巧妙嵌入“黃金” 成就試題“精彩”

王勇 杜曉霞

近期研究全國各地高考模擬試題，發現一些有關“黃金”的數學題目，其中客觀題設計得小巧玲瓏、韻味十足;主觀題命制得大氣灑脫、氣勢磅礴，令人拍案叫絕！此類試題是考查學生的遷移能力、探究能力及核心素養的極好素材，具有很好的區分和選拔功能.現歸納整理出來，供參考.

1 黃金分割點

例1 （2020 ·武漢市調考題）設點P是線段MN上一點，NP>MP，若NP2=MP·MN，則稱點P是線段MN的黃金分割點.如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，BD>AD，若點D是線段AB的黃金分割點，給出下列說法：

①AC=BD;②S2△CBD=S△ADC·S△ABC;

③sinB=5-12;④tanA=2.

其中正確的有（）.

A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④

解析 若點D是線段AB的黃金分割點，則有BD2=AD·AB，BDAB=ADBD=5-12.對于①，由題可知Rt△ACD∽Rt△ABC，可得AC2=AD·AB，又BD2=AD·AB，所以AC=BD，①正確.

對于②，因為BD2=AD·AB，所以S2△CBD=12·CD·BD2=14CD2·BD2=14CD2·AD·AB=12·CD·AD·12·CD·AB=S△ADC·S△ABC，②正確.

對于③，由①知AC=BD，所以sinB=ACAB=BDAB=5-12，③正確.

對于④， 由①知AC=BD，所以cosA=ADAC=ADBD=5-12， sinA=1-cos2A=1-5-122=5-12，所以tanA=sinAcosA=5+12，④錯誤.故選C.

點評 本題緊扣“黃金分割點”的定義得到比例式，結合相似三角形、三角形的面積公式、解直角三角形及同角三角函數的基本關系即可得解.

例2 （2020 ·襄陽市模擬題）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使其中較長的一段AC是全長AB與另一段CB的比例中項，即滿足ACAB=BCAC=5-12.后人把這個數稱為黃金分割數，把點C稱為線段AB的黃金分割點.如圖2，在△ABC中，若點P，Q為線段BC的兩個黃金分割點， 設AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，則x1x2+y1y2=（）.

A. 5+12 B. 2

C. 5D. 5+1

解析 由題意可知PCBC=BPPC=5-12，BQBC=CQBQ=5-12，

所以BP=5-12PC，PC=5-12BC，CQ=5-12QB，BQ=5-12BC，

則AP=AB+BP=AB+5-12×5-12BC

=AB+3-52（AC-AB）=5-12AB+3-52AC，

同理，AQ=3-52AB+5-12AC，

而AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，

所以x1=5-12，y1=3-52，x2=3-52，y2=5-12，

故x1x2+y1y2=5-13-5+3-55-1=5，故選C.

點評本題以黃金分割數及黃金分割點為載體命制，主要考查平面向量的線性運算，對運算求解能力要求較高.

2 水平黃金點

例3 （2020 ·太原市模擬題）點M在曲線G：y=3lnx上，過M作x軸的垂線l，設l與曲線y=1x交于點N，若OP=OM+ON3（O為坐標原點），且點P的縱坐標為0，則稱點M為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的“水平黃金點”的個數為（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 設M（t，3lnt），則Nt，1t，所以OP=OM+ON3=2t3，lnt+13t，依題意可得lnt+13t=0.設g（t）=lnt+13t，則g′（t）=1t-13t2=3t-13t2，當013時，g′（t）>0，g（t）單調遞增.所以g（t）min=g13=1-ln3<0，又g1e2=-2+e23>0，g（1）=13>0，所以方程g（t）=lnt+13t=0有兩個不同的根，所以曲線G上的“水平黃金點”的個數為2.故選C.

點評 本題設出點M，N的坐標，由題設條件得點P的坐標，由“水平黃金點”的定義得到方程lnt+13t=0.構造函數g（t）=lnt+13t，利用導數研究該函數的單調性和最小值，結合零點存在性定理即可得解.3 黃金分割數

例4 （2020 ·隨州市模擬題）據傳公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割數約為0.618，該數也可以表示為2sin18°.若m=2sin18°，m2+n=4，則1-2cos227°mn=.（用數字作答）

解析 1-2cos227°mn=1-2cos227°2sin18°4-4sin218°

=-cos54°2sin18°·2cos18°=-cos54°2sin36°=-cos54°2cos54°=-12.

點評 本題將m=2sin18°及n=4-m2=4-4sin218°代入所求式子中，再利用二倍角公式及誘導公式即可得解.

4 黃金三角形

例5 （2020 ·福州市質檢題）頂角為36°的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，黃金三角形看起來既標準又美觀.如圖3所示，△ABC是黃金三角形，AB=AC，作∠ABC的角平分線交AC于點D，易知△BCD也是黃金三角形.若BC=1，則AB=;借助黃金三角形可計算sin234°=.（本題第一空2分，第二空3分）

解析已知∠A=36°，AB=AC，∠ABC=∠C=72°，BD為∠ABC的角平分線，所以∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=72°，所以△ABC∽△BCD，得ABBC=BCCD.

又AD=BD=BC=1，設AB=AC=x，則CD=x-1，所以x1=1x-1，解得x=5+12（負值舍去），即AB=5+12.

因為sin234°=sin180°+54°=-sin54°=-cos36°，

在△ABC中，根據余弦定理可得cos36°=AB2+AC2-BC22AB·AC=5+122+5+122-122×5+12×5+12=5+14，所以sin234°=-5+14.

點評 本題第一個空根據三角形相似結合題設條件易得結果;第二個空根據誘導公式及余弦定理得解.本題是“雙空題”，順應新高考的命題創新趨勢.

5 黃金五角星

例6 （2020·福建省質檢題）正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系，也稱“黃金五角星”.在如圖4所示的正五角星中，以P，T，S，R，Q為頂點的多邊形為正五邊形，且PTAT=5-12.下列關系中正確的是（）.

A. BP-TS=5+12RS

B. CQ+TP=5+12TS

C. ES-AP=5-12BQ

D. AT+BQ=5-12CR

解析 由題意，知BP-TS=TE-TS=SE，RSSE=PTAT=5-12，

所以SE=5+12RS，即BP-TS=5+12RS，故A正確;

CQ+TP=PA-PT=TA=5+12ST，故B錯誤;

ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB，故C錯誤;

AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，若AT+BQ=5-12CR成立，則SD=0，不合題意，故D錯誤.故選A.點評 本題緊扣正五角星的結構特征和PTAT=5-12，利用平面向量的線性運算即可得解.

6 黃金矩形

例7 （2020·長沙市四校聯考題）長久以來，人們一直認為黃金分割比例是最能引起美感的比例，如果一個矩形的寬與長的比例是黃金分割比例5-125-12≈0.618，則這樣的矩形稱為黃金矩形，黃金矩形有一個特點：如果在黃金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黃金矩形（如圖5），已知圖中最小正方形的邊長為1，則矩形ABCD的長約為（）.

A.10.09B.11.85C.9.85D.11.09

解析 根據題意，如圖6，若圖中最小正方形HPNM的邊長為1，即HP=1，則矩形HPLJ中，LP=JH=15-12=5+12，則在矩形HJIF中，HF=JH5-12=5+122，同理可得FC=5+123，DC=5+124，

BC=5+125=6+25×6+25×5+132=56+245×5+132

=805+17632.因為5-12≈0.618，所以5≈2.236，所以BC≈80×2.236+17632=11.09.故選D.

點評 本題緊扣“黃金矩形”的定義并結合圖形求解，對運算求解能力要求較高.考查考生的閱讀理解能力，考查的核心素養是直觀想象、數學運算.

7 黃金折扇

例8 （2020 ·長春市模擬題）中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊.如圖7，一般情況下，折扇可以看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當S1與S2的比值為5-12時，圖7扇面看上去形狀較為美觀，有人稱之為“黃金折扇”，那么此時扇形的圓心角的弧度數為（）.

A. 3-5πB. 5-1π

C. 5+1πD. 5-2π

解析 設扇形的半徑為R，弧長為l1，圓心角的弧度數為α，圓面中剩余部分的弧長為l2.由扇形的面積公式和弧長公式，可得S1S2=12l1R12l2R=l1l2=αR（2π-α）R=α2π-α=5-12，解得α=3-5π.故選A.

點評 本題是利用數學文化“折扇”為背景命制的與三角函數相結合的題目，把雅致秀氣的折扇與扇形的面積相交匯，體現了美育的素養導向.求解的突破口是熟記扇形的面積公式，把半徑相同的兩扇形的面積比轉化為兩扇形的圓心角的比，再利用它們的圓心角的和為2π，即可得小扇形的圓心角的弧度數.

8 黃金螺旋線

例9 （2019·山西省五市聯考題） 若數列{an}滿足a1=1，a2=1，an+2=an+an+1，則稱數列{an}為斐波那契數列，圖8斐波那契螺旋線是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例，故而斐波那契螺旋線也稱“黃金螺旋線”.作圖規則是在以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形中畫出若干個圓心角為90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線，如圖8所示的7個正方形的邊長分別為a1，a2，…，a7，在長方形ABCD內任取一點，則該點不在任何一個扇形內的概率為（）.

A. 1-103π156B. 1-π4C.1-17π26D. 1-68π273

解析 由題意可得數列{an}的前8項依次為1，1，2，3，5，8，13，21，所以長方形ABCD的面積為13×21=273，6個扇形的面積之和為π4（12+22+32+52+82+132）=68π，所以在長方形ABCD內任取一點，該點不在任何一個扇形內的概率P=1-68π273.故選D.

點評 本題根據斐波那契數列的定義和斐波那契螺旋線的構成，先算出長方形ABCD的面積和6個扇形的面積之和，注意到當計算事件A的概率P（A）比較困難時，可先計算事件A的對立事件A的概率P（A），再利用公式P（A）=1-P（A）即可得解.

9 黃金橢圓

例10 （2020 ·青島市模擬題）（多選題）我們通常稱離心率為5-12的橢圓為“黃金橢圓”.如圖9，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A1，A2，B1，B2為頂點，F1，F2為焦點，P為橢圓上一點，則下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（）.

A.A1F1，F1F2，F2A2成等比數列

B. ∠F1B1A2=90°

C. PF1⊥x軸，且PO∥A2B1

D.四邊形A1B2A2B1的內切圓過焦點F1，F2

解析 因為C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），所以A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，-b），F1（-c，0），F2（c，0）.

對于A，若A1F1，F1F2，F2A2成等比數列，

則A1F1·F2A2=F1F22，所以（a-c）2=（2c）2，所以a-c=2c，所以e=13，不滿足題意，故A錯誤.

對于B，若∠F1B1A2=90°，則A2F12=B1F12+B1A22，所以（a+c）2=a2+a2+b2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍去），故B正確.

對于C，若PF1⊥x軸，且PO∥A2B1，則P-c，b2a，且kPO=kA2B1，即b2a-c=b-a，所以b=c.因為a2=b2+c2，所以e=ca=c2c=22，不滿足題意，故C錯誤.

對于D，四邊形A1B2A2B1的內切圓過焦點F1，F2，即四邊形A1B2A2B1的內切圓的半徑為c， 所以ab=ca2+b2，所以c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，解得e2=3+52（舍去）或e2=3-52，所以e=5-12 ，故D正確.

故選BD.

點評 本題對每個選項都可以算出橢圓的離心率，只有當離心率為5-12時的橢圓才是“黃金橢圓”.本題是“多選題”，是新高考的標志性題型，敬請考生強化訓練，增強適應性，坦然迎接新題型的挑戰.

10 黃金雙曲線

例11 （2020 ·廣州市模擬題）我們把離心率為e=5+12的雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）稱為黃金雙曲線.

如圖10，已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，c=a2+b2），給出以下結論：圖10

①雙曲線x2-2y25+1=1是黃金雙曲線;

②若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線;

③若F1，F2分別為左、右焦點，A1，A2分別為左、右頂點，B1（0，b），B2（0，-b），且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線;

④若直線MN過雙曲線的右焦點F2，且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線.

其中正確結論的序號為.（將所有正確結論的序號都填上）

解析 對于①，a2=1，b2=5+12，則c2=a2+b2=3+52，e2=c2a2=3+52=5+122，所以e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故①正確.

對于②，b2=c2-a2=ac，整理得e2-e-1=0，解得e=5+12（負值舍去），所以雙曲線是黃金雙曲線，故②正確.

對于③，F1B12=c2+b2，B1A22=b2+a2，F1A22=a+c2，在Rt△F1B1A2中，F1B12+B1A22=F1A22，即c2+b2+b2+a2=（a+c）2，整理得b2=ac，由②可知e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故③正確.

對于④，易知F2（c，0），把x=c代入雙曲線的方程得c2a2-y2b2=1，解得y=±b2a，則NF2=b2a.因為∠MON=90°，所以由對稱關系知△MON為等腰直角三角形，所以∠ONF2=45°，所以△ONF2為等腰直角三角形，所以c=b2a，即b2=ac，由②可知e=5+12，所以雙曲線是黃金雙曲線，故④正確.綜上，正確結論的序號為①②③④.

點評 本題對所給的四個結論，逐一計算雙曲線的離心率，只有當離心率為5+12時的雙曲線才是“黃金雙曲線”.考查的核心素養是直觀想象和數學運算.

11 黃金拋物線

例12 （2020 ·湖北省七市聯考題）如圖11，由部分拋物線：y2=mx+1（m>0，x≥0）和半圓x2+y2=r2（x≤0）所組成的曲線稱為“黃金拋物線”，若“黃金拋物線”經過點（3，2）和-12，32.

（1）求“黃金拋物線”的方程;

（2）設P（0，1）和Q（0，-1），過點P作直線l與“黃金拋物線”相交于A，P，B三點，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

解析 （1）因為 “黃金拋物線” 過點（3，2）和-12，32，所以r2=-122+322=1，22=3m+1，所以m=1.

所以“黃金拋物線”的方程為y2=x+1（x≥0）和x2+y2=1（x≤0）.

（2）假設存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0，

設直線l：y=kx+1（k≠0），聯立y=kx+1，y2=x+1，消去y，得k2x2+（2k-1）x=0，

所以xB=1-2kk2，yB=1-kk，即B1-2kk2，1-kk，所以kBQ=k1-2k，

由y=kx+1，x2+y2=1，消去y，得（k2+1）x2+2kx=0，

所以xA=-2kk2+1，yA=1-k2k2+1，即A-2kk2+1，1-k2k2+1，

所以kAQ=-1k，

因為QP平分∠AQB，所以kAQ+kBQ=0，

所以k1-2k-1k=0，解得k=-1±2，

由圖形可得k=-1-2應舍去，所以k=2-1，

所以存在直線l：y=（2-1）x+1，使得QP平分∠AQB.

點評 本題第（1）問根據“黃金拋物線”經過點（3，2）和-12，32易得結果;第（2）問是探究性問題，可先假設存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，經分析得出kAQ+kBQ=0是破解問題的關鍵，結合圖形可求出直線l的斜率為2-1，進而可知存在直線l：y=2-1x+1，使得QP平分∠AQB.

12 黃金棱柱

例13 （2020 ·南寧市模擬題）如圖12所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中點.

（1）求證：平面A1EC⊥平面AA1C1C;

（2）若我們把平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為60°時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由;

（3）設AB=a，求三棱錐AA1EC的體積VAA1EC.

解析 （1）如圖13所示，連接AC1與A1C交于點F，連接EF，由題設可得EC=EA1，則EF⊥A1C，同理EC1=EA，則EF⊥AC1，又A1C∩AC1=F，所以EF⊥平面AA1C1C，而EF平面A1EC，故平面A1EC⊥平面AA1C1C.（2）延長CE交C1B1的延長線于點H，連接A1H，則A1H是平面A1EC與平面A1B1C1的公共棱.

由平面幾何知識易知C1B1=B1H=A1B1，則∠C1A1H=90°，即A1C1⊥A1H.

又CC1⊥平面A1B1C1，易證A1H⊥A1C.

所以∠CA1C1為平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角的平面角.

若此正三棱柱為“黃金棱柱”，則∠CA1C1=60°，應有CC1=3A1C1，即AA1=3AB，這與條件AB=AA1矛盾，所以此三棱柱不是“黃金棱柱”.

（3）VAA1EC=VEA1AC=13·EF·12AA1·AC=16×32a×a×a=312a3.

點評 本題第（1）問通過添加輔助線，由面面垂直的判定定理即可得證;第（2）問先找到平面A1EC與平面A1B1C1的公共棱，進而找到這兩個平面所成二面角的平面角，利用反證法得證;第（3）問利用等體積法求解.