精選習題才能達成解題目的

【摘 要】 教、學、測中，習題選擇做到“準”“精”“簡”，才能有效達成鞏固“四基”、提升“四能”、查缺補漏、發展素養的解題目的.“準”即試題應正確，知識及能力考查目標明確，能切中學生認知方面的薄弱點;“精”即習題應與核心概念與性質相關，能反映數學基本思想方法，不糾纏于枝節末梢;言簡意賅，流暢、易懂、具有啟發性謂之“簡”.

關鍵詞：精選習題;解題目的

使學生進一步理解和掌握數學基礎知識，培養和發展學生的基本技能和思維能力，及時發現和彌補教和學中的遺漏和不足，培養學生良好的學習習慣和品質，是解題練習的基本目的.是否所有試題的解答訓練及教學都能較好地達成上述目的？章建躍博士曾建言，須建立在“解好題”的基礎上.并總結出“好題”應具有以下“品質”：與重要的數學概念和數學性質相關，體現基礎知識的聯系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長能力等;從培養思維能力的角度，則應有：問題是自然的，對學生的智力有適度的挑戰性，題意明確，不糾纏于細枝末節，表述形式簡潔、流暢、好懂等[1].這就要求我們在教、學和測試中，習題的遴選應慎之又慎，唯有選出“好題”，才能事半功倍地有效達成解題訓練的目的.

我校高三二輪復習近日的模擬測試中，一道試題的學生解答、課堂點評、同事討論、網絡搜索和求助結果，誘發筆者對解題目的達成與“好題”之間關聯性的思考.

1 試題及參考答案呈現

（2019 珠海二模）若函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個極值點，則k的取值范圍為（）.

A. （-∞，e）B. [0，e]C. （-∞，-2）D. （0，2]

命題者提供的參考答案過程如下：

解 f′（x）=ex（x-2）-kx2+2kx=（x-2）（ex-kx），若函數f（x）只有一個極值點，則f′（x）=0只有一個實數解.所以ex-kx≥0，即ex≥kx，令u（x）=ex、h（x）=kx，同一坐標系中分別作出它們的圖象，如圖1所示，當兩函數圖象相切時k=e，此時k的值最大.注意到，k<0時，不成立，故k的取值范圍是[0，e]，選B.

作業幫、小猿搜題、數學群組求助以及網頁搜索到的本題解答方法也基本如上述過程.

從試題和參考答案，我們嘗試對命題者的初衷及考查目的作如下分析.極值點概念、導數的幾何意義、極值點求解、零點存在性定理，是試題考查的基本概念及原理;信息提取和轉化、邏輯推理、導數求解、函數圖象切線的求解、函數零點（方程根）的判斷、利用導數求解函數極值點等，是試題求解所需程序性技能;上述知識和技能中所蘊含的轉化與化歸、函數與方程、數形結合、分類討論是試題考查的基本數學思想.

更為重要的是，在知識考查、技能訓練、思想升華的過程中，通過上述試題的解答訓練使學生逐步學會“更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考[2]”，努力提升學生思維的整體性與靈活性、自覺性與創造性.

2 學生應試時的解法與命題人初衷契合度分析

此題測試后，學生得分率并不低，選擇題無法獲知學生的思維過程和解決方法，通過和部分學生交流后，發現他們的解法如下：

解 注意到，四個選項中，e是特殊值.令k=e，則f（x）=ex（x-3）-13ex3+ex2，所以f′（x）=（x-2）（ex-ex）.如圖1所示，注意到ex-ex≥0，故x∈（-∞，2）時，f′（x）≤0;x∈（2，+∞）時，f′（x）>0.所以當k=e時，函數f（x）只有一個極小值點2，即k=e符合條件，四個選項中只有B中含有e，所以選B.

結合選擇題的特點，在四個選擇支中確定一個特殊值，代入已知函數，檢驗是否符合題設條件，避開含參數函數性質的討論.作為一種特殊技巧，應試過程中合理應用，能夠快速、正確解答本題，獲得分數，此法無可厚非.

學生解法能否達到命題者的對學生考查和訓練的目的？在解題過程中，零點存在性定理、導函數的零點與原函數極值之間的本質聯系、分類討論、轉化與化歸等數學思想并未涉及.試題沒有達到對重要概念、原理的本質及其蘊含思維方法的有效考查和訓練.

3 對試題及參考答案的質疑

疑點1 轉化的等價性

①函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個極值點與f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一個零點等價嗎？

② 函數f（x）只有一個極值點，一定是2嗎？

③ f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一個零點與ex-kx≥0是否等價？

④ 兩函數圖象相切時，k=e，f′（x）=（x-2）（ex-kx）有兩個零點，函數f（x）為什么只有一個極值點？答案沒有解釋.（學生的求解從幾何直觀角度回答了這個問題）

疑點2 [0，e]之外的值

① 當k<0時為什么不符合條件？顯然嗎？此時函數f（x）有極值點嗎？有幾個？

② 當k>e時，比如，k=e22時，f′（x）=（x-2）ex-e22x，2也是方程ex-e22x=0的根.函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2此時只有一個極值點嗎？如果只有一個極值點，還是2嗎？疑點3 幾何直觀與演繹推理

賦予抽象的數學問題以幾何直觀，獲得數學結論，提供解題思路，是數學問題解決的基本思維方法.但是，用幾何直觀代替嚴密的演繹推理行得通嗎？4 對試題正確性的推敲

函數f（x）是定義域上的可導函數，所以“函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個極值點”等價于“f′（x）=（x-2）（ex-kx）存在唯一異號零點.”（即零點兩側f′（x）符號相反）設函數h（x）=ex-kx，作如下討論.

（1）h（x）=ex-kx無零點

若h（x）無零點，則有h（x）>0或h（x）<0恒成立.注意到h（0）=1>0，所以h（x）<0恒成立不可能.對于h（x）>0恒成立，可按以下方法求k的取值范圍.方法1 分類討論、參變分離

當x>0時，ex-kx>0轉化為k

當x=0時，k∈R，均有ex-kx>0恒成立;

當x<0時，ex-kx>0轉化為k>exx.注意到此時exx<0，所以k≥0.

綜上所述，當k∈[0，e）時，不等式ex-kx>0恒成立.方法2 參變混合、分類討論

h（x）>0恒成立，等價于h（x）min>0，h′（x）=ex-k.

當k<0時，h′（x）>0，即h（x）為增函數，且x→-∞時，h（x）→-∞，h（x）不存在最小值，所以k<0時不符合條件;

當k=0時，h（x）=ex>0恒成立，符合條件;

當k>0時，h′（x）=ex-k存在唯一零點lnk，x∈（-∞，lnk）時，h′（x）<0，h（x）為減函數，x∈（lnk，+∞）時，h′（x）>0，h（x）為增函數，所以h（x）min=h（lnk）=k-klnk，h（x）min>0，得k

綜上，k∈[0，e）時，不等式ex-kx>0恒成立.

（2）h（x）=ex-kx有零點圖2

若h（x）=ex-kx存在零點，即k∈（-∞，0）∪[e，+∞）.

情形1 若k<0時，h′（x）>0，h（x）=ex-kx單調遞增.h（0）=1>0，且x→-∞時，h（x）→-∞，所以h（x）存在唯一負零點x0.f′（x）的簡圖如圖2.此時函數f（x）有兩個極值點，x0是極大值點，2是極小值點.

情形2 當k=e時，h（x）=ex-ex，h′（x）=ex-e.所以h（x）在（-∞，1）遞減，（1，+∞）遞增，即h（x）≥h（1）=0，f′（x）的簡圖如圖3，f′（x）有兩個零點，但零點1的兩側，導函數值符號相同，所以其不是極值點，故k=e時，f（x）只有一個極值點.

情形3 當k>e時，h′（x）=ex-k，所以h（x）在（-∞，lnk）遞減，在（lnk，+∞）遞增，其中lnk>1.

注意到h（lnk）=k（1-lnk）<0，h（0）=1>0，所以h（x）在區間（0，lnk）上存在唯一零點，設為x1.

又h（2lnk）=e2lnk-2klnk=k（k-2lnk）.令φ（x）=x-2lnx（x>e），則φ′（x）=1-2x>0，所以φ（x）在（e，+∞）為增函數，則有φ（x）>φ（e）=e-2>0，故h（2lnk）=k（k-2lnk）>0.所以區間（lnk，2lnk）上，h（x）有唯一零點，設為x2.

綜上h（x）存在兩個零點x1、x2，滿足0

① 若x2=2時，即e2-2k=0，k=e22，f′（x）簡圖見圖4.

此時，f′（x）有兩個零點，但x2=2的兩側，f′（x）符號相同，所以其不是f（x）的極值點，函數f（x）只有一個極小值點x1.

② 若x2≠2時，即k∈e，e22∪e22，+∞，h（x）有兩個零點.當k∈e，e22時，有x2<2，見圖5，此時f（x）有兩個極小值點，分別是x1、2，一個極大值點為x2;當k∈e22，+∞時，有x2>2，見圖6，此時f（x）有兩個極小值點，分別是x1、x2，一個極大值點為2.

綜上，若f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個極值點，k∈[0，e]∪e22，四個選項均不符合條件.所以，本題是一道錯誤的考題.

5 準選、精考、簡述

試題考查的基本原理有兩個.一是對可導函數而言，其導函數的異號零點是原函數的極值點，左正右負為極大值點，左負右正為極小值點.二是函數零點存在性定理，該定理只能判斷函數零點的存在性，結合函數單調性可對函數零點個數作嚴密的討論.函數零點問題與方程根問題等價，除了存在性定理外，也可從兩相關函數圖象交點的視角認識，獲得結論，提供解題思路，但無法替代存在性定理與單調性結合的嚴密推理過程.函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2極值點個數即f′（x）=（x-2）（ex-kx）異號零點的個數，2顯然是一個零點，問題集中于函數h（x）=ex-kx零點的個數和特征的研究上.

在對問題本質準確認識的基礎上，遵循“準”選、“精”考、“簡”述原則，我們嘗試對試題作以下調整.

（1）函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2極值點的個數可能為（）.

A. 0個B. 1個 C. 2個 D. 3個

注評 考查極值點的概念、函數零點概念、函數極值點與導函數零點的關系.結合選擇支的特征，借助ex與kx圖象關系，能直觀地判斷極值點的個數，避開了復雜的討論和運算等枝節，集中考查極值點的概念，特別是可導函數極值點與導函數零點之間的關系.

（2）若函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個極值點，則k的取值范圍為（）.

A. （0，e） B. [0，e]C. （0，e）∪e22 D. [0，e]∪e22

注評 對知識、技能、思想考查目的和原題一致，基于試題正確性作上述調整.但對學生求解方法的期望，并非命題者提供參考答案那樣.保留原試題設置形式，是期望學生能結合選擇支特征，對k=e和k=e22兩個特殊值驗證的基礎之上，選出正確答案.這種設置對學生的能力要求較題⑴而言要高，僅由幾何直觀無法解決問題，需作必要的邏輯推理才能判斷.

（3）已知函數f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2，f′（x）表示函數f（x）的導數.

① 若函數y=f′（x）有兩個零點，求k的取值范圍;

② 討論函數f（x）極值點的個數.

注評 函數f（x）極值點情況的綜合討論，對核心概念及其蘊含技能、思想要求更高.以具體問題載體，考查學生轉化與化歸、函數與方程、數形結合、分類討論等數學思想.以解答題形式呈現，能夠展現學生問題求解的思維過程，準確觀察學生是否會用數學眼光觀察、會用數學的思維思考、會用數學的語言表述具體問題[3].

按所考查的知識量從少到多、聯系性從單線到交叉;程序性技能要求從低級到高級;貫穿著對蘊含在知識中的思維方法、學科一般觀念、數學思想的考查和訓練，旨在超越具體的數學問題，發展學生思維的靈活性、自覺性、聯系性、嚴密性、整體性.

6 結語

“講了n遍，考試還是錯”的現象司空見慣，導致這種現象的因素主要有：教師對習題和學生理解不到位，導致命題、選題、講題不準，習題沒有圍繞核心概念及其蘊含的技能和思想展開，沒有真正抓住學生的問題所在，或者習題本身就是錯的;由此連帶的問題則是不“精”，讓學生在知識外圍反復訓練，耗費學生大量的時間和精力，卻達不到對知識的真正理解、對思維的有效訓練、對能力切實提升的目的;所謂不“簡”，就是在細枝末節上下功夫，把簡單問題復雜化.

命題、選題、講題是教師日常教學工作的重要組成部分.在習題的命制、改編、選擇和教學過程中，達成掌握“四基”、發展“四能”、查缺補漏、培養學生良好的學習習慣、提升思維品質的解題目的，遵循“準”、“精”、“簡”的原則是有效之舉.

參考文獻

[1] 章建躍.讓學生解好題[J].中小學數學（高中版），2012（12）：封底.

[2] 鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐[J].數學教育學報，2019，28（05）：2432.

[3] 史寧中，林玉慈等.關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017，37（04）：814.

作者簡介 祝峰（1974—），男，安徽濉溪人，中學高級教師，研究方向：高中數學課堂教學.