人教A版高中數學新舊教材“概率”的比較研究

李杰民 廖運章

【摘 要】 與實驗教材相比，人教A版高中數學新教材中概率內容的改編力度很大：有新增有刪減，有強調有淡化，有順序調整，有概念重構. 新教材明晰了概率論的研究對象與研究方法，降低了概率起始教學的難度. 概率教學需要理解“樣本空間”的基礎地位與構建原則，重視“隨機事件”概念及其符號化的教學，盡量采用計算機軟件開展隨機模擬活動.

【關鍵詞】 人教版高中數學教材;概率;樣本空間;隨機事件;事件的相互獨立性

依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）[1]編寫的人教版高中數學新教材即將在全國多地投入使用，這是一套核心素養導向的高中數學新教材，關于新教材的解讀與研究成為當前的重要任務與研究熱點. 文[2]從整體上介紹了人教A版高中數學新教材在編寫理念、教材結構、知識內容編排、例題和習題設置五個方面的特色，提出了教材的使用建議. 筆者認真研讀了上述教材，發現“概率”部分除了具有文[2]所指出的特色以外，還具有改編力度大，知識結構更加符合學科邏輯的顯著特點. 特別是，新教材給出了與舊教材完全不同的“隨機事件”的定義，將“頻率與概率”提升為單獨一節，將“事件的相互獨立性”由舊教材選修提前到新教材必修. 筆者認為，這三個主要變化帶動了概率章節內容的一系列調整，應當重點關注，認真研究.

為了全面、準確地理解新教材中“概率”內容的編寫情況及其理念，本文首先給出新舊教材“概率”章節教學內容的比較，梳理新教材出現的深刻變化;然后，圍繞上述三個主要變化，對變化的原因、內容之間的邏輯關系與教學中需要重點關注的內容進一步解讀;最后，給出教學建議.1 新舊教材“概率”內容的比較

為了對“概率”內容的改寫情況有一個清晰的認識，首先對新教材必修第二冊的第十章“概率”與舊教材必修3的第三章“概率”作一個比較，如表1所示. 可以看出，新教材必修第二冊的第十章“概率”分為三節：“10.1 隨機事件與概率”“10.2 事件的相互獨立性”“10.3 頻率與概率”;舊教材必修3的第三章“概率”也分為三節：“3.1 隨機事件的概率”“3.2 古典概型”“3.3 幾何概型”. 雖然新舊教材都是分為三節，但從三節的標題對比即可以看出，教學重點發生了明顯的改變.

具體而言，主要變化是：其一，舊教材“3.3幾何概型”在新教材中被刪除，新教材增加了“有限樣本空間”;舊教材“3.1.2 概率的意義”被刪除，但保留了其中的“孟德爾遺傳規律的試驗與發現”，改編調整到章尾處的“閱讀與思考”之中. 其二，舊教材“3.2 古典概型”“降級”為新教材中的“10.1.3 古典概型”，新教材的目錄部分不再有“古典概型”，不難理解，這是一種淡化之意;而“隱藏”在舊教材“3.1.1 隨機事件的概率”中的“頻率與概率”提升為新教材“10.3 頻率與概率”，單獨列為一節， 可以理解為凸顯其難度或重要性之意，但也并非簡單的強調，筆者認為，由于頻率的穩定性涉及“依概率收斂”理論，內容抽象，難度較大，中學階段并不介紹概率論中的收斂理論，因此，單獨列出考慮到了該內容的難度、所需學時以及內容的獨特性. 其三，“事件的相互獨立性”由舊教材選修23的“2.2二項分布及其應用”的子目錄“2.2.2 事件的相互獨立性”提前到新教材必修，這是一個跨度最大的教學順序調整，提前教學并且“升級”為單獨一節“10.2 事件的相互獨立性”. 另外，原本分散在“3.2 古典概型”與“3.3幾何概型”中的“隨機數的產生”合并調整到新教材“10.3 頻率與概率”的子目錄“10.3.2 隨機模擬”.

此外，還有一個容易被忽視但特別重要的細節：舊教材“3.1 隨機事件的概率”與新教材“10.1 隨機事件與概率”的標題存在差異，新教材明確區分了“隨機事件”與“隨機事件的概率”，對“隨機事件”概念進行了重構. 換言之，新教材概率起始教學內容發生了深刻的改變.

2 新教材概率教學需要重點關注的內容

通過上述比較可知，概率內容改動力度很大，既有新增也有刪減，既有“升級”強調也有“降級”淡化，還有教學順序的前后調整，等等. 需要指出的是，這些變化具有很強的邏輯關聯性，并非簡單的知識重組. 另外，還有概念的重構，比如，改寫了“隨機事件”的定義，這需要進一步研究具體內容才能了解重構的細節與原因. 為此，以下對新教材概率教學需要重點關注的內容做進一步的解讀.

2.1 有限樣本空間與隨機事件

新教材“章首語”首先介紹“隨機現象”以及概率論的研究對象，然后，“10.1.1 有限樣本空間與隨機事件”指出概率論研究隨機現象的方法——隨機試驗，逐步得到“樣本點”“樣本空間”“有限樣本空間”等概念，最后給出“隨機事件”的定義，將“隨機事件”定義為“樣本空間的子集”. 換言之，新教材對“隨機事件”概念進行了重構，有兩點需要特別注意.

其一，新教材“隨機事件”的定義與舊教材完全不同. 該定義的優點在于：首先，與日常生活中的同名概念劃清了界限，有效區分了生活中的“隨機事件”與數學世界中的“隨機事件”，避免了舊教材以“在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件”這樣一個不嚴謹的定義所帶來的教學上的混亂. 其次，保證了“隨機事件”定義的科學性. 嚴格地說，“隨機事件是樣本空間的子集”是一個真命題，但“樣本空間的子集是隨機事件”是一個假命題，原因在于：對于無限樣本空間而言，可能存在不可測子集，即并非每一個子集都可以稱為隨機事件，但如果限定為“有限樣本空間”，則不會出現上述困惑. 因此，“有限樣本空間”保證了“隨機事件”定義的科學性，同時，降低了高中“概率”起始教學的難度，與新課標界定的“必修”課程的定位相符. 第三，接近大學階段的定義，有利于高中與大學階段的銜接.

其二，新教材明晰了概率論的研究對象與研究方法. 新教材從“章首語”到“10.1隨機事件與概率”，花費大量篇幅推出概率論的基本概念——隨機事件，并介紹隨機事件的關系和運算、“古典概型”情形下的概率計算以及概率的性質，詳細展示了概率論的研究對象與研究方法，以及通過“隨機試驗”將研究對象轉化為“隨機事件”的技術路線，對于增進師生對概率論的理解非常有益. 比較新舊教材的“章小結”的“知識結構圖”可知，新教材“概率”的知識結構更加清晰，更加符合概率學科的邏輯結構，明晰了概率論的研究對象與研究方法，有利于師生對概率內容的理解與整體把握.

2.2 事件的相互獨立性

舊教材選修23“2.2.2 事件的相互獨立性”的編寫情況：以“三名同學有放回地抽取獎券”為引例，事件A表示“第一名同學沒有抽到中獎獎券”，事件B表示“最后一名同學抽到中獎獎券”，憑常識可知P（BA）=P（B），結合乘法定理P（AB）=P（A）P（BA），得到P（AB）=P（A）P（B），由此引出事件A與事件B相互獨立的定義.

新教材必修第二冊“10.2 事件的相互獨立性”編寫情況：首先，從兩個隨機試驗（拋擲硬幣試驗，有放回摸球試驗）為探究載體，分別計算P（A）、P（B）、P（AB），引導學生發現兩個試驗的共性，即P（AB）=P（A）P（B），從而歸納出“獨立性”概念. 此外，例題增加到3個，且3個例題代表不同的使命：例1是一個反例，告誡初學者“獨立性”不常有，使用需謹慎. 例2、例3給出了使用獨立性解題的條件，其中例2本身沒有說明“獨立性”，“獨立性”條件隱含在事件的實際意義中;例3聲明“互不影響”，直接告知“獨立性”條件.

需要特別提醒的是，舊教材將“事件的相互獨立性”作為“條件概率”的后續，作為“乘法定理”的特殊情形，采用的是演繹推理的形式. 新教材重構了“事件的相互獨立性”，通過歸納推理方式獲得概念，并且，通過正反例結合深化對概念的理解，改寫力度很大. 從現實課堂教學以及公開的教學視頻與教學論文可知，許多教師受到傳統教材（包括大學教材）編寫順序的影響，機械套用“最近發展區”理論，認為從“條件概率”入手才能深刻地理解“獨立性”. 新教材將“事件的相互獨立性”提前到必修課程，此時尚未學習“條件概率”，適應舊教材的教學設計必須改變[3].

2.3 頻率與概率

頻率的穩定性、頻率穩定于概率、頻率穩定于概率為獲取隨機事件的概率提供了一種估算方法，這些重要而且具有難度的知識點原本內嵌于舊教材“3.1.1 隨機事件的概率”之中，新教材將這些內容改寫并“升級”為單獨一節“10.3 頻率與概率”，其中“10.3.1 頻率的穩定性”通過“探究”“試驗”“折線圖”等方法歸納出“頻率的穩定性”概念;“10.3.2 隨機模擬”介紹了“用頻率估計概率”的計算機模擬方法——采用電子表格軟件模擬大量重復試驗.

可見，新教材明確區分了概率的理論計算與估算，理論計算放在前兩節，估算方法放在最后一節，編寫思路更加清晰，給師生的教與學帶來了便利.3 新教材概率內容的教學建議

為了理解好、使用好、發揮好新教材的價值，走出舊教材造成的思維定勢，在對新舊教材內容的比較、以及新教材主要內容解讀的基礎上，給出以下教學建議，供高中數學同仁教學參考.

3.1 理解“樣本空間”的基礎地位與構建原則

新教材從“章首語”到“10.1.1 有限樣本空間與隨機事件”“10.1.2 事件的關系和運算”花費了大量的篇幅介紹“隨機事件”，凸顯了“隨機事件”作為概率論的基礎概念的重要性. 因為“隨機事件”是“樣本空間的子集”，所以，構建合適的樣本空間是表達和刻畫“隨機事件”的前提. 因此，教師研讀教材，不僅要熟悉知識點，還要理解“樣本空間”在概率論中的基礎地位與構建原則.

比如，因為“有限樣本空間”的限制，“幾何概型”被刪除也就成為必然. 從多年的教學實踐來看，“幾何概型”教學存在許多誤區甚至錯誤，“幾何概型”中的“等可能性”與“古典概型”中的“等可能性”存在質的區別，中學階段很難解釋清楚，因此，刪除“幾何概型”也是出于難度的考慮.

又如，“10.1.1 有限樣本空間與隨機事件”出現了4個要求寫出樣本空間的例題，由于都是有限樣本空間，初學者很容易產生錯覺：其一，寫出樣本空間是一件容易的事情;其二，寫出樣本空間后，隨機事件可以一一列出，因此寫出隨機事件也是一件容易的事情. 然而，在復雜隨機現象的研究中，寫出樣本空間往往是一件很困難的事情，即使在大學或中學的概率教學中，也存在一定的困難. 困難在于：其一，難以寫出甚至無法寫出. 比如，學習選擇性必修課程第三冊第七章中的“全概率公式”時將會發現，涉及“全概率公式”的問題往往是先寫出“完備事件組”，即給出樣本空間的一個“劃分”，間接確定樣本空間;學習“隨機變量”后將會發現，“隨機變量”建立起“樣本空間”到“歐式空間”的一個映射，有關概率計算的問題轉移到“歐式空間”（中學階段主要是直線或平面），此時已經看不到“樣本空間”，但要真正理解通過“隨機變量”表達的“隨機事件”，依然依賴于作為原像集的“樣本空間”. 其二，即使是較為簡單的問題，容易寫出樣本空間，也需要考慮樣本空間的創建原則. 一般而言，樣本點盡量簡單，或者說，基本事件盡量簡單，不能再分解. 不能“再分解”的標準由問題背景決定. 正如史寧中先生指出：樣本空間的創建與問題背景有關，與問題本身無關[4]. 因此，教師應理解“樣本空間”的構建原則，不可隨意構建樣本空間，否則，將給教學帶來困擾.

另外，教師要引導學生感受樣本空間的動態性與復雜性. 比如，新教材“10.1.1 有限樣本空間與隨機事件”中的4個例題的樣本點分別是英文字母、自然數、2維的點、3維的點. 教師要做好示范，引導初學者認認真真寫好樣本空間，為研究后續復雜的概率問題奠定基礎.3.2 重視“隨機事件”概念及其符號化的教學

“事件”與“事件的概率”是概率論中兩個最基本的概念[5]. 換言之，兩者都很重要，兩個概念都要清楚的界定，這是概率論研究者的常識，新教材的編寫為此付出了努力. 具體表現在：其一，舊教材的目錄與子標題均沒有出現“隨機事件”，新教材則花費大量的篇幅重構“隨機事件”，凸顯“隨機事件”概念的重要性，避免了舊教材不講“隨機試驗”直接進入“隨機事件的概率”而造成的教學上的混亂[6]. 其二，“事件的概率”的準確定義要在公理化概率論中才能嚴格的表達，舊教材第一節“3.1.1 隨機事件的概率”直奔“事件的概率”，新教材的目錄與子標題均沒有出現“隨機事件的概率”，直到“10.1.3古典概型”才出現“事件的概率”的字樣，但并非定義. 總之，新教材給出了和大學階段接近的“隨機事件”的定義，但對于中學階段無法嚴格定義的“事件的概率”，則采取了“低調”的處理方式. 換言之，新教材傳遞了需要重視“隨機事件”概念教學的信號.

關于隨機事件概率的計算，除了基本事件的概率比較容易獲得，一般而言，計算較為復雜的隨機事件的概率，需要借助事件的關系和運算，以及概率的性質. 因此，隨機事件的符號化特別重要，需要引起教師的重視，耐心做好示范教學. 事件符號化以后，把待求概率的隨機事件轉化為基本事件或者容易求出概率的事件的數學表達式，再利用概率的性質，計算出待求隨機事件的概率.

比如，“10.2 事件的相互獨立性”中的例3，事件A=“兩輪活動星隊猜對三個成語”，事件A的概率難以直接計算，但可以表示為：A=A1B2∪A2B1，而事件A1、A2、B1、B2的概率的計算相對簡單，利用事件的關系與性質得到P（A）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），從而獲得較為復雜的事件A的概率.

3.3 重視概率的估算方法的教學，盡量采用計算機軟件開展隨機模擬活動

概率的計算與估算是研究隨機事件發生可能性大小的兩種不同的方法. 新教材明確區分了兩者的差異，將舊教材“3.1.1 隨機事件的概率”之中的一個知識點“用頻率估計概率”提升為單獨一節“10.3 頻率與概率”，明顯表達了需要引起重視的信號. 筆者認為，新教材將“頻率與概率”單獨列為一節，一是有利于分解教學難點，二是通過“探究”“試驗”“折線圖”等方法體驗“頻率的穩定性”，是中學生喜聞樂見的有利于化解抽象概念的數學探究活動，有利于調動學生的學習興趣與課堂參與. 但采用電子表格軟件模擬大量重復試驗的活動往往需要占用較多的教學時間，對不熟悉電子表格的概率統計功能的教師而言，還需要花一些時間學習如何使用. 但是，隨機數學具有不同于確定性數學的獨特性，隨機模擬不僅有利于調動學生的學習興趣，也是促進概率與統計融通的技術手段. 因此，教師需要轉變觀念，與時俱進，為發展學科核心素養而教，盡量采用計算機軟件開展隨機模擬活動，不要因為測評難以考查或者因為占用較多時間而忽視該內容的教學.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 邵光華，張妍. 人教A版高中數學新教材特色分析與適用建議[J]. 課程·教材·教法，2019，39（12）：109114.

[3] 李杰民. 事件的相互獨立性的重新認識與教學建議[J]. 中國數學教育（高中版），2020，（07/08）：2833.

[4] 史寧中. 數形結合與數學模型——高中數學教學中的核心問題[M]. 北京：高等教育出版社，2018：8990.

[5] 戴朝壽. 概率論簡明教程（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2016：4.

[6] 何小亞. 高中概率模型學與教中的問題和對策[J]. 數學教育學報，2017，26（01）：3740.

作者簡介

李杰民（1973—），男，湖南平江人，嶺南師范學院講師，博士研究生，主要從事數學教育研究，發表論文10余篇.

廖運章（1964—），男，廣西羅城人，廣州大學教授，博士生導師，主要從事數學教育研究.