氣動肌肉力-位移遲滯特性實驗與建模

孟德遠 李順利 楊 林 李艾民 唐超權

(1.中國礦業大學機電工程學院, 徐州 221116； 2.重慶大學機械工程學院, 重慶 400044)

0 引言

氣動肌肉(PAM)是一種仿人體肌肉提供收縮力的氣動執行元件。常見的McKibben型氣動肌肉由橡膠管氣囊、纖維編織網及兩端固定裝配件組成。由于編織網的纖維不可伸展，當氣動肌肉充入壓縮空氣、氣囊膨脹時，編織網纖維間的角度變化使氣動肌肉縮短，從而產生軸向收縮力。氣動肌肉具有功率-質量比大、柔順性好、清潔、安裝使用方便等優點，在仿生機器人[1-4]和農業機器人[5]領域具有廣泛的應用前景，特別是在有清潔和大驅動力要求的農業采摘及處理場合。由于內部摩擦、橡膠管彈性變形等原因，氣動肌肉具有非常復雜的輸出特性，且收縮力與位移之間存在明顯的遲滯現象[6-8]，精確控制氣動肌肉的收縮量或長度十分困難。近年來，科研人員建立了許多氣動肌肉力學模型，并用于控制器設計，顯著改善了控制性能，但對氣動肌肉的遲滯特性研究不夠深入，導致難以進一步提高氣動肌肉的控制精度，嚴重制約了該類執行器在上述領域的大規模應用。

物理系統的遲滯現象一直是研究熱點，國內外學者提出了許多遲滯模型，其中以Prandtl-Ishlinskii模型[9-14](簡稱PI模型)、Maxwell-slip模型[15](簡稱MS模型)為代表的積分類模型和以Bouc-Wen模型[16-19](簡稱BW模型)為代表的微分類模型最常見。針對氣動肌肉的遲滯特性，MINH等[15]忽略氣動肌肉力-位移遲滯現象的非對稱性，采用MS模型對其進行描述，并通過分析遲滯曲線變化趨勢得到模型參數計算方法；LIN等[20]采用PI模型描述氣動肌肉的位移-壓力遲滯現象，并利用遺傳算法進行模型參數辨識；王斌銳等[21]通過對PI模型的play算子進行修正來描述非對稱遲滯現象，提出一種氣動肌肉壓力-位移遲滯的PI+Polynomial模型；XIE等[22]為更精確描述氣動肌肉的位移-壓力非對稱遲滯現象，將PI模型與死區算子模型串聯建立一種PI+Dead-zone模型，并利用最小二乘法進行模型參數辨識；王琦瓏等[23]建立氣動肌肉力-位移遲滯的改進BW模型，該模型的參數比積分類模型少，能描述具有非對稱極點的遲滯曲線；ASCHEMANM等[24]建立氣動肌肉力-位移遲滯的PI模型、MS模型和J-Song模型(一種通用BW模型)，并進行各模型參數辨識，通過實驗對比發現，3種模型精度相差不大。需要指出的是，PI類模型具有的率不相關性與氣動肌肉力-位移遲滯現象的特性相吻合，且其遲滯算子形狀與氣動肌肉的力-位移遲滯曲線相接近，因此，采用PI類遲滯模型來描述氣動肌肉力-位移遲滯現象具有顯著優勢。由于氣動肌肉力-位移遲滯現象的強非對稱性，使其非對稱信息無法由經典PI模型表達，加之存在其遲滯曲線與常用PI類遲滯模型方向不匹配的問題，導致建立一種適用于描述氣動肌肉非對稱力-位移遲滯現象的高精度PI類模型十分困難。

本文搭建氣動肌肉收縮力測試實驗臺，通過實驗得到氣動肌肉力-位移遲滯曲線，分析并驗證氣動肌肉的力-位移遲滯的非對稱性、非局部記憶性、大壓力弱相關性和準率不相關性，基于PI+Dead-zone模型，并對其進行修正，建立一種高精度氣動肌肉通用PI遲滯模型，并完成參數辨識，對模型精度進行分析，并與PI類模型及BW類模型等5種模型進行對比。

1 氣動肌肉力-位移遲滯特性

通常將運動過程中氣動肌肉的收縮力FM(ξ,p)分為靜態力Fs(ξ,p)和遲滯力Fh(ξ,p)兩部分，即

FM(ξ,p)=Fs(ξ,p)+Fh(ξ,p)

(1)

其中ξ=(lmax-l)/lmax×100%

式中p——氣動肌肉腔內絕對壓力

ξ——氣動肌肉收縮率

lmax——氣動肌肉原始長度

l——氣動肌肉收縮后長度

圖1展示了氣動肌肉靜態力與位移關系，將靜態力從收縮力中減去，得到如圖2所示的遲滯力與位移關系曲線，該曲線通常也被稱為氣動肌肉力-位移遲滯曲線。氣動肌肉的力-位移遲滯現象呈現如下特性：

(1)非對稱性

氣動肌肉的力-位移遲滯曲線是非對稱環形曲線，即氣動肌肉收縮和恢復原始長度過程中的遲滯力關于中心(位移與遲滯力中點)不對稱。

(2)非局部記憶性

如圖3所示，保持氣動肌肉腔內壓力恒定、初始長度不變，不同行程下氣動肌肉力-位移遲滯曲線的形狀與位置存在顯著差異。由此可見，氣動肌肉的力-位移遲滯現象具有非局部記憶特性，即氣動肌肉的遲滯力不僅與其當前長度有關，還受運動軌跡幅值、起始長度的影響。此外，行程越大，氣動肌肉力-位移遲滯曲線的非對稱性越顯著，由此可見，非局部記憶性對氣動肌肉力-位移建模及相關控制起著至關重要的作用。因此，對氣動肌肉力-位移遲滯現象高精度建模需考慮不同行程的情況。

(3)大壓力弱相關性

保持氣動肌肉行程不變、起始長度不變，改變其腔內壓力，測得氣動肌肉的力-位移遲滯曲線如圖4所示，當氣動肌肉腔內壓力大于一定值后，各力-位移遲滯曲線基本一致。由此證明氣動肌肉在大壓力、同行程、同起始長度條件下，其遲滯力受腔內壓力影響較小。合理利用此特性可以簡化氣動肌肉遲滯建模的實驗量。實驗發現，對于本次實驗被測型號氣動肌肉，當實際工作中其腔內壓力大于0.5 MPa，可認為其遲滯力與腔內壓力無關。

(4)準率不相關性

保持氣動肌肉運動行程和壓力不變，改變其收縮速度和換向頻率，測得氣動肌肉力-位移遲滯曲線如圖5所示，各遲滯曲線的形狀及位置基本一致，表明收縮速度和換向頻率對氣動肌肉遲滯特性影響很小。保持氣動肌肉運動行程和壓力不變，改變氣動肌肉運動軌跡類型，測得氣動肌肉力-位移遲滯曲線如圖6所示，兩遲滯曲線也基本一致。由于實驗時氣動肌肉的換向誤差較大，氣動肌肉在運動兩拐點附近遲滯曲線誤差較大，但其遲滯曲線趨勢一致。由此可得，氣動肌肉力位移遲滯現象宏觀上具有準率不相關性，即遲滯曲線形狀與收縮速率及換向頻率無關。

2 氣動肌肉力-位移遲滯模型

以收縮率作橫坐標時，氣動肌肉力-位移遲滯曲線如圖7所示，得到的遲滯力隨收縮率增大而減小，且遲滯曲線呈逆時針方向。以長度作橫坐標時，氣動肌肉力-位移遲滯曲線如圖8所示，得到的遲滯力隨肌肉長度增大而增大，且遲滯曲線呈順時針方向。本文選定以氣動肌肉長度作為橫坐標繪制力-位移遲滯曲線。

2.1 經典PI模型

氣動肌肉力-位移遲滯現象的經典PI模型[20]描述為

(2)

式中FPI(k)——k時刻經典PI模型輸出

wi——第i個stop算子的權重

yi(k)——第i個stop算子的輸出

為使經典PI模型與氣動肌肉力-位移遲滯曲線的方向相匹配，常用的play算子[20](圖9a)其方向呈由小到大逆時針方向，與圖8所示遲滯曲線的方向并不一致。選用如圖9b所示的stop算子[25]作為基本算子，此算子與圖8所示遲滯曲線的方向均為由小到大順時針方向，具體描述為

yi(k)=Hri[x,ri](k)= min(ri,max(-ri,x(k)-x(k-1)+yi(k-1)))

(3)

式中ri——第i個stop算子的閾值

x(k)——k時刻氣動肌肉長度

Hri[x,ri](k)——第i個stop算子的輸出

stop算子初始條件為

yi(0)=min(ri,max(-ri,yi0))

(4)

在參數辨識過程中提前給定閾值為

(5)

式中Fh(k)——k時刻氣動肌肉遲滯力測量值

實際應用中氣動肌肉力-位移遲滯現象經典PI的模型描述為

FPI(k)=wTHr[x,y0](k)

(6)

其中w=(w1,w2,…,wn)T

Hr[x,y0](k)=(y1(k),y2(k)，…,yn(k))Ty0=(y0r1,y0r2,…，y0rn)T

式中w——stop算子權重向量

Hr[x,y0](k)——stop算子k時刻輸出向量

y0——stop算子初始狀態向量

通過stop算子加權疊加方式，氣動肌肉經典PI模型繼承了其映射特性，將k時刻模型輸出遲滯力與模型輸入氣動肌肉長度對應。式(3)中stop算子在某確定時刻的輸出與速度、頻率等無關，且是由上一時刻遞推得到，加權疊加后并未改變這些特性，因此經典PI模型具有率不相關性。

2.2 修正PI+Dead-zone模型

原PI+Dead-zone模型[9]采用play算子與dead-zone算子相級聯，可用于描述壓電材料的非對稱遲滯現象。于2.1節建立的氣動肌肉經典PI模型中采用stop算子代替play算子解決了經典PI模型與遲滯曲線方向不匹配的問題，其原因為stop算子與遲滯曲線方向一致。由于在PI+Dead-zone模型中更換了PI模型的基本算子類型，此時若繼續使用dead-zone算子會造成兩類算子權重辨識失敗。鑒于stop算子與play算子為互逆算子，其在方向上也互逆。據此，可從找到dead-zone逆模型角度出發，找到能替代dead-zone算子的“逆算子”并與stop算子相級聯，以此建立適用于氣動肌肉力-位移遲滯現象的修正PI+Dead-zone模型。dead-zone算子如圖10a所示，其數學上的逆如圖10b所示，采用此模型會造成在輸入為0時，其輸出值在縱坐標軸上滑動，此時模型明顯會失效。因此，對其進一步做修正，得到圖10c所示的修正dead-zone算子。

氣動肌肉修正PI+Dead-zone模型描述為

(7)

Sd[FPI](k)=(q1(k),q2(k),…,qm(k))Twd=(wd1,wd2,…,wdm)T

式中FPI+Dead-zone(k)——k時刻修正PI+Dead-zone模型輸出

Sd[FPI](k)——k時刻修正dead-zone算子輸出向量

wd——修正dead-zone算子權重向量

wdj——第j個修正dead-zone算子權重

如圖10c所示，第j個修正dead-zone算子qj(t)描述為

(8)

式中dj——第j個修正dead-zone算子閾值

在參數辨識過程中提前給定stop算子閾值及修正dead-zone算子閾值，stop算子閾值選取方式與經典PI模型相同，修正dead-zone算子閾值選取為

-∞<…

(9)

圖11展示了修正PI+Dead-zone模型結構：經典PI模型的輸出FPI作為修正dead-zone算子模型的輸入，通過該方式，將stop算子與修正dead-zone算子相級聯，修正PI+Dead-zone算子同原PI+Dead-zone類似具有非對稱性，因此，級聯后的修正PI+Dead-zone模型可以描述非對稱遲滯現象。與經典PI模型類似，stop算子與修正dead-zone算子均具有率不相關性，加權疊加后，修正PI+Dead-zone模型繼承了這一特點。

3 模型參數辨識及實驗驗證

3.1 氣動肌肉收縮力測試裝置

搭建圖12所示氣動肌肉收縮力測試臺。被測氣動肌肉(Festo DMSP-20-480N-RM-CM型)一端固定，另一端通過拉壓力傳感器(DYLY-103型)與負載氣缸(AirTAC SC100-400LB型)相連。利用精密減壓閥(CKD RP1000-8-07型)調節氣動肌肉內部壓力，并采用壓力傳感器(FestoSPTW-P10R-G14-VD-M12型)測量實時壓力。通過比例方向閥(Festo MPYE-5-1/8-HF-010-B型)閉環控制負載氣缸的活塞桿伸出長度，從而動態調節氣動肌肉的收縮量。氣動肌肉伸縮量/長度測量采用拉線式位移傳感器(MIRAN MPS-S-100MM-P型)。比例方向閥控制信號的產生和各傳感器信號的讀取利用dSPACE DS1103完成。

動態收縮力是由收縮力測試臺通過等壓實驗測得。測試過程中，調節精密減壓閥將氣動肌肉內部壓力設定在某一值，然后通過閉環控制驅動氣缸改變氣動肌肉長度，獲取氣動肌肉收縮力與位移關系曲線。靜態力是由等距實驗擬合而來，先將氣動肌肉兩端距離固定于某一值(即收縮后長度固定)，對其充氣至設定壓力，記錄此時氣動肌肉的靜態力和壓力，放氣后調整氣動肌肉兩端距離，重復上述過程即可獲得靜態力與壓力的線性關系。進一步將斜率和截距與收縮率的關系通過適當階次多項式擬合出來，從而得到完整的靜態力模型。再將靜態力從收縮力中減去，得到遲滯力與位移關系曲線。

3.2 模型參數辨識

保持氣動肌肉壓力為0.5 MPa，利用負載氣缸使氣動肌肉收縮率按幅值為8.33%、14.58%、18.75%的三角波變化，獲得氣動肌肉遲滯力Fh及氣動肌肉長度l的實時數據，PI類模型利用最小二乘法進行參數辨識(BW類模型使用遺傳算法)，選取準則函數J(θ)為

J(θ)=(Fh-Fm(θ))T(Fh-Fm(θ))

(10)

式中Fm(θ)——各遲滯模型輸出遲滯力

Fh——連續時刻氣動肌肉遲滯力測量值

θ——模型辨識參數

表1給出了經典PI模型、PI+Polynomial模型[10]、修正PI+Dead-zone模型、經典BW模型、Wang-Wen模型[23]、BW+Polyomial模型所需辨識參數θ。

表1 模型所需辨識參數Tab.1 Parameters for identification

受到篇幅限制，表2僅給出氣動肌肉行程為18.75%的修正PI+Dead-zone模型辨識結果。

表2 修正PI+Dead-zone模型辨識結果Tab.2 Identification results of modified PI+Dead-zone model

3.3 模型精度分析

為合理量化模型精確度，引入各遲滯模型與實驗數據間絕對平均誤差emea及均方差erms作為評價指標。表3分別給出了行程為8.33%、14.58%、18.75% 6種模型的emea及erms。圖13分別給出了3種行程下經典PI模型、PI+Polynomial模型、修正PI+Dead-zone模型、經典BW模型、Wang-Wen模型、BW+Polynomial模型模型的擬合結果。圖13a表明經典PI模型能大致反映氣動肌肉遲滯曲線變化趨勢，且相比經典BW模型，經典PI模型的均方差erms比經典BW模型提高了4.4%(行程8.33%)、28%(行程14.58%)、1.6%(行程18.75%)，這說明經典PI模型更能反映氣動肌肉力-位移遲滯曲線趨勢。原因可從兩方面分析：從宏觀上可以看出，氣動肌肉力-位移遲滯曲線在形狀上呈不規則多邊形形狀，經典BW模型遲滯曲線形狀關于曲線中心對稱且與其差異較大；從模型構成機理上分析，鑒于氣動肌肉力-位移遲滯現象的非局部記憶性，氣動肌肉力-位移遲滯曲線形狀明顯受到氣動肌肉長度的影響，而模型遲滯曲線形狀控制函數與模型輸入氣動肌肉長度無關。圖13c表明修正PI+Dead-zone模型能反映氣動肌肉力-位移遲滯現象所有的非對稱信息，模型擬合效果極好，各行程下絕對平均誤差不超過1 N，均方差不超過1.5 N，僅就對稱性最差的大行程工況(行程18.75%)，較經典PI模型、PI+Polynomial模型、經典BW模型、Wang-Wen模型、BW+Polynomial模型，修正PI+Dead-zone模型的絕對平均誤差emea分別提高了89.5%、89.25%、89.7%、89.8%、88.7%，其均方差erms分別提高了87.0%、85.7%、87.3%、87.1%、85.3%。從圖13c直觀看出，修正PI+Dead-zone模型解決了其他模型大行程下遲滯擬合精度較差的問題，其原因在于經典PI模型及經典BW模型均為對稱遲滯模型，無法描述非對稱遲滯現象；Wang-Wen模型僅能描述遲滯曲線拐點關于遲滯曲線中心不對稱的遲滯現象，其描述非對稱遲滯現象的能力十分有限；PI+Polynomial模型與BW+Polynomial模型無法找到一個適合階次的多項式來準確反映各行程下氣動肌肉力-位移遲滯現象的非對稱信息。在行程不大的情況下，經典PI模型也能達到一定的建模精度，絕對平均誤差emea為3.870 4 N(行程8.33%)、4.968 4 N(行程14.58%)，且模型參數相比修正PI+Dead-zone模型參數大大減少。

表3 6種遲滯模型的數字特征Tab.3 Indexes of six hysteresis models under stroke N

將來，可進一步將建立的氣動肌肉修正PI+Dead-zone模型用于氣動肌肉伺服系統控制器的設計，尤其是以單關節氣動肌肉為驅動的并聯平臺及相關仿人機器人系統。工程中相關氣動肌肉系統常以比例方向閥或高速開關閥控制，其整個系統動態模型相對階為3階，整個系統具有強非線性，常用基于反步法的控制策略非線性控制器。反步法要求各模型項至少一階連續可導，而PI類遲滯模型在本質上均是泛函概念且不連續，在設計包含氣動肌肉力-位移遲滯模型的非線性控制器時導致模型不確定性無界或者虛擬控制輸入無法求導，雖然現階段相關控制理論研究有一定的手段處理此類問題，但就精度最高的修正PI+Dead-zone模型，由于其stop算子與修正dead-zone算子級聯特點，其在解決遲滯模型項不可微問題上的復雜度遠大于經典PI模型。如果在控制器設計中考慮參數自適應，對修正PI+Dead-zone模型兩類算子權重全部進行在線辨識，其兩類算子權重辨識算法很難設計或在犧牲一部分系統控制精度上才能滿足參數收斂性要求，由此導致控制器設計難度大大增加；若在參數自適應中僅在線辨識修正dead-zone算子權重，又由于修正PI+Dead-zone模型級聯特點，其控制器設計復雜性也遠大于經典PI模型。因此，氣動肌肉處于小行程工況，進行遲滯補償的非線性控制器設計可以選擇經典PI模型。

4 結論

(1)搭建了氣動肌肉收縮力測試平臺，通過氣動肌肉動態拉伸實驗得到氣動肌肉力-位移遲滯曲線，通過分析氣動肌肉力-位移遲滯曲線，證明氣動肌肉力-位移遲滯現象具有非對稱性、非局部記憶性、大壓力弱相關性及準率不相關性。

(2)PI類遲滯模型比BW類遲滯模型更能反映氣動肌肉力-位移遲滯曲線變化趨勢，經典PI模型的均方差erms較經典BW模型提高了4.4%(行程8.33%)、28%(行程14.58%)、1.6%(行程18.75%)。

(3)氣動肌肉修正PI+Dead-zone模型精度最高，各行程下絕對平均誤差emea不超過1 N，均方差erms不超過1.5 N。建立的氣動肌肉修正PI+Dead-zone模型能極好擬合各行程下的氣動肌肉力-位移遲滯曲線，特別對大行程下的非對稱遲滯曲線有顯著效果。

(4)在小行程工況下，氣動肌肉經典PI模型也能相對準確描述其力-位移遲滯現象，其絕對平均誤差emea為3.870 4 N(行程8.33%)、4.968 4 N(行程14.58%),且具有比修正PI+Dead-zone模型的模型參數少的優點。