改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器的非線性動力學行為研究

江 偉，吳榮華，袁 芳

(1.東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室，南昌 330013;2.安徽文達信息工程學院 計算機工程學院，合肥 231201;3.五邑大學 智能制造學部，廣東 江門 529020)

電力電子電路的理論研究落后于應用研究，經常是某電路已被廣泛應用，?但它的理論模型還未徹底理解，由于該電路中有快速切換的開關器件，具有豐富的復雜動力學行為，比如次諧波振蕩、分岔、間歇和混沌等非線性現象[1-2]。逆變器是一種基本電力電子電路，廣泛應用在不間斷電源、變頻調速和智能電網等工程領域，然而其屬于典型的非線性系統，在實際的工程應用中，不可避免地會出現一系列非線性動力學行為，導致系統運行不穩定，甚至崩潰[3]。因此，探索逆變器中的非線性動力學行為是非常有價值的，它能幫助電力電子工程師采取措施提高逆變器的穩定性，還能為逆變器制造商的電路設計提供可靠的理論依據。

過去研究電子電路中的復雜動力學行為主要對象是DC-DC電路和PFC電路。近年來，對逆變器中的非線性行為研究已逐步開展，Robert等[4]首次分析了比例控制H橋逆變器中的非線性行為，發現DC-AC變換器中也存在復雜的動力學行為；王學梅等[5]以SPWM-H橋逆變器為研究對象，詳細分析了該系統中的快變與慢變不穩現象及非線性行為；張金科等[6]基于分岔混沌理論，分析了開關頻率對SPWM-H橋逆變器的影響；陶彩霞等[7]研究了準比例諧振調節下三相LCL型并網逆變器在快時間尺度上的動力學行為。但上述文獻都只探索了線性控制H橋逆變器的穩定性與非線性現象。

滑模控制是一種典型的非線性控制方式，在一定工作范圍內，具有良好的魯棒性、自適應性及動態特性等特點，能有效提高非線性系統的穩定性能，因而，在逆變器系統的控制中得到應用[8-9]。由于滑模控制中存在抖振問題，抖振過大會使控制系統不穩定，已有研究表明，趨近律方法能有效削弱滑模控制中的抖振幅度[10]。

本文采用改進指數趨近律減弱抖振現象，此方法使滑模運動具有良好的動態品質，目前，改進指數趨近律的滑模控制方式在電機驅動控制領域已有一定的應用，并取得了優秀的控制效果。因此，將改進指數趨近律的控制方式引入到逆變器的滑模控制中有廣闊的應用前景。然而，滑模控制的H橋逆變器是一種典型的非線性控制的時變系統，存在復雜的動力學行為。

鑒于此，以改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器為研究對象。分析該系統的運行過程及狀態，建立其離散模型。通過分岔圖和折疊圖分析隨不同控制參數k1與k2變化系統的動力學行為的演化過程。運用快變穩定性定理對系統的穩定性能進行理論分析。進一步觀察輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數變化對系統穩定性能的影響，為改進滑模控制的H橋逆變器的設計提供可靠的理論指導，具有一定的理論意義和實際工程價值。

1 改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器的工作原理及離散模型

改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器如圖1所示，該系統電路由主電路和控制電路組成，主電路包含直流電壓源E、開關管D1～D4、感性負載R和L。控制電路中，把參考電流iref和負載電流i的比較結果輸入到改進指數趨近律滑模控制器中，得到的控制變量u再通過PWM驅動電路控制開關管的導通與截止。

圖1 H橋逆變器原理圖Fig.1 H-bridge inverter

滑模控制是不連續的，一定會產生抖振，從而引發控制系統的不穩定。研究表明，通過改進指數趨近律可以削弱抖振，其控制變量u可表示為

u=k1e+k2e2sgn(e),k1>0,k2>0

(1)

其中，e=iref-i。

由圖1可知，該逆變器系統有2種狀態，D1、D4導通，D2、D3截止，此為工作狀態1，負載電流上升；D2、D3導通，D1、D4截止，此為工作狀態2，負載電流下降。取負載電流i作為狀態變量，則兩種狀態的模態方程分別如式(2)和(3)所示。

(2)

(3)

式中：i是負載電流；v是負載電壓。

通過改進指數趨近律滑模控制器的調節，逆變器會在2種模態之間來回切換，由于利用PWM驅動電路控制，一個開關周期TS內系統狀態只切換一次。工作波形如圖2所示，TS=1/fS表示控制器的開關周期，fS是開關頻率，tn表示在第n個開關周期內狀態1運行的時間，TS-tn表示在第n個開關周期內狀態2運行的時間，則第n個開關周期狀態1的占空比為dn=tn/TS。取參考電流為正弦波(iref=Asin(2πft)，且f?fS)，逆變器處于正弦逆變狀態。

圖2 負載電流工作波形Fig.2 Load current operating waveforms

為研究逆變器系統的非線性動力學行為，運用頻閃映射的方法建立系統的離散模型，其核心思想是以開關周期TS作為頻閃采樣的時間間隔，用狀態變量在第n個開關周期的采樣值來表示該變量在第n+1個開關周期的采樣值。根據式(2)和(3)，可建立改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器的迭代方程

(4)

式中:a=E/R；τ=L/R；in、in+1分別為負載電流i在采樣時刻nTS和(n+1)TS值。

通過對改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器工作原理的分析，并結合占空比的有界性，dn為

(5)

其中，δ是第n個開關周期起始時刻參考電流采樣值iref,n與負載電流采樣值in之間的差值，則

δ=iref,n-in

(6)

iref,n=Asin(2πfnTS)

(7)

因此，式(4)和(5)構成了該逆變器系統的離散模型。

2 改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器非線性動力學行為分析

建立改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器系統的離散模型，電路參數設置為：E=160 V，R=10 Ω，L=3 mH，fS=30 kHz，iref=5sin(40πt)，即f=20 Hz。通過分岔圖和折疊圖等方法分析該系統隨控制參數變化時系統產生的非線性動力學行為。

2.1 分岔圖

分岔圖可以有效觀察系統的非線性動力學行為，它不僅能呈現出系統非線性動力行為的演化過程，還能分析出系統穩定與不穩定的臨界點。

固定k1=0.25，取k2為分岔參數，繪制系統隨控制參數k2變化時不同位置采樣的分岔圖，如圖3所示。

圖3(a)給出了系統在輸出波形峰值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k2≤0.12時，分岔圖呈現出穩定單一的曲線，系統工作在穩定的單周期狀態；當0.12

(a) 峰值附近采樣

圖3(b)給出了系統在輸出波形谷值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k2≤0.19時，分岔圖呈現出單一曲線，系統處于穩定的周期1狀態；當0.19

通過分析圖3可得結論：固定k1=0.25，隨控制參數k2由0增大到2的過程中，改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器由穩定單周期工作狀態演變為一種特殊分岔狀態，即多種倍數周期同時存在的狀態。

固定k2=0.4，取k1為分岔參數，繪制系統隨控制參數k1變化在不同位置采樣的分岔圖，如圖4所示。

(a) 峰值附近采樣

圖4(a)給出了系統在輸出波形峰值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k1≤0.38時，分岔圖呈現出2條曲線，系統工作在周期2狀態；當0.38

圖4(b)給出了系統在輸出波形谷值附近采樣的分岔圖，由此圖可知，當0≤k1≤0.08時，分岔圖呈現出周期4窗口，系統工作在周期4狀態；當0.08

通過分析圖4可得結論：固定k2=0.4，隨控制參數k1由0增大到2的過程中，改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器由多周期同時存在的特殊分岔狀態演化為混沌狀態，系統表現出復雜的非線性動力學行為。

2.2 折疊圖

折疊圖可以直觀反映出系統的非線性動力學行為，其繪制方法如下：選取任意初值代入系統的離散模型進行迭代，對每個正弦周期采樣M個點(M=fS/f=1 500)，將穩定后的數個正弦周期按采樣時刻對齊后折疊。圖5給出當k1=0.25時，k2分別取0.05、0.15、0.25、0.4、0.53和0.65時，該系統的折疊圖。

(a) k2=0.05

由圖5(a)可知，當k2=0.05時，從波峰到波谷的過程中，折疊圖表現出一條光滑、穩定的正弦曲線，系統工作在穩定的周期1狀態。

由圖5(b)可知，當k2=0.15時，折疊圖在波峰附近表現出兩條曲線，系統在此處于倍周期分岔狀態，在波谷附近表現出一條曲線，系統工作在穩定的單周期狀態。

由圖5(c)可知，當k2=0.25時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現出兩條曲線，系統工作在周期2狀態。

由圖5(d)可知，當k2=0.4時，折疊圖在波峰附近表現出兩條曲線，系統工作在倍周期分岔狀態，在波谷附近表現出采樣點密集填充一定區域，系統工作在混沌狀態。

由圖5(e)可知，當k2=0.53時，折疊圖在波峰附近表現出兩條混沌帶，系統工作在混沌狀態，在波谷附近表現出被采樣點雜亂無章填充，系統工作在混沌狀態。

由圖5(f)可知，當k2=0.65時，折疊圖在波峰附近表現出采樣點雜亂無章填充一定區域，系統工作在混沌狀態，在波谷附近呈現三條曲線，系統工作在周期3狀態，折疊圖在其它區域還表明系統會工作在周期2和周期4狀態。

研究表明，圖5折疊圖分析的結論與圖3分岔圖所分析的結論是一致的，固定控制參數k1，改變控制參數k2的取值，系統表現出復雜的非線性動力學行為。

當固定k2=0.4，分別取控制參數k1為0.05、0.2、0.44、0.55、0.65和1.5，繪制出該系統的折疊圖，如圖6所示。

(a) k1=0.05

由圖6(a)可知，當k1=0.05時，折疊圖在波峰附近表現出兩條曲線，系統工作在周期2狀態，在波谷附近的局部放大圖，可以看出是四條曲線，系統工作在周期4狀態。

由圖6(b)可知，當k1=0.2時，折疊圖在波峰附近表現出兩條曲線，系統工作在周期2狀態，在波谷附近表現出被采樣點密集填充，系統工作在混沌狀態。

由圖6(c)可知，當k1=0.44時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現出采樣點密集填充某一區域，系統工作在混沌狀態。

由圖6(d)可知，當k1=0.55時，折疊圖在波峰附近出現兩條混沌帶，系統工作在混沌狀態，在波谷附近表現出采樣點密集填充一定區域，系統工作在混沌狀態。

由圖6(e)可知，當k1=0.65時，折疊圖在波峰附近出現兩條混沌帶，系統在此處于混沌狀態，在波谷附近的局部放大圖，可以看出是六條曲線，系統工作在周期6狀態。

由圖6(f)可知，當k1=1.5時，折疊圖在波峰和波谷附近都表現出采樣點雜亂無章填充一定區域，系統工作在混沌狀態。

研究表明，圖6折疊圖分析的結論與圖4分岔圖所分析的結論是一致的，固定控制參數k2，改變控制參數k1的取值，系統表現出復雜的非線性動力學行為。

3 系統穩定性分析

對H橋逆變器系統的穩定性進行理論分析，通常采用Jacobian矩陣法和Lyapunov指數法，這兩種方法均需要對系統迭代方程求導。然而，改進指數趨近律滑模控制H橋逆變器系統的離散模型具有不可導部分，因此，上述兩種方法已無法分析系統的穩定性。

為更加深入對改進指數趨近律滑模控制H橋逆變器的非線性動力學行為進行理論分析，并且進一步驗證分岔圖和折疊圖分析所得結論的一致性。因此，采用快變穩定性定理分析該系統的穩定性，此方法的核心思想是：取電流下降段過零點附近的M個開關周期，分別用每個開關周期的占空比和下一個開關周期的占空比作差再除以兩者差的絕對值，把計算出的M個數進行累加即得到P[11]。P的計算公式如下

(8)

其中，dn、dn+1分別是第n和n+1個開關周期的占空比。當P=M，系統工作在穩定狀態；當P

將式(5)代入式(8)可得改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器穩定性的計算公式P為

P=

(9)

其中，σn=iref,n-in；σn+1=iref,n+1-in+1。

取N0=1 839，M=25，其它參數保持不變，對式(9)進行數值運算，得到快變穩定性定理判斷結果，如圖7所示。圖7(a)給出了當k1=0.25時，P關于k2的曲線圖，當0≤k2≤0.12時，P等于M，系統工作在穩定狀態，否則系統處于不穩定狀態，因此當k1=0.25時，k2=0.12是系統穩定與不穩定的分界點；圖7(b)給出了當k2=0.4時，P關于k1的曲線圖，可知k1值由0增加到2的過程中，P一直小于M，系統一直工作在不穩定狀態。

(a) k1=0.25

研究表明，圖7理論分析所得結論與圖3和圖4分岔圖的分析結論完全相同，進一步驗證了數值仿真分析結論是正確的，使得研究結論更具有說服力。

4 外部參數變化對系統性能的影響

研究表明，改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器的穩定性能不僅與控制器參數有關，還與外部參數電壓E、電感L以及電阻R等外部參數有關。鑒于此，分別以輸入電壓E、負載電阻R和電感L為分岔參數，繪制出該逆變器系統分別隨電路分岔參數變化的分岔圖，如圖8所示。

(a) 分岔參數為E

根據圖7對系統穩定性的分析，可知當k1=0.25時，k2的穩定運行參數域為[0,0.12]，因此，當k1=0.25，k2=0.1，其它參數固定不變。以輸入電壓E為分岔參數，令此電路參數由50 V向450 V變化，步長為1 V，在輸出波形峰值附近采樣負載電流值并保留采樣點，繪制出隨輸入電壓E變化系統的分岔圖，如圖8(a)所示。隨輸入電壓E的增大，該逆變器系統的工作狀態由穩定的單周期狀態演化到倍分岔周期狀態，當E=345 V時，進入混沌狀態。

根據圖8(a)分岔圖的分析，可得輸入電壓E的穩定運行參數域為[0,170]，因此，固定E=160 V，取電阻R=5～35 Ω，電感L=0～4 mH，保持其它參數不變，繪制分別隨電阻R和電感L變化系統的分岔圖。由圖8(b)可知，隨著電阻R增大該逆變器系統表現出復雜的非線性動力學行為。隨著電阻R的增加，該逆變器系統由穩定的單周期狀態演變到周期3狀態，不久突變進入混沌狀態，最后增加到23 Ω時，出現倍周期分岔現象，進入周期2狀態。圖8(c)給出了該逆變器系統隨電感L變化的分岔圖，由此圖可知，隨著電感L的增大，該系統工作狀態由倍周期分岔狀態演化到周期4狀態，然后進入混沌狀態，隨后轉變到周期2狀態，最后當電感L等于2.5 mH時，系統進入穩定的單周期狀態，系統表現出非常豐富的復雜動力學行為。

通過分析圖8分岔圖可知，輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部參數的變化對改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器穩定性產生重要的影響。因此，為提升改進指數趨近律滑模控制逆變器系統的工作穩定性，在實際產品的設計中應選擇合理的電路參數。

5 結 論

研究表明，改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器中存在復雜的非線性動力學行為。根據該系統的工作過程，得出系統在改進指數趨近律滑模控制下的離散模型，運用分岔圖與折疊圖分析在不同控制參數k1與k2變化下系統復雜動力學行為的演變過程。然后，通過快變穩定性定理分析系統的穩定性，發現理論分析與分岔圖和折疊圖分析的結論完全一致。最后，采用分岔圖分析輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數變化對系統穩定性能的影響。研究結論表明，改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器會產生豐富的動力學行為，系統的穩定性能不僅與控制參數k1與k2有關，還與輸入電壓E、負載電阻R和電感L等外部電路參數有密切的關系。研究的結論對改進指數趨近律滑模控制的H橋逆變器的設計、分析和調試都具有一定的理論指導意義。