由高考題目中的增根談起

【摘 要】 增根是中學(xué)階段解方程時(shí)的常見問題，本文結(jié)合高考題目與個(gè)人思考，重點(diǎn)闡述一下二次曲線聯(lián)立為什么產(chǎn)生增根、兩圓聯(lián)立為什么不產(chǎn)生增根、如何對(duì)根進(jìn)行取舍、增根的作用等問題.

【關(guān)鍵詞】 增根;等價(jià)轉(zhuǎn)換;根軸;提示性作用

中學(xué)階段，增根是學(xué)生普遍感覺比較棘手的問題.增根是指方程求解后得到的不滿足題設(shè)條件的根.了解增根產(chǎn)生的原因，對(duì)根進(jìn)行合理取舍，是中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以高考題目為例談一下增根問題.

1 增根產(chǎn)生的原因

增根的產(chǎn)生源于題目條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過程中，使得條件成為結(jié)論的充分不必要條件.如果在題目的解答過程中將條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為結(jié)論，增根自然會(huì)被舍去.

例1 （2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理19）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=43|AB|.

（1）求C1的離心率;

（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 （2）由（1）知e=12，所以a=2c，b=3c.橢圓C1的方程為x24c2+y23c2=1，聯(lián)立y2=4cx，x24c2+y23c2=1，消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0，解得x=23c或x=-6c（舍去）.

為什么x=-6c是增根呢？分析發(fā)現(xiàn)，y2=4cx中隱含著x≥0.可將過程完善為“y2=4cx，x24c2+y23c2=1，x≥0，去y整理得3x2+16cx-12c2=0，x≥0，解得x=23c或x=-6c，x≥0，所以x=23c.

我們常常說，二元二次曲線方程聯(lián)立在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)容易產(chǎn)生增根，但兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根，這是為什么呢？

2 探索兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根的原因

例2 已知：圓C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r21，圓C2：（x-a2）2+（y-b2）2=r22，兩圓相減得直線2（a2-a1）x+2（b2-b1）y+a21-a22+b21-b22-r21+r22=0，我們稱此直線為根軸，試判斷“兩圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”和“根軸與兩圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”之間的關(guān)系.

分析 兩圓的圓心距為d=（a1-a2）2+（b1-b2）2.

C1到根軸的距離為d1=|（a1-a2）2+（b1-b2）2+r21-r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2+r21-r22|2d.

C2到根軸的距離為d2=|（a1-a2）2+（b1-b2）2-r21+r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2-r21+r22|2d.

①當(dāng)兩圓相交時(shí)，顯然根軸為公共弦所在的直線，根軸與兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn)即是兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn);

②當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上，且d=r1+r2.

下面證明根軸與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

C1到根軸的距離為d1=|（r1+r2）2+r21-r22|2（r1+r2）=2r21+2r1r22（r1+r2）=r1，同理C2到根軸的距離d2=r2.

所以根軸與兩圓均相切，即根軸與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

所以，兩圓外切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn);

③當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上，設(shè)r2

C1到根軸的距離為d1=|（r1-r2）2+r21-r22|2（r1-r2）=|2r21-2r1r2|2（r1-r2）=r1，同理C2到根軸的距離d2=r2.

所以根軸與兩圓均相切.

所以，兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn);

④當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，設(shè)r2

d1-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1-r2）（d-（r1-r2））2d>0，得 d1>r1.因?yàn)閐2-r21+r22<（r1-r2）2-r21+r22=2r22-2r1r2=2r2（r2-r1）<0，所以

d2-r2=|d2-r21+r22|-2dr22d=r21-r22-d2-2dr22d=r21-（d+r2）22d=（r1+r2+d）（r1-r2-d）2d>0

，得d2>r2.所以根軸與兩圓均相離.

所以，兩圓內(nèi)含時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn).

⑤當(dāng)兩圓相離時(shí)，設(shè)r2r1+r2，C1到根軸的距離為d1=d2+r21-r222d.

d1-r1=d2+r21-r222d-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1+r2）（d-r1-r2）2d>0.

得d1>r1.d2-r2=d2-r21+r222d-r2=d2-r21+r22-2dr22d=（d-r2）2-r212d

=（d-r2-r1）（d-r2+r1）2d>0，得d2>r2.所以根軸與兩圓均相離.

所以，兩圓外切時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn).

綜上所知，“圓與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”和“根軸與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”是相同的.

所以，兩圓的位置關(guān)系本質(zhì)是根軸與圓的位置關(guān)系，因?yàn)橹本€與二次曲線聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根，故兩圓聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根.

3增根在部分題目中存在的意義

很多人認(rèn)為增根本身沒有存在的必要性和價(jià)值性，是嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)的一個(gè)瑕疵，這其實(shí)是不對(duì)的，細(xì)細(xì)研磨會(huì)發(fā)現(xiàn)，增根在部分題目中對(duì)解題有些積極的提示性作用.

例3 （2020年高考山東卷22）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的離心率為[KF（]2[KF）]2，且過點(diǎn)A（2，1）.

（1）求C的方程：x26+y23=1

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

分析 本題絕大部分學(xué)生得6分或者7分，主要原因是計(jì)算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不會(huì)因式分解，若利用變換主元法，可得4k2+8mk+（m-1）（3m+1）=（2k+m-1）（2k+3m+1）.但是這種二元二次方程因式分解絕大部分學(xué)生不會(huì)做.下面提供一種利用增根進(jìn)行因式分解的方法.

產(chǎn)生增根的原因：因?yàn)锳M⊥AN，所以AM·AN=0，而AM·AN=0AM⊥AB或AM=0或AN=0，所以，利用AM·AN=0解答能夠得到直線MN經(jīng)過點(diǎn)A的情況，或者說點(diǎn)M或點(diǎn)N與A重合的情況.

直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，因?yàn)橹本€MN存在過點(diǎn)（2，1）的情況，此時(shí)MN可寫為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，于是得m=1-2k，故2k+m-1為方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的一個(gè)因式，根據(jù)方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的特點(diǎn)，左邊可分解為（2k+m-1）（2k+tm+1）=0，所以2tkm+2km=8km，所以t=3.也可以根據(jù)多項(xiàng)式的除法得另一個(gè)因式，即4k2+8km+3m2-2m-12k+m-1=2k+3m+1，所以4k2+8mk+3m2-2m-1=（2k+m-1）（2k+3m+1）.

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).數(shù)學(xué)是一門邏輯推理十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.在教學(xué)過程與解題過程中，教師和學(xué)生都會(huì)發(fā)現(xiàn)一些知識(shí)難點(diǎn)，視而不見，模糊處理都不是正確的教學(xué)態(tài)度.教師需要正面直視知識(shí)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，完善知識(shí)體系，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介 蘇凡文（1977—），男，漢族，山東省泰安市寧陽縣人，任教于山東省寧陽一中，大學(xué)學(xué)歷，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法與數(shù)學(xué)解題方法的研究.在多種數(shù)學(xué)專業(yè)期刊上發(fā)表論文100多篇.