對“數學抽象”的一點認識

【摘 要】 “數學抽象”是一種高級思維活動，具有極強的創造性.培養有較強“數學抽象”能力的學生，符合新時期培養創新人才的要求.這對高中數學教師提出了很高的數學素養要求，教師不僅要有較高的數學專業知識，還要有較強的數學思維能力.

【關鍵詞】 數學抽象;解題教學;考查建議

2017年版《普通高中數學課程標準》提出6個數學核心素養，其核心素養之一“數學抽象”排在首位，可見其地位.近兩年，通過學習和思考，形成一點關于“數學抽象”的個人認識，現整理成文與讀者交流，以期拋磚引玉.

1 概念解讀

對于“數學抽象”，2017版《課標》首先介紹了它的含義：“數學抽象是指通過對數量關系和空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養……”;然后又指出“數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎……”;隨后談到數學抽象表現為“獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型……”;最后強調高中數學課程學習的目標是“學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗……”.

2017版《課標》提出的“數學抽象”，是一種重要的數學思想方法，是發現數學知識的一種重要的高級思維活動，它強調數學知識方法需要通過“抽象”生成.作為高中數學教學，需要培養學生這種理性思維，要讓學生養成由具體數學對象生成一般性結論的“抽象”習慣.

2 數學抽象之類型

2017版《課標》上“數學抽象”的概念，教師容易理解，課堂教學也容易操作.但筆者總覺得這個概念不夠深刻，于是查閱了百度百科，其定義為：數學抽象是指抽取出同類數學對象的共同的、本質的屬性或特征，舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程.這個概念揭示了“數學抽象”的本質，強調探索共性這一思維過程.作為高中數學教師，有必要再理解這一定義，或許對課堂教學更有意義.

此外，百度百科還介紹了“數學抽象”的四種類型：弱抽象;強抽象;構象化抽象;公理化抽象.對于前兩種類型的思維要求，筆者認為有必要研究一下.（后兩種類型，讀者可自行查閱）2.1 弱抽象從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，使原型內涵減少，結構變弱，外延擴張，獲得比原結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例.弱抽象的關鍵在于從數學對象的眾多屬性或特征中辨認出本質屬性或特征，從貌似不同的同類數學對象中找出共同的東西.這種抽象思維的法則可稱為：“特征分離概括化法則”.

著名的哥德巴赫猜想便是弱抽象的產物.正整數的加法，小學生就會，但哥德巴赫能從這些紛繁復雜的結果中，發現“2+2=4，3+3=6，3+5=8，3+7=5+5=10……”有共同的屬性，并由此歸納出“任何一個不小于4的偶數總能表示為兩個質數的和”.根據這個案例，我們可以發現，弱抽象具有較強的發現功能，關鍵是要從“貌似不同的同類數學對象中找出共同的東西”，即特征分離.現行教材中學習的歸納推理，其實是弱抽象的一部分思維過程，是根據這些“共同的東西”概括出一般性結論.2.2 強抽象通過在原型中引人新特征，使原型內涵增加，結構變強，外延收縮，獲得比原結構內容更豐富的結構，使后者成為前者的特例.強抽象的關鍵是把一些表面上看來互不相關的數學概念聯系起來，引進某種新的關系結構，并把新出現的性質作為特征規定下來.這種抽象思維的法則可稱為：“關系定性特征化法則”.

圓錐曲線的統一定義應該是強抽象的產物.橢圓、雙曲線、拋物線的初始定義各不相同，通過“準線”的引入，得到圓錐曲線的統一定義：平面內到定點與定直線的距離之比為常數的動點的軌跡.不同類的常數對應不同的圓錐曲線.由此，我們可以發現，強抽象具有創造性，其關鍵是“引人新特征”聯系不同的數學對象.就如圓錐曲線的統一定義，引入“準線”定性是關鍵，其思維過程有較強的創造性.

3 解題教學與數學抽象

2017版《課標》指出“通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗……”.由此，我們容易得到一種錯覺，認為新授課才需要數學抽象，要通過數學抽象生成新知識.其實，知識生成就是解決數學問題，從某種角度看，也可以認為是解題教學，它是一種需要有所發現的特殊解題.因此，我們不能局限數學抽象的運用，也要充分運用到解題教學中.本文以下面這道題說明數學抽象的運用.

題1 已知數列{an}，{bn}都是單調遞增數列，若將這兩個數列的項按由小到大的順序排成一列（相同的項視為一項），則得到一個新數列{cn}.設bn=qn-1（q是不小于2的正整數），c1=b1.試問：是否存在等差數列{an}，使得對任意的n∈N*，在bn與bn+1之間數列{an}的項數總是bn？若存在，請給出一個滿足題意的等差數列{an};若不存在，請說明理由.

為解決這個問題，需要學生尋找實例，學生當然先考慮q=2，則c1=b1=1，b2=2，這時容易想到取a1=32，d=1，從而得到數列：1，32，2，52，72，4，92，112，132，152，8，…符合題意.雖然已經發現一個實例，但不能解決問題，題目中“q是不小于2的正整數”，應理解為“任意不小于2的正整數q，都存在等差數列{an}滿足題意”，還需要鼓勵學生再尋找更多實例，并由此根據變量q抽象出等差數列{an}.

學生肯定還要繼續考慮q=2，還能找到不少實例，如a1=54，d=1，即數列1，54，2，94，134，4，174，214，254，294，8，…滿足題意.他們可能會發現：改變d=1時，則找不到符合題意的數列.此時，有少部分學生能夠抽象出等差數列{an}.對于這部分學生，還要繼續尋找實例檢驗抽象出的結論，而其他學生當然更要繼續尋找實例，力圖發現共性并從中抽象出結論.

繼而考慮q=3，則c1=b1=1，b2=3，容易想到取a1=2，很快發現d=2時數列：1，2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27…滿足題意，而d=1、d=3不滿足題意;又取a1=32，發現d=1、d=3仍然不滿足題意，而當d=2時，數列1，32，3，72，112，152，9，192，232，272，312，352，392，432，472，512，27…滿足題意;再取a1=52，發現d=1、d=3還是不滿足題意，而d=2所得數列滿足題意.

至此，大多數學生能夠抽象出等差數列{an}：首項a1∈（1，q），公差d=q-1.由此再引導學生證明所得結論滿足題意，只需證明a1+q+q2+…qn-1

4 考查建議

“數學抽象”是2017版《課標》提出的第一個核心素養，若能在高中數學教學中全面落實到位，則今后學生的數學素養將會有一個質的飛躍.現在各級教育主管部門都十分重視新《課標》要求的培訓，學校也重視這方面的教學業務指導.現在的問題是，如果僅僅是這樣，那么“數學抽象”能夠在課堂教學上充分落實嗎？顯然不可能，僅僅是培訓和宣傳，只能在一些優質課和公開課上有所體現.要想在日常教學中充分體現“數學抽象”，必須運用高考這一指揮棒！

我們不可否認，高考升學率是全社會的關注點！如果高考不體現或很少體現“數學抽象”的考查，很難引起學校和教師的重視;反之，教師只有認真對待“數學抽象”的教學，提高學生的抽象能力，才能提高學生的相應數學成績.現在的高考相對之前已有較大的變化，不僅考查學生的邏輯推理和數學運算能力，還考查學生的數學建模能力和數學文化知識等，但很少體現“數學抽象”的能力考查.現在新高考正在逐步推行，相信將來的新高考，一定會有“數學抽象”方面的考題.為此，筆者嘗試著改編一道考題，以體現“數學抽象”的能力考查.當然，受命題水平之限，改編題未必成熟，只是強調有必要進行這方面的能力考查和命題研究.

題2 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經過點P（2，1），且點P與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為-12.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點P作兩條傾斜角互補的直線PA，PB分別交橢圓C于A，B兩點，求證：直線AB的斜率為定值;

（3）根據第（2）小題的定值現象，試歸納出更一般性的結論.

第（1）小題是基礎題，容易求出橢圓C的方程x24+y22=1;第（2）小題為圓錐曲線的常規問題，方法亦常規，可求得直線AB的斜率為22;第（3）小題不同于蘇教版22第二章第1節“合情推理”中的歸納推理題，它所給出的觀察對象少，問題的發散性強，對學生的抽象要求較高，能夠區分不同學生的抽象能力.

大多數學生能夠得到：對于任意橢圓x2a2+y2b2=1，若過其上一點P作兩條傾斜角互補的直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點，則直線AB的斜率為定值;有些學生能夠把結論拓展至雙曲線、拋物線以及圓;還有一些高手學生會關注到動直線AB的極限位置，當直線PA，PB的傾斜角無限接近π2時，A，B重合于一點Q，而點Q與P關于x軸對稱，由此歸納出較高層次的結論，直線AB的斜率總是橢圓在點Q處的切線斜率，與橢圓在點P處的切線斜率互為相反數.如果這些高手再注意嚴密性，他們能歸納出：對于以x軸為對稱軸的圓錐曲線（或圓），若過其上一點P作兩條傾斜角互補的直線PA，PB分別交圓錐曲線（或圓）于A，B兩點，則直線AB的斜率總與點P處的切線斜率互為相反數.

如果高考重視第（3）小題這種類型問題的考查，且占比較大，那么教師當然會重視“數學抽象”的日常教學.假如關于“數學抽象”的教學真正落實到位，我們學生的抽象能力逐步得到提升后，不少學生抽象出的數學結論往往會超出教師的能力范圍.可以想象，類似第（3）小題這樣的考題，有些高手學生抽象出的結論，命題者可能就想不到.這應該是我們教學應該追求的目標：青出于藍而勝于藍！

此外，2017版《課標》關于“推理與證明”的教學不作要求，似乎不合理.《課標》重視“數學抽象”的教學要求，而合情推理中的“歸納推理”其實是“數學抽象”思維過程的一部分.個人認為，“推理與證明”不但要作教學要求，而且要加大考查力度.也許是《課標》教學主線的問題，不再妄加揣測，筆者覺得這部分內容可以作為預備知識學習，為后續各章節中“數學抽象”的教學作鋪墊.

5 結束語

“數學抽象”是一種高級思維活動，具有極強的創造性.培養有較強“數學抽象”能力的學生，符合新時期培養創新人才的要求.當然，這也對高中數學教師提出很高的數學素養要求.毫無疑問，教師需要有較高的數學專業知識和較強的數學思維能力，否則，怎能駕馭課堂教學？尤其是重點高中，怎能應對那些高手學生抽象出的數學結論？

作為高中數學教師，首先要多訂閱一些雜志學習，這些雜志文章是全國各地的數學高手研究所得，能學習到很多新觀點、新思維.其次要積極參加一些教育專家的專題講座，認真聆聽他們的教誨，從而更新自己的教學思路.

另外，“數學抽象”的教學過程要慢一點.數學課堂上的“抽象”，所研究的對象，往往都是教師給出的，某種程度上講，不能算真正意義上的“數學抽象”.如果教師的引導問題指向性過強，學生能夠順利“抽象”出教師所要的結論，那就變成“數學抽象”的形式教學，并不能培養學生的抽象能力.引導學生“抽象”的問題要發散一點，要多給時間讓學生思考，這樣的抽象過程才接近真正的“數學抽象”，對培養學生的“數學抽象”能力才有利.

作者簡介 吳小健（1973—），男，江蘇東臺人，中學高級教師.