兩數列公共項問題的“通法”探究

兩個數列公共項構成的數列問題是數列中的難點問題，由于序號與項之間的關系錯綜復雜，求解時往往令許多學生感到茫然不知所措.為此，下面從2020年高考新高考卷的一道數列試題出發，探究兩個數列的公共項構成的數列問題的一種“通法”.1 考題呈現

2020年新高考卷第14題：將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為

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評析 該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數列的公共項構成新數列的特征，等差數列求和公式，考查了觀察、分析、判斷能力和等差數列前n項和公式的應用.這是一道含有豐富數學思維方法、具有拓展價值的優質試題.為此，我們從這道試題的解法談起，來探究和拓展兩數列有公共項一類問題的解法，并從中得到一些啟示.2 解法探究

分析1 通過觀察、分析，找到兩數列公共項的規律、特點，進而求其前n項和.

解法1 觀察歸納法：數列{2n–1}為：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……

數列{3n–2}為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……

觀察可知，兩個數列的公共項依次為：1，7，13，19，25，31，……，可以看出數列{an}是首項為1，公差為6的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1+n（n-1）2·6=3n2-2n.

點評 觀察題中的兩個數列均為等差數列，所以它們的公共項具有規律性，通過列舉得到由兩個數列的公共項構成的數列，進而求得{an}的前n項和.在找公共項的時候，比較好的辦法是在公差大的數列里面來找，因為間隔小，且項與項間隔相等.該解法適用于象該考題一樣，比較簡單的兩數列公共項問題.

分析2 分析兩個等差數列的首項和公差的特征，找到兩個數列的公共項所構成的新數列仍是等差數列，且公差是兩個等差數列公差的最小公倍數的規律求解.

解法2 特征分析法：因為數列{2n-1}是以1為首項，以2為公差的等差數列，數列{3n-2}是以1為首項，以3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1+n（n-1）2·6=3n2-2n.

點評 首先判斷出數列{2n-1}與{3n-2}項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.

分析3 因為該題是兩個等差數列的公共項問題，從公共項的本質看，即公共項就是兩個數列相同的項，也就是說關于m，n的二元等式2n-1=3m-2的不定方程存在整數解，利用數的整除性解不定方程來解.

解法3 解不定方程法：因為兩數列{2n–1}與{3n–2}存在公共項，設2n-1=3m-2，m，n∈N*，則3m=2n+1，即m=2n+13=2（n+2）-33.

因為2，3互質，所以n+2一定是3的倍數，不妨設n+2=3k，k∈N*，則n=3k-2，所以m=2k-1.

由于2n-1=2（3k-2）-1=6k-5，3m-2=3（2k-1）-2=6k-5，所以兩數列的公共項就是6k-5，k∈N*，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1+n（n-1）2·6=3n2-2n.

點評 該解法在求解的過程中，利用了整數分解的方法，即提取公因式、配湊得到m=2（n+2）-33是解題的關鍵.象該高考題這樣的兩個等差數列的公共項問題，解不定方程法是一種通法，從上面的解法，我們可以得到結論：

若兩等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定相同.

分析4 對于兩個等差數列的公共項問題，還有沒有更一般的方法？

因為公共項就是兩個數列中的相同項，我們從中選取一個數列，一般選取數列中的項增加“較快”的數列，假如該數列的第n項是兩個數列的公共項，然后逐一遞推驗證該數列的第n+1項、第n+2項、…是否是兩個數列的公共項，進一步從中找到規律，得到兩個數列的公共項從小到大排列的數列{an}的通項公式.

解法4 “遞推找項法”：記bn=2n-1，cn=3n-2.

因為兩數列{2n–1}與{3n–2}存在公共項，設bm=cn，即2m-1=3n-2，m，n∈N*.

由cn=3n-2，所以cn+1=3n+1-2=3n+3-2=3n-2+3=2m-1+3=2m+32-1，由m+32N*，可知cn+1{bm}，即cn+1不是兩個數列的公共項.

cn+2=3（n+2）-2=3n+6-2=3n-2+6=2m-1+6=2（m+3）-1，由m+3∈N*，可知cn+2∈{bm}，所以cn+2是兩個數列的公共項.

因此，若ak=bm=cn，則ak+1=bm+3=cn+2.

所以ak+1-ak=bm+3-bm=2（m+3）-1-（2m-1）=6，且a1=1，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1+n（n-1）2·6=3n2-2n.

點評 由上述過程總結“遞推找項法”求兩個等差數列{bn}、{cn}的公共項所構成的新數列{an}的一般步驟：

（1）設bm=cn=ak，從中得到項數m，n的等式關系;

（2）在項增加“較快”的數列（如{cn}）中依次驗證某個相同項（如cn）后面的遞推項（如cn+1、cn+2…），并將其項的表達式與另一個數列（{bn}）的通項公式相比較，斷定后面的遞推項是否是另一個數列（{bn}）的項，從而發現項ak后面的項;

（3）發現ak+1、ak之間的遞推關系得出數列{an}的通項公式.

3 “通法”提煉

由此可以看出，對于求兩個等差數列{bn}、{cn}的公共項所構成的新數列{an}問題，“遞推找項法”相對于解不定方程法更易于大家理解和接受，可以說，“遞推找項法”是求兩個等差數列{bn}、{cn}的公共項所構成的新數列{an}的一種“通法”.其實遠不止于此，“遞推找項法”除了能解決兩個等差數列的公共項問題以外，還可以解決比如兩個等比數列的公共項問題，一個等差數列與一個等比數列的公共項問題，乃至一個等差數列或等比數列與完全多項式型數列的公共項問題.4 應用拓展

4.1 兩個等差數列的公共項問題

例1 數列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=5n-1，cn=2n+2，它們的公共項由小到大排列得到數列{an}，求數列{an}的通項公式.

解析 數列{bn}的增加“較快”，所以依據數列{bn}遞推找公共項.

設bm=cn，即5m-1=2n+2，m，n∈N*.

由bm=5m-1，所以bm+1=5（m+1）-1=5m+5-1=5m-1+5=2n+2+5=2n+52+2，由n+52N*，可知bm+1{cn}，即bm+1不是兩個數列的公共項.

bm+2=5（m+2）-1=5m+10-1=5m-1+10=2n+2+10=2（n+5）+2，由n+5∈N*，可知bm+2∈{cn}，所以bm+2是兩個數列的公共項.

因此，若ak=bm=cn，則ak+1=bm+2=cn+5.

所以ak+1-ak=bm+2-bm=5（m+2）-1-（5m-1）=10，且a1=4，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以4為首項，以10為公差的等差數列，所以{an}的通項公式為an=4+（n-1）×10=10n-6.

4.2 兩個等比數列的公共項問題

例2 數列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=4n，cn=8n，它們的公共項由小到大排列得到數列{an}，求數列{an}的通項公式.

解析 數列{cn}的增加“較快”，所以依據數列{cn}遞推找公共項.

設bm=cn，即4m=8n，2m=3n，m，n∈N*.

由cn=8n，所以cn+1=8n+1=8·8n=8·4m=4m+32，由m+32N*，可知cn+1{bm}，即cn+1不是兩個數列的公共項.

cn+2=8n+2=82·8n=43·4m=4m+3，由m+3∈N*，可知cn+2∈{bm}，即cn+2是兩個數列的公共項.

因此，若ak=bm=cn，則ak+1=bm+3=cn+2.

所以ak+1ak=cn+2cn=8n+28n=64，且a1=64，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以64為首項，以64為公比的等比數列，所以{an}的通項公式為

an=64·64n-1=64n.4.3 等差數列與等比數列的公共項問題

例3 數列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=2n，cn=3n-16，它們的公共項由小到大排列得到數列{an}，求數列{an}的通項公式.解析 數列{bn}的增加“較快”，所以依據數列{bn}遞推找公共項.

設bm=cn，即2m=3n-16，m，n∈N*.

由bm=2m，所以bm+1=2m+1=2·2m=2（3n-16）=6n-32=32n-163-16，由2n+163N*，可知bm+1{cn}，即bm+1不是兩個數列的公共項.

bm+2=2m+2=22·2m=43n-16=12n-64=3（4n-16）-16，由4n-16∈N*，可知bm+2∈{cn}，所以bm+2是兩個數列的公共項.

因此，若ak=bm=cn，則ak+1=bm+2=c4n-16.

所以ak+1ak=bm+2bm=2m+22m=4，且a1=2，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以2為首項，以4為公比的等比數列，所以{an}的通項公式為an=2·4n-1=22n-1.4.4 等差或等比數列與完全多項式型數列的公共項問題

例4 數列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=3n-1，cn=n3，它們的公共項由小到大排列得到數列{an}，求數列{an}的通項公式.解析 數列{bn}的增加“較快”，所以依據數列{bn}遞推找公共項.

設bm=cn，即3m-1=n3，m，n∈N*.

由bm=3m-1，所以bm+1=3m+1-1=3·3m-1=3n3=（313·n）3，由313·nN*，可知bm+1{cn}，即bm+1不是兩個數列的公共項.

bm+2=3m+2-1=32·3m-1=9n3=（913·n）3，由913·nN*，可知bm+2{cn}，即bm+2不是兩個數列的公共項.

bm+3=3m+3-1=33·3m-1=27n3=（3n）3，由3n∈N*，可知bm+3∈{cn}，所以bm+3是兩個數列的公共項.

因此，若ak=bm=cn，則ak+1=bm+3=c3n.

所以ak+1ak=bm+3bm=3m+33m=27，且a1=1，所以兩數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，以27為公比的等比數列，所以{an}的通項公式為an=1·27n-1=27n-1.

綜上可知，“遞推找項法”是一種從整體上從一個數列中尋找公共項的解題方法，這種方法自然，通俗易懂，可操作性強，適用范圍廣泛，是求兩個數列公共項的一種“通法”.5 教學啟示

（1）一道精彩的高考試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊涵著的思想方法，在一定程度上能夠指導教師根據學生駕馭知識的實際情況，調整教學內容，以及根據教學內容選擇恰當的教學手段和方法，進而直接影響學生數學學習能力的提升.本文中的試題看似素材平樸，但求解過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中孕奇的好題.在日常教學的過程中，教師要精心選取這樣極具代表性的一題多解、多題一解的題目作為練習，多加強這些方面的訓練，對問題多些總結的時間，多點思考的態度，多些探究的眼光，久而久之，數學素養和數學思維能力定會大幅度提升.

（2）在教學中探討典型的高考試題，不能僅僅滿足讓學生掌握試題的幾種解法，更重要的是著眼于學生的進一步發展，通過各種方法的對比，教會學生如何挖掘問題條件蘊含的內涵，學會看準目標，優化解題思路.當然，過程體會與循序而導對于學生的思維品質的提高、解法自然生成也有決定性的作用.我們在關注解法的同時，更讓學生經歷“如何想到這樣解”的思路歷程.這樣的話，解題的思想方法才會得到較充分的落實.

作者簡介 李寒（1978—），女，貴州省桐梓縣人，大學本科學歷，中學高級教師，從事中學數學的教育、教學研究工作.市級骨干教師，數學競賽優秀教練員，市中小學電子白板教學應用比賽獲高中組一等獎，全國醍摩豆杯智慧課堂創新團隊競賽獲冠軍，榮獲智慧課堂創新獎二等獎.曾在貴州電視臺《高考直通車》和“高考公益講堂”作高考復習備考講座，發表論文10余篇，多篇論文獲省市獎項.