撐3到H點的距離。

② 二階響應面模型的建立。

參考均勻設計原則[21]生成21個計算樣本。利用Matlab軟件非線性擬合程序擬合21個計算樣本的吸收傳遞矩陣法計算結果，得到二階響應面函數模型如下

③ 優化設計結果

應用自編程遺傳算法優化程序得到最優解見表4。同時將最優解代入吸收傳遞矩陣法整體計算模型進行計算，得到瞬態激勵下G點在50 Hz處80 kN作用力下的振動加速度級為145.2 dB,理論優化目標與吸收傳遞矩陣法計算結果相2%。(參考加速度為10-6m/s2)。此時管路系統同樣為對稱布置。

表4 遺傳算法優化結果Tab.4 Optimization result of genetic algorithm

5 結 論

本文借鑒吸收傳遞矩陣的基本思想給出了任意管路分支元件點傳遞矩陣的建立過程，實現了任意分支管路系統動力學問題的求解并通過與實驗結果的對比證明其正確性(見附錄)；之后基于選定的分支管路設計基礎模型，利用均勻設計原則選取計算樣本并應用傳遞矩陣法對樣本模型進行計算，最后利用二階多項式響應面函數逼近回歸模型并應用遺傳算法尋優，對分支管路進行優化設計，通過吸收傳遞矩陣法、均勻設計原則和數學建模優化的方法，更好地節省了計算成本和資源，對分支管路設計過程有一定的指導意義。

綜上所述，本文的特征在于：

(1) 給出了基于吸收傳遞矩陣法的分支管路系統動力學計算程式化方法，提高了待優化分支管路系統樣本計算的效率；

(2) 參考均勻設計原則設置計算樣本，能在減少實驗次數的同時更好地反映各自變量對優化目標的影響；

(3) 選擇精度較高的二階響應面模型作為回歸模型，直接代替數值計算進行優化設計，大幅度地提高了優化效率；

(4) 采用遺傳算法能很好地尋求到模型的最優解。

附錄A 分支管路吸收傳遞矩陣法實驗證明

實驗管路安裝示意圖如圖A1所示。

圖A1 管路安裝示意圖Fig.A1 Pipeline installation diagram

吸收傳遞矩陣法計算結果與實驗測得 1、2 兩點的管壁振速傳函的比較結果分別如圖A2和圖A3所示。圖A2和圖A3的比較結果表明吸收傳遞矩陣法理論預測結果與實驗結果吻合較好，進而證明了其正確性。

圖A2 1點x方向的傳函Fig.A2 Transfer function of point 1 in x direction

圖A3 2點x方向的傳函Fig.A3 Transfer function of point 2 in x direction